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第4节　二倍角公式
知 识 梳 理
二倍角公式
sin 2α＝2sin__αcos__α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan 2α＝．
二倍角公式变形
(1)升降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；
sin αcos α＝sin 2α.
(2)配方变形公式：1＋cos 2α＝2cos2α；1－cos 2α＝2sin2α；1±2sin αcos α
＝(sin α±cos α)2.
诊 断 自 测
1．判断下列说法的正误．
(1)二倍角的正弦、余弦公式对任意角都成立．(　　)
(2)二倍角正切公式左右两端有意义的范围不完全相同．(　　)
(3)在使左右两端都有意义的条件下，二倍角正切公式才成立．(　　)
(4)不存在α，使tan 2α＝2tan α.(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
解析　当α＝0时，tan 2α＝2tan α，(4)不正确，如α＝0.
2．(2020·金华十校期末调研)已知x∈，sin x＝－，则tan 2x＝(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　D
解析　因为x∈，sin x＝－，所以cos x＝＝，tan x＝＝－，则tan 2x＝＝－，故选D.
3．若α∈，则＋的值为(　　)
A．2cos B．－2cos
C．2sin D．－2sin
答案　D
解析　∵α∈，∴≤≤，
∴＋＝＋
＝－－＝－2sin.
4．已知函数f(x)＝cos2－cos2，则f的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　B
解析　∵＋＝，
∴cos＝sin，
∴f(x)＝cos2－cos2
＝cos2－sin2
＝cos
＝－sin 2x，
故f＝－sin＝－.
5．已知tan＝2，则cos 2α的值是________．
答案　－
解析　因为tan＝2，所以cos 2α＝－sin＝－＝－＝－.
6．若sin θ＝－，tan θ＞0，则cos θ＝__________，tan 2θ＝__________．
答案　－　
解析　由题意知，因为sin θ＜0，tan θ＞0，所以cos θ＜0，又sin2θ＋cos2θ＝1，故cos θ＝－，
又由tan θ＝＝，tan 2θ＝，
可知tan 2θ＝.
考点一　二倍角公式的正用
【例1】 (1)(2019·全国Ⅱ卷)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)
A. B. C. D.
(2)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　(1)B　(2)A
解析　(1)由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos2α.
又α∈，所以2sin α＝cos α，又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝，所以sin α＝.
(2)sin 2α＝2sin αcos α＝＝－.
感悟升华　二倍角公式与其他公式应用时注意：“化异为同”，即“化异次为同次，化异角为同角”．
【训练1】 (1)(一题多解)已知α为锐角，且tan α＝，则sin 2α＝(　　)
A. B. C. D.
(2)若cos 2α＝2cos，α∈(0，π)，则sin 2α＝________，tan α＝________．
答案　(1)D　(2)1　1
解析　(1)法一　sin 2α＝＝＝＝，故选D.
法二　由α为锐角，且tan α＝，得sin α＝，cos α＝，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，故选D.
(2)cos 2α＝2cos，α∈(0，π)，得cos2α－sin2α＝cos α－sin α，α∈(0，π)，即(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝(cos α－sin α)　①，α∈(0，π)，当cos α－sin α＝0时，α＝；当cos α－sin α≠0时，①式化简为cos α＋sin α＝，α∈(0，π)，即sin＝1，α∈(0，π)，即α＝，综上所述，α＝，则sin 2α＝sin＝1，
tan α＝tan＝1.
考点二　二倍角公式的逆用
【例2】 (1)4cos 50°－tan 40°＝(　　)
A. B.
C. D．2－1
(2)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°＝________．
答案　(1)C　(2)
解析　(1)原式＝4sin 40°－
＝＝
＝＝
＝＝，故选C.
(2)原式＝cos 20°cos 40°··cos 80°
＝
＝
＝＝
＝.
感悟升华　利用二倍角公式可对形如cos αcos 2αcos 4α…cos 2nα的式子进行化简和计算．
【训练2】 (1)化简：＝________．
(2)计算：＝________．
答案　(1)cos 2α　(2)－4
解析　(1)原式＝
＝＝
＝＝cos 2α.
(2)原式＝＝
＝＝
＝＝－4.
考点三　二倍角公式的变形应用
【例3】 化简下列各式：
(1)＋2＝________．
(2)(0<α<π)＝________．
答案　(1)－2sin 4　(2)cos α
解析　(1)原式＝＋2
＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|，
因为π<4<π，所以cos 4<0，且sin 4所以原式＝－2cos 4－2(sin 4－cos 4)＝－2sin 4.
(2)原式＝
＝＝.
因为0<α<π，所以0<<，所以cos>0，所以原式＝cos α.
感悟升华　二倍角公式的常见变形有1－cos 2α＝2sin2α，1＋cos 2α＝2cos2α，1±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，及cos2α＝，sin2α＝，sin αcos α＝sin 2α等．
【训练3】 求值：－sin 10°.
解　原式＝－sin 10°
＝－sin 10°·
＝－sin 10°·
＝－2cos 10°＝
＝
＝
＝
＝＝.
基础巩固题组
一、选择题
1．化简·的结果为(　　)
A．tan α B．tan 2α C．1 D.
答案　B
解析　原式＝·＝＝tan 2α.
2．若tan θ＝－，则cos 2θ＝(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　D
解析　tan θ＝－，则cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝.
