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第4节　函数的奇偶性与周期性
知 识 梳 理
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）是偶函数 关于y轴对称
奇函数 如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）是奇函数 关于原点对称
2.函数的周期性
（1）周期函数：对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么就称函数y＝f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期.
（2）最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期.
1.对称性的三个常用结论
（1）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.
（2）若对于R上的任意x都有f（2a－x）＝f（x）或f（－x）＝f（2a＋x），则y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.
（3）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则函数y＝f（x）的图象关于点（b，0）中心对称.
2.函数周期性的三个常用结论
对f（x）定义域内任一自变量的值x：
（1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2|a|；
（2）若f（x＋a）＝，则T＝2|a|；
（3）若f（x＋a）＝－，则T＝2|a|.
3.函数f（x）满足的关系f（a＋x）＝f（b－x）表明的是函数图象的对称性，函数f（x）满足的关系f（a＋x）＝f（b＋x）（a≠b）表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
（1）函数y＝x2在x∈（0，＋∞）时是偶函数.（　　）
（2）若函数f（x）为奇函数，则一定有f（0）＝0.（　　）
（3）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.（　　）
（4）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则函数y＝f（x）的图象关于点（b，0）中心对称.（　　）
答案　（1）×　（2）×　（3）√　（4）√
解析　（1）由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在（0，＋∞）上不是偶函数，（1）错.
（2）由奇函数定义可知，若f（x）为奇函数，其在x＝0处有意义时才有f（0）＝0，（2）错.
2.已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（　　）
A.－ B. C. D.－
答案　B
解析　依题意b＝0，且2a＝－（a－1），∴a＝，则a＋b＝.
3.（2021·衡水中学期中）下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的是（　　）
A.y＝ln |x| B.y＝－x2
C.y＝ex D.y＝cos x
答案　A
解析　根据偶函数的定义f（x）＝f（－x），可得选项A，B，D是偶函数，
y＝－x2在（0，＋∞）上单调递减，y＝cos x在（0，＋∞）上有增有减，y＝ln |x|在（0，＋∞）上单调递增.故选A.
4.若函数y＝f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，则f（2 020）＋f（2 019）＝（　　）
A.－2 020 B.0
C.1 D.2 020
答案　B
解析　因为f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，所以f（－1）＝f（1）＝－f（1），所以f（1）＝0，且f（0）＝0，而f（2 020）＝f（2×1 010＋0）＝f（0）＝0，f（2 019）＝f（2×1 009＋1）＝f（1）＝0，故选B.
5.（2021·大连双基测试）已知定义在R上的奇函数f（x）＝ex＋ae－x，则a的值为　　　　.
答案　－1
解析　因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝e0＋ae0＝1＋a＝0，解得a＝－1.
6.设a>0且a≠1，函数f（x）＝为奇函数，则a＝　　　　，
g（f（2））＝　　　　Ｗ.
答案　2　2－
解析　∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）＝0，即a0＋1－2＝0，∴a＝2；当x>0时，－x<0，f（x）＝－f（－x）＝－（2－x＋1－2）＝2－2－x＋1，
即g（x）＝2－2－x＋1，∴f（x）＝f（2）＝2－2－2＋1＝2－＝>0，
∴g（f（2））＝g＝2－2－＋1＝2－2－＝2－.
考点一　函数奇偶性的判断
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝＋；
（2）f（x）＝；
（3）f（x）＝
解　（1）由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f（x）的定义域为{－，}，
从而f（x）＝＋＝0.
因此f（－x）＝－f（x）且f（－x）＝f（x），
∴函数f（x）既是奇函数又是偶函数.
（2）由得定义域为（－1，0）∪（0，1），关于原点对称.
∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f（x）＝.
又∵f（－x）＝＝－＝－f（x），
∴函数f（x）为奇函数.
（3）显然函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称.
∵当x<0时，－x>0，
则f（－x）＝－（－x）2－x＝－x2－x＝－f（x）；
当x>0时，－x<0，
则f（－x）＝（－x）2－x＝x2－x＝－f（x）；
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f（－x）＝－f（x）成立，∴函数f（x）为奇函数.
