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第5节　三角函数的化简与求值
知 识 梳 理
1．三角变换
三角变换是重要的代数式变形，变形过程中，不仅需要熟练把握各种三角公式，还需要有一种处理复杂代数式的能力，更需要有一种化归的意识．
2．三角恒等变换中常用的方法技巧
(1)角的变换：在化简、求值、证明中，表达式中往往会出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，缩小条件与结构中角的差异，使问题获解，此时需熟悉倍角与半角的相对性及角的拆并，变换的技巧，如是 的半角，是的二倍角，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β等．
(2)函数名称的变换：在三角函数中，正弦函数、余弦函数是基础，在变形中，通常化切为弦，变异名为同名．
(3)常数代换：在三角函数的运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数和或积等形式，例如常数“1”的代换变形为：1＝sin2α＋cos2α＝tan 45°＝sin 90°.
(4)幂的变换：升幂和降幂是三角变换中常用的方法，对于次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法．
(5)公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公
式及其逆用和变形应用．例如sin αcos α＝sin 2α，
tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)等．
(1)辅助角公式：asin θ＋bcos θ＝sin(θ＋φ)，其中角φ所在象限由a，b的符号确定，且tan φ＝.
(2)(选用)万能公式：sin θ＝，cos θ＝，tan θ＝.
(3)(选用)三倍角公式：sin 3θ＝3sin θ－4sin3θ，cos 3θ＝4cos3θ－3cos θ，tan 3θ＝.
诊 断 自 测
1．判断下列说法的正误．
(1)＝tan.(　　)
(2)在半角公式：sin ＝±，cos ＝±，tan ＝±中，符号由所在象限决定．(　　)
(3)tan ＝＝.(　　)
(4)cos α＋sin α＝cos(60°＋α)．(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
解析　cos α＋sin α＝cos 60°cos α＋sin 60°sin α＝cos(60°－α)，(4)不正确．
2.的值是(　　)
A．sin 40° B．cos 40°
C．cos 130° D．±cos 50°
答案　A
解析　原式＝＝|cos 130°|＝cos 50°＝sin 40°.
3．若cos α＝，且α∈[0，π]，则cos ＋sin 的值是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　∵α∈[0，π]，cos α＝，∴sin α＝＝，则＝1＋sin α＝1＋，检验知B符合上式．
4．若sin＝，则tan2x＝________．
答案　4
解析　∵sin＝，∴－cos 2x＝，即cos 2x＝－，∴tan2x＝＝＝＝4.
5．方程sin x＋cos x＝1在区间[0，2π]上的所有解的和等于________．
答案　
解析　sin x＋cos x＝2sin＝1，x∈[0，2π]，解得x1＝，x2＝2π－，∴x1＋x2＝.
6．定义运算a b＝ab2＋a2b，则sin 15° cos 15°＝________．
答案　
解析　由定义运算知sin 15° cos 15°＝sin 15°cos215°＋sin215°cos 15°＝sin 15°cos 15°(cos 15°＋sin 15°)＝×2sin 15°cos 15°sin(45°＋15°)＝.
考点一　三角函数式的化简
【例1】 化简.
解　原式＝＝＝＝tan θ.
感悟升华　三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等．
【训练1】 化简＋(sin2α－cos2α)．
解　原式＝－cos 2α
＝－cos 2α＝·－cos 2α
＝sin 2α－cos 2α＝2sin.
考点二　三角函数式的求值
角度1　给角求值
【例2－1】 求值：[2cos 40°＋sin 10°(1＋tan 10°)]．
解　原式＝cos 10°·
＝cos 10°·
＝2(cos 40°cos 10°＋sin 10°sin 40°)
＝2cos 30°＝.
角度2　给值求值
【例2－2】 已知α，β都是锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值．
解　∵α，β都是锐角，cos α＝，∴sin α＝＝，又0<α＋β<π，cos(α＋β)＝－，
∴sin(α＋β)＝＝，
故cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.
角度3　给出关系式求值
【例2－3】 已知sin4θ＋cos4θ＝，求sin 2θ的值．
解　sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2sin2θcos2θ＝，∴2sin2θcos2θ＝，
∴sin θcos θ＝±，sin 2θ＝2sin θcos θ＝±.
角度4　给值求角
【例2－4】 若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，求α＋β的值．
解　∵sin 2α＝，α∈，2α∈，
∴cos 2α＝－且α∈，
又∵sin(β－α)＝，β∈，
∴cos(β－α)＝－，
∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]
＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α
＝×－×＝，
又α＋β∈，∴α＋β＝.
