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第3节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
知 识 梳 理
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β．
cos(α β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β．
tan(α±β)＝．
2．有关公式的逆用、变形等
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)．
(2)tan αtan β＝1－＝－1.
3．式子f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).特别地，sin α±cos α＝sin.
1．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”．
(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．
2．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差角的相对性，要注意“1”的各种变通．如tan＝1，sin2α＋cos2α＝1等．
3．在(0，π)范围内，sin α＝所对应的角α不是唯一的．
4．在三角求值时，常需要确定角的范围．
诊 断 自 测
1．判断下列说法的正误．
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　)
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　)
(3)在两角和、差的正切公式中，使两端分别有意义的角的范围不完全相同．(　　)
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β
＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
解析　(4)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠＋kπ，k∈Z.
2．(2019·全国Ⅰ卷)tan 255°＝(　　)
A．－2－ B．－2＋
C．2－ D．2＋
答案　D
解析　tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.故选D.
3．若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝，故选A.
4．(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)已知tan＝，则tan α＝________．
答案　
解析　法一　因为tan＝，所以＝，即＝，解得tan α＝.
法二　因为tan＝，
所以tan α＝tan
＝＝＝.
5．(2021·南京、盐城一模)已知锐角α，β满足(tan α－1)·(tan β－1)＝2，则α＋β的值为________．
答案　
解析　因为(tan α－1)(tan β－1)＝2，所以tan α＋tan β＝tan αtan β－1，因此tan(α＋β)＝＝－1，
因为α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
6．(2021·宁波调研)已知sin β＝，β∈，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝________．
答案　－2
解析　因为sin β＝，β∈，所以cos β＝－，由sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－cos(α＋β)＋sin(α＋β)得sin(α＋β)＝－cos(α＋β)，所以tan(α＋β)＝－2.
考点一　两角和、差公式的正用
【例1】 (1)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．
答案　－
解析　∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，又α∈(0，π)，
∴0<α<，0＜2α＜π，又∵tan 2α＝＝＝>0，∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－.
(2)若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，求的值．
解　由条件得
所以相除得＝5.
感悟升华　(1)熟练掌握两角和、差的公式；(2)求角的值或三角函数值尽量用特殊角或已知角表示．
【训练1】 (1)sin 75°＝________．
(2)(2021·杭州二中模拟)设α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　(1)　(2)A
解析　(1)sin 75°＝sin(45°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°
＝×＋×
＝.
(2)因为0＜α，β＜，所以0＜α＋β＜π.因为cos α＝，所以sin α＝，因为sin(α＋β)＝，0＜α＜α＋β＜π，sin α＞sin(α＋β)，所以＜α＋β＜π，所以cos(α＋β)＝－.所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝，故选A.
考点二　两角和、差公式的逆用
【例2】 计算·cos 10°＋sin 10°tan 70°－2cos 40°.
解　原式＝＋－2cos 40°
＝－2cos 40°
＝－2cos 40°
＝－2cos 40°
＝
＝＝2.
感悟升华　(1)熟悉两角和、差公式展开式的结构特征；
(2)对asin α±bcos α的式子注意化为一个角的一种三角函数(辅助角公式)；
(3)注意切化弦技巧．
【训练2】 (1)－＝________．
(2)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．
答案　(1)4　(2)－
解析　(1)原式＝
＝
＝＝4.
(2)∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，
∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1，①
cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0，②
①②两式相加可得
sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，
∴sin(α＋β)＝－.
考点三　两角和、差公式的灵活应用
【例3】 求的值．
解　因为tan 60°＝tan(70°－10°)＝，
所以tan 70°－tan 10°＝tan 60°＋tan 60°tan 70°tan 10°，
即tan 70°－tan 10°＋tan 120°＝tan 60°tan 70°tan 10°，
所以
＝＝.
感悟升华　(1)两角和、差正切公式的变形tan α±tan β
＝tan(α±β)(1 tan αtan β)，特别地，若α＋β＝，则tan α＋tan β＝1－tan αtan β；
(2)当条件或式子中出现正切的和、差式及乘积式的情况，应注意利用(1)中的变形；
(3)已知三角函数的值求其他三角函数值时，注意用已知函数值的角表示要求函数值的角．
【训练3】 (1)已知A，B为锐角，且满足tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos(A＋B)＝________．
(2)若α，β都是锐角，且sin α＝，sin(α－β)＝，则cos β＝________．
答案　(1)－　(2)
解析　(1)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，
得＝－1，即tan(A＋B)＝－1.
∵A，B∈，∴0∴A＋B＝，cos(A＋B)＝cos＝－.
(2)∵α∈，sin α＝，
∴cos α＝＝，
又β∈，sin(α－β)＝>0，
∴0<α－β<，∴cos(α－β)＝
＝＝.
∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×
＝.
基础巩固题组
一、选择题
1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　D
解析　sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.
2．化简的结果是(　　)
A．tan B．tan 2x
C．－tan x D.
答案　C
解析　原式＝＝tan
＝tan(－x)＝－tan x.
3．(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案　D
解析　原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°
＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28°
＝1＋1＝2.
4．函数f(x)＝sin x－cos的值域为(　　)
A．[－2，2] B．[－，]
C．[－1，1] D.