感悟升华　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
（1）定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
（2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f（x）＋f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数）是否成立.
【训练1】 （1）设函数f（x）＝＋b（a>0且a≠1），则函数f（x）的奇偶性（　　）
A.与a无关，且与b无关 B.与a有关，且与b有关
C.与a有关，但与b无关 D.与a无关，但与b有关
（2）（2019·北京卷）设函数f（x）＝cos x＋bsin x（b为常数），则“b＝0”是
“f（x）为偶函数”的（　　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　（1）D　（2）C
解析　（1）函数f（x）＝＋b的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），
f（－x）＝＋b＝＋b.当b＝1时，易知函数f（x）为奇函数，当b≠1时，函数f（x）为非奇非偶函数，所以函数f（x）的奇偶性与a无关，但与b有关，故选D.
（2）∵f（x）＝cos x＋bsin x为偶函数，
∴对任意的x∈R，都有f（－x）＝f（x），
即cos（－x）＋bsin（－x）＝cos x＋bsin x，
∴2bsin x＝0.由x的任意性得b＝0.
故f（x）为偶函数 b＝0.必要性成立.
反过来，若b＝0，则f（x）＝cos x是偶函数.充分性成立.
∴“b＝0”是“f（x）为偶函数”的充分必要条件.
故选C.
考点二　函数奇偶性的应用
【例2】 （1）（2021·浙江名校仿真训练）已知函数f（x）＝－2x，则满足f（x2－5x）＋f（6）>0的实数x的取值范围是　　　　Ｗ.
（2）（2019·全国Ⅱ卷）已知f（x）是奇函数，且当x<0时，f（x）＝－eax，若
f（ln 2）＝8，则a＝　　　　Ｗ.
答案　（1）（2，3）　（2）－3
解析　（1）根据题意，函数f（x）＝－2x，f（－x）＝－2－x＝－＝－f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y＝在R上为减函数，y＝－2x在R上为减函数，则函数f（x）在R上为减函数，则f（x2－5x）＋f（6）>0 f（x2－5x）>－f（6） f（x2－5x）>f（－6） x2－5x<－6，解得2（2）当x>0，－x<0，f（－x）＝－e－ax.
因为f（x）是奇函数，所以当x>0时，f（x）＝－f（－x）＝e－ax，
所以f（ln 2）＝e－aln 2＝（eln 2）－a＝2－a＝8.
解得a＝－3.
感悟升华　（1）已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f（x）±f（－x）＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组），进而得出参数的值.
（2）已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上的解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程（组），从而得到f（x）的解析式或函数值.
【训练2】 （1）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f（1）＋g（1）＝（　　）
A.－3 B.－1 C.1 D.3
（2）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝x2－2（x>0），若f（a－2）≥0，则a的取值范围为（　　）
A.[2－，2]∪[2＋，＋∞）
B.[2－，2＋]
C.[2－，2]
D.[2＋，＋∞）
答案　（1）C　（2）A
解析　（1）因为f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，所以f（1）＋g（1）
＝f（－1）－g（－1）＝（－1）3＋（－1）2＋1＝1.
（2）函数f（x）的图象如图所示，由题可知f（0）＝0且f（）＝0，则－≤a－2≤0或a－2≥，解得2－≤a≤2或a≥2＋，故选A.
考点三　函数的周期性及其应用
【例3】 （1）设定义在R上的函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）＝2x－x2，则f（0）＋f（1）＋f（2）＋…＋f（2 019）＝　　　　　
（2）（2021·义乌市联考）已知函数f（x）为偶函数，且f（1＋x）＝f（3－x），当－2≤x≤0时，f（x）＝3x，若n∈N*，an＝f（n），则a2 021＝（　　）
A.－ B.3 C.－3 D.
答案　（1）1 010　（2）D
解析　（1）∵f（x＋2）＝f（x），∴函数f（x）的周期T＝2.