感悟升华　(1)给角求值时，往往出现特殊角、出现正负项相消、分子分母出现公因式，注意观察化简、求值；
(2)给值求值要寻找已知函数值的角与欲求函数值角之间的关系；
(3)给出关系式求值，需要对已知关系式灵活变形、化简；
(4)给值求角注意先求角的范围，然后再求出在此范围上一种单调函数的角的三角函数值．
【训练2】 (1)(角度1)计算：－tan 20°.
(2)(角度2)已知α是第一象限角，sin α＝，求tan 的值．
(3)(角度3)已知2sin θ＝1－cos θ，求tan θ的值．
(4)(角度4)(一题多解)设cos α＝－，tan β＝，π<α<，0<β<，求α－β的值．
解　(1)－tan 20°
＝－
＝－
＝－
＝－
＝.
(2)因为α是第一象限角，sin α＝，所以cos α＝＝＝，所以tan α＝＝，tan α＝＝，整理得12tan2＋7tan －12＝0，解得tan ＝或tan ＝－(舍去)，故tan ＝.
(3)因为2sin θ＝1－cos θ，
所以4sin cos ＝1－＝2sin2，
解得sin ＝0或2cos ＝sin ，tan ＝0或2，
又tan θ＝，
当tan ＝0时，tan θ＝0；当tan ＝2时，tan θ＝－.
(4)法一　由cos α＝－，π<α<，得sin α＝－，
tan α＝2，又tan β＝，
于是tan(α－β)＝＝＝1.
又由π<α<，
0<β<可得－<－β<0，<α－β<，
因此α－β＝.
法二　由cos α＝－，π<α<得sin α＝－.
由tan β＝，0<β<得sin β＝，cos β＝.
所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝
－＝－.
又由π<α<，0<β<可得
－<－β<0，<α－β<，因此α－β＝.
考点三　三角函数恒等式的证明
【例3】 证明：－2cos(α＋β)＝.
证明　左端＝
＝
＝＝＝右端．
感悟升华　(1)三角函数恒等式的证明要从“角、名、形”进行分析消除两端的差异；
(2)常从繁杂一边推出简单的一边，或者两边同时推出一个共同式子，有时需对要证等式先进行等价变换，进而证明其等价命题(等式)．
【训练3】 证明：cos 4α＋4cos 2α＋3＝8cos4α.
证明　左边＝cos 4α＋4cos 2α＋3
＝2cos22α－1＋4cos 2α＋3
＝2(cos22α＋2cos 2α＋1)＝2(cos 2α＋1)2
＝2(2cos2α－1＋1)2＝2(2cos2α)2＝8cos4α＝右边．
三角函数求值
【例题】 (满分14分)(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
审题路线图
—
满分解答
解　(1)由角α的终边过点P得sin α＝－，2分
所以sin(α＋π)＝－sin α＝.5分
(2)由角α的终边过点P得cos α＝－，
7分
由sin(α＋β)＝得cos(α＋β)＝±.10分
由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.14分
[构建模板]
……利用三角函数定义求三角函数
　
……诱导公式计算
　
……平方关系计算
　
……角的变换
　
……利用两角差的余弦公式，分类计算
　
……明确规范的表述结论
【训练】 (2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
解　(1)因为tan α＝，tan α＝，所以sin α＝cos α.
因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，
因此cos 2α＝2cos2α－1＝－.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝，所以tan 2α＝＝－，
因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.
基础巩固题组
一、选择题
1．若cos＝，则sin 2α＝(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　D
解析　∵cos＝，∴sin 2α＝cos
＝cos ＝2cos2－1
＝2×－1＝－.
2．若sin＝，则cos＝(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　A
解析　∵＋＝，∴cos＝sin＝，∴cos＝
cos ＝2cos2－1＝2×－1＝－.
3．计算＝(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　D
解析　原式＝
＝
＝＝sin 30°＝.
4．式子tan 11°＋tan 19°＋tan 11°tan 19°的值是(　　)
A. B. C．0 D．1
答案　D
解析　∵tan 30°＝tan(11°＋19°)＝，
∴tan 11°＋tan 19°
＝(1－tan 11°tan 19°)，
∴原式＝(tan 11°＋tan 19°)＋tan 11°tan 19°
＝×(1－tan 11°tan 19°)＋tan 11°tan 19°
＝1.