答案　B
解析　f(x)＝sin x－
＝sin x－cos x＋sin x
＝sin x－cos x＝
＝sin∈[－，]．
5．(2021·浙江名师预测卷一)已知α∈R，则“tan α＝2”是“sin＝”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　当tan α＝2时，①若α为第一象限角，则sin α＝，cos α＝，此时sin＝(sin 2α＋cos 2α)＝(2sin αcos α＋cos2α－sin2α)＝；②若α为第三象限角，则sin α＝－，cos α＝－，此时sin＝(sin 2α＋cos 2α)＝(2sin αcos α＋cos2α－sin2α)＝；反之，当sin＝时，易知＝，即＝，解得tan α＝2或tan α＝－，所以“tan α＝2”是“sin＝”的充分不必要条件，故选A.
6．已知sin＋cos α＝－，则cos＝(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　C
解析　∵sin＋cos α＝－，即sin αcos＋cos αsin ＋cos α＝－，∴sin α＋cos α＝－，sin α＋cos α＝－，sin＝－，
∴cos＝cos＝sin＝－.
二、填空题
7．若函数f(x)＝4sin x＋acos x的最大值为5，则常数a＝________．
答案　±3
解析　f(x)＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝，故函数f(x)的最大值为，由已知得＝5，解得a＝±3.
8．(一题多解)化简sin＋2sin－
cos＝________．
答案　0
解析　法一　原式＝＋2－
＝sin x＋cos x
＝0.
法二　原式＝＋2sin
＝2＋2sin
＝2sin＋2sin＝2sin＋2sin＝－2sin＋2sin＝0.
9．已知θ是第四象限角，且sin＝，则sin θ＝________；tan＝________．
答案　－　－
解析　由题意，sin＝，cos＝，
∴
解得
∴tan θ＝－，tan＝＝＝－.
10．(2020·柯桥区调研)已知角θ的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边经过点P，则tan(π－θ)＝________，若角α满足tan(α－θ)＝，则tan α＝________．
答案　　－
解析　由题意得tan(π－θ)＝－tan θ＝－＝，tan(α－θ)＝＝＝，解得tan α＝－.
三、解答题
11．(1)求的值；
(2)已知cos＝，cos＝，α∈，β∈，求cos的值．
解　(1)原式＝
＝
＝
＝
＝2.
(2)因为0<α<，则<＋α<，
所以sin＝，
又因为－<β<0，则<－<，
则sin＝，
故cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
12．已知α，β∈(0，π)，且tan α，tan β是方程x2－5x＋6＝0的两个根．
(1)求α＋β的值；
(2)求cos(α－β)的值．
解　(1)因为
所以tan(α＋β)＝＝－1.
又因为α，β∈(0，π)，且tan α，tan β>0，
所以α，β∈，α＋β∈(0，π)，从而有α＋β＝.
(2)由上可得cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－.
由tan αtan β＝6，得sin αsin β＝6cos αcos β，
解得sin αsin β＝，cos αcos β＝，
故cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝.
能力提升题组
13．(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　∵sin θ＋sin＝sin θ＋cos θ＝
sin＝1，∴sin＝，故选B.
14．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则
sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为(　　)
A．[－，1] B．[－1，]
C．[－1，1] D．[1，]
答案　C
解析　∵sin αcos β－cos αsin β＝1，∴sin(α－β)＝1，
∵α，β∈[0，π]，
∴α－β＝，由 ≤α≤π，
∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝sin，∵≤α≤π，
∴≤α＋≤，∴－1≤sin≤1，即所求的取值范围是[－1，1]，故选C.
15．已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，则β＝________．
答案　
解析　由cos α＝，0<α<，
得sin α＝＝＝，
由0<β<α<，得0<α－β<，
又∵cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝＝.
由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.∴β＝.
16．已知sin＋sin α＝－，－<α<0，则cos α的值为________．
答案　
解析　由sin＋sin α＝－，得sin α＋cos α＝sin＝－，sin＝－.
又－<α<0，所以－<α＋<，
于是cos＝.
所以cos α＝cos＝coscos ＋sin·sin ＝×＋×＝.
17．(2021·浙江名师预测卷一)函数f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x－1.
(1)求方程f(x)＝的解；
(2)若x∈时，有f(x)＝，求sin 2x的值．
解　(1)由题意得
f(x)＝cos 2x＋sin 2x＝sin＝，
即sin＝，
所以2x＋＝＋2kπ或2x＋＝＋2kπ(k∈Z)，
所以x＝kπ－或x＝kπ＋(k∈Z)．
(2)因为f(x)＝，所以sin＝.
又因为x∈，所以＜2x＋＜，
则cos＝－，
所以sin 2x＝sin＝.
18．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(2，－1)．
(1)若a⊥b，求的值；
(2)若|a－b|＝2，θ∈，求sin的值．
解　(1)由a⊥b可知，a·b＝2cos θ－sin θ＝0，
所以sin θ＝2cos θ，
所以＝＝.
(2)由a－b＝(cos θ－2，sin θ＋1)可得，
|a－b|＝＝
＝2，
即1－2cos θ＋sin θ＝0.
又cos2θ＋sin2θ＝1，且θ∈，
所以sin θ＝，cos θ＝.
所以sin＝(sin θ＋cos θ)＝
＝.
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