又当x∈[0，2）时，f（x）＝2x－x2，
∴f（0）＝0，f（1）＝1，f（0）＋f（1）＝1.
∴f（0）＋f（1）＝f（2）＋f（3）＝f（4）＋f（5）＝…＝
f（2 018）＋f（2 019）＝1，
∴f（0）＋f（1）＋f（2）＋…＋f（2 019）＝1 010.
（2）因为函数f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称，又由f（1＋x）＝f（3－x）知，图象关于x＝2对称，所以函数f（x）是周期函数，且最小正周期T＝2×（2－0）＝4，所以a2 021＝f（2 021）＝f（1）＝f（－1）＝，故选D.
感悟升华　（1）根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.
（2）若f（x＋a）＝－f（x）（a是常数，且a≠0），则2|a|为函数f（x）的一个周期.
【训练3】 （1）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），且在[0，2）上单调递减，则下列结论正确的是（　　）
A.0C.f（1）<0（2）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x＋2）＝－，当2≤x≤3时，f（x）＝x，则f（105.5）＝　　　
.
答案　（1）C　（2）2.5
解析　（1）由函数f（x）是定义在R上的奇函数，得f（0）＝0.
由f（x＋2）＝－f（x），
得f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），
故函数f（x）是以4为周期的周期函数，
所以f（3）＝f（－1）.
又f（x）在[0，2）上单调递减，
所以函数f（x）在（－2，2）上单调递减，
所以f（－1）>f（0）>f（1），
即f（1）<0（2）f（x＋4）＝f[（x＋2）＋2]＝－＝f（x），
故函数的周期为4.
∴f（105.5）＝f（4×27－2.5）＝f（－2.5）＝f（2.5）.
∵2≤2.5≤3，由题意得f（2.5）＝2.5.
∴f（105.5）＝2.5.
考点四　函数性质的综合运用
【例4】 （1）已知f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）是定义在R上的奇函数，且g（x）＝f（x－1），则f（2 017）＋f（2 019）的值为（　　）
A.－1 B.1 C.0 D.2
（2）设函数f（x）＝的最大值为M，最小值为m.则M＋m＝　　　　Ｗ.
（3）函数y＝f（x）对任意x∈R都有f（x＋2）＝f（－x）成立，且函数y＝f（x－1）的图象关于点（1，0）对称，f（1）＝4，则f（2 020）＋f（2 021）＋f（2 022）的值为　　　　Ｗ.
答案　（1）C　（2）2　（3）4
解析　（1）由题意知g（x）是定义在R上的奇函数，
∴g（－x）＝－g（x）.
由g（x）＝f（x－1），得g（－x）＝f（－x－1），
∴f（－x－1）＝－f（x－1）.
由f（x）是定义在R上的偶函数，则f（－x）＝f（x），
∴f（－x－1）＝f[－（x＋1）]＝f（x＋1），∴f（x＋1）＝
－f（x－1），即f（x－1）＋f（x＋1）＝0.
∴f（2 017）＋f（2 019）＝f（2 018－1）＋f（2 018＋1）＝0.
（2）f（x）＝＝1＋，
令g（x）＝，则g（－x）＝－g（x），又x∈R.
∴g（x）为奇函数，
由奇函数图象的对称性知g（x）max＋g（x）min＝0，
故M＋m＝2.
（3）因为函数y＝f（x－1）的图象关于点（1，0）对称，
所以函数y＝f（x）的图象关于原点对称，即函数f（x）是R上的奇函数，
所以f（x＋2）＝－f（x），所以f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故f（x）的周期为4.
所以f（2 021）＝f（505×4＋1）＝f（1）＝4，
所以f（2 020）＋f（2 022）＝f（2 020）＋f（2 020＋2）
＝f（2 020）＋f（－2 020）＝f（2 020）－f（2 020）＝0，
所以f（2 020）＋f（2 021）＋f（2 022）＝4.
感悟升华　（1）函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义以及奇、偶函数图象的对称性.