5．若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　C
解析　由3cos 2α＝sin，
可得3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，
于是3(cos α＋sin α)＝，
所以1＋2sin αcos α＝，
所以sin 2α＝－，故选C.
6．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β＝(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.
又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.
又sin α＝，所以cos α＝，
所以sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
所以β＝.
二、填空题
7．已知sin－cos α＝，则sin＝________．
答案　－
解析　∵sin－cos α＝cos α－sin α－cos α＝－sin＝，
∴sin＝－.
8．求值：tan 10°＋＝________．
答案　
解析　原式＝＋
＝＋
＝
＝
＝
＝＝
＝.
9．已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，则sin 2α的值是________．
答案　－
解析　∵<β<α<，∴－<－β<－，
∴0<α－β<，π<α＋β<，
∵cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，
∴sin(α－β)＝，cos(α＋β)＝－，
∴sin 2α＝sin＝×＋×＝－.
10．已知sin(x＋20°)＝cos(x＋10°)＋cos(x－10°)，则tan x的值是________．
答案　
解析　∵sin(x＋20°)＝cos(x＋10°)＋cos(x－10°)，
∴sin xcos 20°＋cos xsin 20°＝2cos xcos 10°，
∴tan x＝＝
＝
＝2cos 30°＝.
三、解答题
11．求值：cos cos cos cos cos cos cos .
解　原式＝·sin cos cos cos ·cos ·cos cos ·cos
＝·sin cos cos cos cos cos ·
＝·sin cos ·cos cos cos
＝·sin ·cos cos
＝···sin cos cos
＝··sin ··sin cos
＝··sin
＝··sin
＝＝.
12．已知cos＝，解　＝
＝
＝sin 2x·
＝sin 2x·tan .
由得又cos＝，
所以sin＝－，tan ＝－.
cos x＝cos
＝
＝－，sin x＝－，tan x＝7，
sin 2x＝2sin xcos x＝.
所以＝－.
能力提升题组
13．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan αtan β的值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　B
解析　因为cos(α＋β)＝，
所以cos αcos β－sin αsin β＝.①
因为cos(α－β)＝，
所以cos αcos β＋sin αsin β＝.②
①＋②得cos αcos β＝.
②－①得sin αsin β＝.
所以tan αtan β＝＝.
14．(2021·烟台质检)若α∈，且cos 2α＝sin，则tan α＝(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　因为α∈，所以sin α＋cos α>0，
因为cos 2α＝sin，
所以(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝(sin α＋cos α)，
所以cos α－sin α＝，可得α∈.
将cos α－sin α＝两边平方可得1－2sin αcos α＝，
∴sin αcos α＝，∴＝.
分子、分母同除以cos2α可得＝，
解得tan α＝或(舍)，即tan α＝.
15.＋的值等于________．
答案　－4
解析　原式＝－
＝
＝
＝
＝＝－4
16．(2021·龙岩质检)若α∈(0，π)，且3sin α＋2cos α＝2，则tan ＝________．
答案　
解析　3sin α＋2cos α＝
＝＝2，
∴3tan ＋1－tan2＝tan2＋1，
解得tan ＝0或，又α∈(0，π)，
∴tan ≠0，∴tan ＝.
17．已知tan(π＋α)＝－，
tan(α＋β)＝.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求tan β的值．
解　(1)因为tan(π＋α)＝－，
所以tan α＝－，
从而有tan(α＋β)＝
＝＝＝.
(2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝
＝＝.
18．已知α，β∈，且7sin α＝5sin (α＋2β)，
(1)求证：tan(α＋β)＝6tan β；
(2)若tan α＝3tan β，求α的值．
(1)证明　因为7sin α＝5sin(α＋2β)，
7sin[(α＋β)－β]＝5sin[(α＋β)＋β]，
得7[sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β]
＝5[sin(α＋β)cos β＋cos(α＋β)sin β]，
即sin(α＋β)cos β＝6cos(α＋β)sin β.
又因为α，β∈，
则α＋β∈(0，π)，cos β≠0，cos(α＋β)≠0，
所以tan(α＋β)＝6tan β.
(2)解　由上可知tan(α＋β)＝6tan β，即＝6tan β.
又因为tan α＝3tan β，代入得
＝6·tan α，
解得tan α＝1或tan α＝－1(舍)或tan α＝0(舍)，故α＝.
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