3．cos·cos·cos＝(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　A
解析　cos·cos·cos＝cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝－
＝－
＝－
＝－＝－＝－.
4．化简sin2＋sin2－sin2α的结果是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　原式＝＋－sin2α
＝1－－sin2α
＝1－×2cos 2αcos －＝.
5．设a＝cos 2°－sin 2°，b＝，c＝，则有(　　)
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
答案　D
解析　由题意可知，a＝sin 28°，b＝tan 28°，c＝sin 25°，
∴c＜a＜b.
6．(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　B
解析　令f(x)＝0，得2sin x－sin 2x＝0，
即2sin x－2sin xcos x＝0，
∴2sin x(1－cos x)＝0，∴sin x＝0或cos x＝1.
又x∈[0，2π]，
由sin x＝0得x＝0，π或2π，由cos x＝1得x＝0或2π.
故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．
故选B.
二、填空题
7．若cos＝，则sin的值是________．
答案　－
解析　sin＝sin＝
cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝－.
8．已知θ∈，且sin＝，则tan 2θ＝________．
答案　－
解析　sin＝，得sin θ－cos θ＝，①
θ∈，①平方得2sin θcos θ＝，可求得sin θ＋cos θ＝，∴sin θ＝，cos θ＝，∴tan θ＝，tan 2θ＝＝－.
9．已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos
＝________．
答案　
解析　∵cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝cos 2α＝，又α∈，∴2α∈(0，π)，
∴sin 2α＝＝，
∴cos＝cos 2α－sin 2α
＝×－×＝.
10．已知θ∈，且sin θ－cos θ＝－，则＝________．
答案　
解析　∵sin θ－cos θ＝－，即cos θ－sin θ＝，cos＝，即cos＝.
∵θ∈，∴<θ＋<，∴sin＝＝.
∴＝
＝
＝(sin θ＋cos θ)＝2sin＝.
三、解答题
11．已知函数f(x)＝－2sin x－cos 2x.
(1)比较f，f的大小；
(2)求函数f(x)的最大值．
解　(1)因为f(x)＝－2sin x－cos 2x，
所以f＝－2sin －cos＝－，
f＝－2sin －cos＝－，
因为－>－，所以f>f.
(2)因为f(x)＝－2sin x－(1－2sin2x)
＝2sin2x－2sin x－1
＝2－，
令t＝sin x，t∈[－1，1]，所以y＝2－，
因为对称轴t＝，
根据二次函数性质知，当t＝－1时，函数取得最大值3.
12．(2021·七彩阳光联盟三联)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上．
(1)求cos 2α的值；
(2)若角β满足tan(2α－β)＝1，求tan β的值．
解　(1)由已知得tan α＝2，
所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝
＝－.
(2)由(1)知tan 2α＝＝－，
而tan β＝tan[2α－(2α－β)]＝
＝＝7.
能力提升题组
13．(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝(　　)
A. B. C. D．1
答案　B
解析　由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos2α－1＝，所以cos α＝，sin α＝±，得|tan α|＝.由题意知|tan α|＝，所以|a－b|＝.故选B.
14．已知不等式f(x)＝3sin cos ＋cos2－＋m≤0对于任意的－≤x≤恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．[，＋∞) B．(－∞，)
C．(－∞，－] D．[－，]
答案　C
解析　f(x)＝sin ＋＋m
＝＋m≤0，
∴m≤－sin ，x∈，
令g(x)＝－sin，x∈，
∵－≤＋≤，
∴g(x)min＝－，∴m∈(－∞，－]．
15．(一题多解)(2019·江苏卷)已知＝－，则sin的值是________．
答案　
解析　法一　由＝＝＝－，解得 tan α＝2或－.
sin＝
＝(2sin αcos α＋2cos2α－1)
＝(sin αcos α＋cos2α)－
＝·－
＝·－，
将tan α＝2和－分别代入得sin＝.
法二　∵＝＝－，
∴sin αcos＝－cos αsin.①
又sin ＝sin
＝sincos α－cossin α＝，②
由①②解得sin αcos＝－，
cos αsin＝.
∴sin＝sin
＝sin αcos＋cos αsin＝.
16．若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ＝__________；cos＝__________．
答案　　－
解析　因为sin 2θ＝，θ∈，所以sin θ＞0，cos θ＞0，且sin θ＞cos θ，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝＝，所以sin θ＋cos θ＝，同理可得sin θ－cos θ＝，所以sin θ＝.
因为θ∈，sin 2θ＝，所以cos 2θ＝－，
所以cos＝cos 2θ－sin 2θ＝－.
17．已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)－1.
(1)求f的值；
(2)若f(x0)＝，x0∈，求sin 2x0的值．
解　(1)因为f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
所以f＝2sin＝2sin ＝2.
(2)由上可知f(x0)＝2sin＝，
所以sin＝.
由x0∈，得2x0＋∈.
由0从而有cos＝－，
所以sin 2x0＝sin
＝×－×
＝.
18．已知f(x)＝sin x＋2sincos.
(1)若f(α)＝，α∈，求α的值；
(2)若sin ＝，x0∈，求f(x0)的值．
解　(1)由条件可得f(x)＝sin x＋cos x
＝sin.
因为f(α)＝，α∈，
所以sin＝，sin＝，
因为α＋∈，
则α＋＝，解得α＝－.
(2)因为sin ＝，x0∈，
得sin x0＝，cos x0＝－，所以f(x0)＝.
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