（2）周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
（3）单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
【训练4】 （1）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞）上单调递减，若实数a满足f（log3 a）＋f（loga）≥2f（1），则a的取值范围是（　　）
A.（0，3] B.
C. D.[1，3]
（2）（2021·北京密云区段测）已知函数f（x）的定义域为R，且满足下列三个条件：
①对任意的x1，x2∈[4，8]，且x1≠x2，都有>0；
②f（x＋8）＝f（x）；
③y＝f（x＋4）是偶函数；
若a＝f（－7），b＝f（11），c＝f（2 020），则a，b，c的大小关系正确的是（　　）
A.aC.b答案　（1）C　（2）D
解析　（1）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减，故f（x）在（－∞，0]上单调递增.因为f（log3 a）＋f（log a）≥2f（1），所以f（log3 a）＋f（－log3 a）＝2f（log3 a）≥2f（1），即f（log3 a）≥f（1）
＝f（－1），所以－1≤log3 a≤1，解得≤a≤3，故选C.
（2）由①知，f（x）在[4，8]上单调递增；由②知，f（x）的周期为8；由③知，f（x）的对称轴为x＝4；则a＝f（－7）＝f（1）＝f（7），b＝f（11－8）＝f（3）＝f（8－3）＝f（5），c＝f（2 020－252×8）＝f（4），因为4<5<7，由函数的单调性可知，c基础巩固题组
一、选择题
1.函数f（x）＝ln （a，b∈R，且ab≠0）的奇偶性（　　）
A.与a有关，且与b有关
B.与a有关，但与b无关
C.与a无关，但与b有关
D.与a无关，且与b无关
答案　D
解析　易知f（x）的定义域关于原点对称，因为f（－x）＝ln ＝－ln ＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数，其奇偶性与a，b均无关，故选D.
3.（2021·苏锡常镇调研）函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1＋x）＝f（1－x），若f（1）＝9，则f（2 019）＝（　　）
A.－9 B.9 C.－3 D.0
答案　A
解析　因为f（1＋x）＝f（1－x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，又因为函数f（x）是R上的奇函数，所以f（x）是周期为4的周期函数，于是
f（2 019）＝f（3）＝f（－1）＝－f（1）＝－9，故选A.
4.已知函数f（x）的定义域为R.当x＜0时，f（x）＝x3－1；当－1≤x≤1时，
f（－x）＝－f（x），当x＞时，f＝f.则f（6）＝（　　）
A.－2 B.－1 C.0 D.2
答案　D
解析　当x＞时，由f＝f，
得f（x）＝f（x＋1），∴f（6）＝f（1），
又由题意知f（1）＝－f（－1），且f（－1）＝（－1）3－1＝－2，
因此f（6）＝－f（－1）＝2.
5.若函数f（x）＝是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（　　）
A.（－∞，－1） B.（－1，0）
C.（0，1） D.（1，＋∞）
答案　C
解析　∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），
即＝－，整理得（1－a）（2x＋1）＝0，
∴a＝1，∴f（x）＞3，即为＞3，等价于（2x－2）（2x－1）＜0，∴1＜2x＜2，∴0＜x＜1.
6.（2020·浙江名师预测卷三）定义在R上的奇函数f（x）满足f＝f（x），当x∈时，f（x）＝log（1－x），则f（x）在区间内是（　　）
A.减函数且f（x）>0 B.减函数且f（x）<0
C.增函数且f（x）>0 D.增函数且f（x）<0
答案　D
解析　当x∈时，由f（x）＝log（1－x）可知，f（x）单调递增且f（x）>0.
又函数f（x）为奇函数，所以在区间上函数也单调递增，且f（x）<0.
由f＝f（x）知，函数的周期为，所以在区间上，函数单调递增
且f（x）<0.
7.已知f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f（1）<1，f（5）＝，则实数a的取值范围为（　　）
A.（－1，4） B.（－2，0） C.（－1，0） D.（－1，2）
答案　A
解析　∵f（x）是定义在R上的周期为3的偶函数，
∴f（5）＝f（5－6）＝f（－1）＝f（1），
∵f（1）<1，f（5）＝，∴<1，即<0，
解得－18.对任意的实数x都有f（x＋2）－f（x）＝2f（1），若y＝f（x－1）的图象关于x＝1对称，且f（0）＝2，则f（2 019）＋f（2 020）＝（　　）
A.0 B.2 C.3 D.4
答案　B
解析　y＝f（x－1）的图象关于x＝1对称，则函数y＝f（x）的图象关于x＝0对称，即函数f（x）是偶函数，
令x＝－1，则f（－1＋2）－f（－1）＝2f（1），
∴f（1）－f（1）＝2f（1）＝0，即f（1）＝0，
则f（x＋2）－f（x）＝2f（1）＝0，
即f（x＋2）＝f（x），则函数的周期是2，又f（0）＝2，
则f（2 019）＋f（2 020）＝f（1）＋f（0）＝0＋2＝2.
9.已知函数f（x）＝x，若f（x1）A.x1>x2 B.x1＋x2＝0
C.x1答案　D
解析　∵f（－x）＝－x＝f（x），
∴f（x）在R上为偶函数.
∵f′（x）＝ex－＋x，∴x>0时，f′（x）>0，
∴f（x）在[0，＋∞）上为增函数，
由f（x1）∴|x1|<|x2|，∴x10.若定义域为R的函数f（x）在（4，＋∞）上为减函数，且函数y＝f（x＋4）为偶函数，则下列说法错误的是（　　）
A.f（2）>f（3） B.f（2）＝f（6）
C.f（3）＝f（5） D.f（3）>f（6）
答案　A
解析　∵y＝f（x＋4）为偶函数，
∴f（－x＋4）＝f（x＋4），
因此y＝f（x）的图象关于直线x＝4对称，
∴f（2）＝f（6），f（3）＝f（5）.
又y＝f（x）在（4，＋∞）上为减函数，
∴f（5）>f（6），所以f（3）>f（6）.
二、填空题
11.若f（x）＝ln（e3x＋1）＋ax是偶函数，则a＝　　　　Ｗ.
答案　－
解析　由于f（－x）＝f（x），
∴ln（e－3x＋1）－ax＝ln（e3x＋1）＋ax，
化简得2ax＋3x＝0（x∈R），则2a＋3＝0，
∴a＝－.
12.（2020·上海金山区二模）已知函数f（x）＝lg＋sin x＋1，若f（m）＝4，则f（－m）＝　　　　
答案　－2
解析　令g（x）＝lg＋sin x，则f（x）＝g（x）＋1，
∵g（－x）＝lg＋sin（－x）＝－lg－sin x＝－g（x），∴g（x）为奇函数，
又f（m）＝4，∴g（m）＝f（m）－1＝3，
∴g（－m）＝－g（m）＝－3，
∴f（－m）＝g（－m）＋1＝－2.
13.已知函数f（x）＝则f（2）＝　　　　；f（x）的值域为　　　　
答案　0　
解析　x>1时，f（x）是周期为2的函数，故f（2）＝f（0）＝0，f（x）的值域为（－∞，0].
14.若函数f（x）＝为奇函数，则a＝　　　　，f（g（－2））＝　　　　Ｗ.
答案　0　－25
解析　由题意知a＝f（0）＝0.设x<0，则－x>0，f（－x）＝x2－2x＋1＝－f（x），∴g（2x）＝－x2＋2x－1，∴g（－2）＝－4，∴f（g（－2））＝f（－4）＝－f（4）＝－（16＋8＋1）＝－25.
能力提升题组
15.已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）＝xf（x）.若a＝g（－log25.1），b＝g（20.8），c＝g（3），则a，b，c的大小关系为（　　）
A.aC.b答案　C
解析　易知g（x）＝xf（x）在R上为偶函数，
∵奇函数f（x）在R上是增函数，且f（0）＝0.
∴g（x）在（0，＋∞）上是增函数.
又3>log25.1>2>20.8，且a＝g（－log25.1）＝g（log25.1），
∴g（3）>g（log25.1）>g（20.8），则c>a>b.
16.已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，f（x）＝log2（x＋2）＋x＋b，则|f（x）|>3的解集为（　　）
A.（－∞，－2）∪（2，＋∞） B.（－∞，－4）∪（4，＋∞）
C.（－2，2） D.（－4，4）
答案　A
解析　由题意，f（0）＝log22＋b＝0，解得b＝－1.
所以f（x）＝log2（x＋2）＋x－1，f（2）＝3，且在R上单调递增，又|f（x）|>3，所以|f（x）|>f（2），即f（x）>f（2）或f（x）2或x<－2.
17.（2021·浙江新高考仿真卷）如果存在正实数a，使得f（x＋a）为奇函数，f（x－a）为偶函数，我们称函数f（x）为“Θ函数”.给出下列四个函数：
①f（x）＝sin x；
②f（x）＝cos x；
③f（x）＝sin x－cos x；
④f（x）＝sin2
其中“Θ函数”的个数为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　B
解析　对于函数f（x）＝sin x，f（x＋k1π）（k1∈Z）为奇函数，f（k2∈Z）为偶函数，所以不存在正实数a，使得f（x＋a）为奇函数，f（x－a）为偶函数，所以f（x）＝sin x不是“Θ函数”；对于函数f（x）＝cos x，f（x＋k3π）（k3∈Z）为偶函数，f（k4∈Z）为奇函数，所以不存在正实数a，使得f（x＋a）为奇函数，f（x－a）为偶函数，所以f（x）＝cos x不是“Θ函数”；对于函数
f（x）＝sin x－cos x＝sin，则存在a＝使得f（x＋a）为奇函数，f（x－a）为偶函数，所以f（x）＝sin x－cos x是“Θ函数”；对于函数f（x）＝sin 2＝sin，则存在a＝使得f（x＋a）为奇函数，f（x－a）为偶函数，所以f（x）＝sin 2是“Θ函数”.综上所述，“Θ函数”的个数为2，故选B.
18.已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f（x）＝x3－x，则函数y＝f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为　　　　
答案　7
解析　因为当0≤x<2时，f（x）＝x3－x，又f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且f（0）＝0，
则f（6）＝f（4）＝f（2）＝f（0）＝0.
又f（1）＝0，∴f（3）＝f（5）＝f（1）＝0，
故函数y＝f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.
19.（2020·金丽衢十二校二联）设a∈R，b>0，已知函数f（x）＝是奇函数，则a＝　　　　；若函数f（x）是在R上的增函数，则b的取值范围是　　　　Ｗ.
答案　　[－1，1]
解析　因为f（x）是奇函数，且定义域为R，所以f（0）＝0，即2a－1＝0，解得a＝.因为函数f（x）是R上的增函数，所以y＝x＋在（1，＋∞）上单调递增，易知b≤1，且y＝sin 在x＝1处的函数值要小于或等于y＝x＋在x＝1处的函数值，即sin ≤1＋b，解得b≥－1.综上，b的取值范围是[－1，1].
20.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x＋1）＝f（x－1），已知当x∈[0，1]时，f（x）＝2x，则有
①2是函数f（x）的周期；
②函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数；
③函数f（x）的最大值是1，最小值是0.
其中所有正确命题的序号是　　　　
答案　①②
解析　在f（x＋1）＝f（x－1）中，令x－1＝t，
则有f（t＋2）＝f（t），
因此2是函数f（x）的周期，故①正确；
当x∈[0，1]时，f（x）＝2x是增函数，
根据函数的奇偶性知，f（x）在[－1，0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数，故②正确；
由②知，f（x）在[0，2]上的最大值f（x）max＝f（1）＝2，f（x）的最小值f（x）min＝f（0）＝f（2）＝20＝1且f（x）是周期为2的周期函数，∴f（x）的最大值是2，最小值是1，故③错误.
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