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第5节　指数、对数
知 识 梳 理
1.根式与指数幂的运算
（1）根式
①概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
②性质：（）n＝a（a使有意义）；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
（2）分数指数幂
①规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝（a>0，m，n∈N*，且n>1）；正数的负分数指数幂的意义是a－＝（a>0，m，n∈N*，且n>1）；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
②有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；（ar）s＝ars；（ab）r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2.对数与对数的运算
（1）对数的概念
如果ax＝N（a>0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.（2）对数的性质
①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N；④logaab＝b（a>0，且a≠1）.
（3）对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga（MN）＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM（n∈R）.
（4）换底公式
logbN＝（a，b均大于零且不等于1）.
已知a，b，c，d，M，N都满足条件，则：
（1）logamMn＝logaM（m，n∈R，且m≠0）；
（2）logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.
诊 断 自 测
1.（必修1P52例5改编）化简[（－2）6]－（－1）0的结果为（　　）
A.－9 B.7 C.－10 D.9
答案　B
解析　原式＝（26）－1＝8－1＝7.
2.若loga2A.0C.a>b>1 D.b>a>1
答案　B
解析　loga23.×＋8×－＝　　　　.
答案　2
解析　原式＝×1＋2×2－＝2.
4.计算：log2＝　　　　；2log23＋log43＝　　　　.
答案　－　3
解析　log2＝log2－log22＝－1＝－；
2log23＋log43＝2log23·2log43＝3×2log43＝3×2log2＝3.
5.设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝　　　　，（2α）β＝　　　　.
答案　　2
解析　由一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝，则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，（2α）β＝2αβ＝2.
6.（2021·杭州质检）设a＝log23，b＝log38，则2a＝　　　　；ab＝　　　　.
答案　3　3
解析　由a＝log23得2a＝3，ab＝log23×log38＝×＝＝＝3.
考点一　指数幂的运算
【例1】 化简：（1）（a>0，b>0）；
（2）＋（0.002）－－10（－2）－1＋（－）0.
解　（1）原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝ab－1.
（2）原式＝＋－＋1
＝＋500－10（＋2）＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
感悟升华　（1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序.
（2）当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
（3）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
【训练1】 化简求值：
（1）＋2－2×－（0.01）0.5；
（2）.
解　（1）原式＝1＋×－
＝1＋×－＝1＋－＝.
考点二　对数的运算
【例2】 （1）设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝（　　）
A. B.10 C.20 D.100
（2）计算：÷100－＝　　　　Ｗ.
（3）（2020·全国Ⅰ卷）设alog34＝2，则4－a＝（　　）
A. B. C. D.
答案　（1）A　（2）－20　（3）B
解析　（1）由已知，得a＝log2m，b＝log5m，
则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
解得m＝.
（2）原式＝（lg 2－2－lg 52）×100＝lg×10＝lg 10－2×10
＝－2×10＝－20.
（3）法一　因为alog34＝2，
所以log34a＝2，所以4a＝32＝9，
所以4－a＝＝.故选B.
法二　因为alog34＝2，所以a＝＝2log43＝log432＝log49，所以4－a＝4－log49＝4log49－1＝9－1＝.故选B.
感悟升华　（1）在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.
（2）先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
（3）ab＝N b＝logaN（a>0，且a≠1）是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
【训练2】 （1）（2017·全国Ⅰ卷）设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则（　　）
A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z
（2）（2020·全国Ⅲ卷）已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（　　）
A.aC.b（3）若实数a＞b＞1，且logab＋logba＝，则logab＝　　　　　，＝　　　　　Ｗ.
答案　（1）D　（2）A　（3）　1
解析　（1）取对数：xln 2＝yln 3＝zln 5，＝>（由ln 32>ln 23可得），又x，y为正数，∴2x>3y.xln 2＝zln 5，则＝<（由ln 52＜ln 25可得），又x，z为正数，∴2x<5z，∴3y<2x<5z，故选D.
（2）∵log53－log85＝log53－＝<＝<＝0，∴log53（3）由a＞b＞1，得0所以＝1.
基础巩固题组
一、选择题
1.化简：（x<0，y<0）＝（　　）
A.2x2y B.2xy C.4x2y D.－2x2y
答案　D
解析　∵x<0，y<0，∴＝2x2|y|＝－2x2y.
2.（log29）×（log34）＝（　　）
A. B. C.2 D.4
答案　D
解析　（log29）×（log34）＝2log23×2log32＝4.
3.（2021·台州期末评估）已知a＝log248，2b＝，则a＋b＝（　　）
A.4 B.5 C.6 D.7
答案　B
解析　由题意得a＝log2（16×3）＝4＋log23，b＝log2＝1－log23，则a＋b＝5，故选B.
4.已知x，y为正实数，则（　　）
A.2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B.2lg（x＋y）＝2lg x＋2lg y
C.2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D.2lg（xy）＝2lg x·2lg y
答案　D
解析　∵x，y∈（0，＋∞），∴2lg （xy）＝2lg x＋lg y＝2lg x·2lg y，A不成立，D成立；对于B，C，不妨取x＝y＝1，代入B，C易知不成立，故选D.
5.（2021·杭州质检）设正实数x，y满足ex·ey＝（ex）y，则当x＋y取得最小值时，x＝（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　B
解析　由ex·ey＝（ex）y得ex＋y＝exy，所以x＋y＝xy≤，解得x＋y≥4，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，故选B.
6.（2020·全国Ⅲ卷）设a＝log32，b＝log53，c＝，则（　　）
A.aC.b答案　A
解析　∵3log32＝log38<2，∴log32<，即a∵3log53＝log527>2，∴log53>，即b>c.
∴a7.已知a>0，b>0，则下列等式不正确的是（　　）
A.alg b·blg a＝1 B.alg b＋blg a＝2alg b
C.alg b·blg a＝（alg b）2 D.alg b·blg a＝blg a2
答案　A
解析　由于a>0，b>0，故当a＝b时，有alg bblg a＝（alg b）2，alg b＋blg a＝alg b＋alg b＝2alg b，alg b·blg a＝（blg a）2＝b2lg a＝blg a2，故选A.
8.（2019·北京卷）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）.已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（　　）
A.1010.1 B.10.1
C.lg 10.1 D.10－10.1
答案　A
解析　设太阳的星等为m1，天狼星的星等为m2，则太阳与天狼星的亮度分别为E1，E2.
由题意知m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－（－26.7）＝lg，所以lg＝10.1，所以＝1010.1.故选A.
9.已知log23＝a，log25＝b，则log2＝（　　）
A.a2－b B.2a－b C. D.
答案　B
解析　∵log23＝a，log25＝b，∴log2＝log29－log25＝2log23－log25＝2a－b.
二、填空题
10.若log2x＝log43，则x＝　　　　Ｗ.
答案　
解析　由等式可得log2x＝log23，解得x＝.
11.（lg 2）2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝　　　　Ｗ.
答案　2
解析　（lg 2）2＋lg 2·lg 50＋lg 25
＝lg 2·（lg 2＋lg 50）＋lg 25
＝2（lg 2＋lg 5）＝2.
12.若x＝log43，则（2x－2－x）2＝　　　　Ｗ.
答案　
解析　∵x＝log43，∴4x＝3，4－x＝，
∴（2x－2－x）2＝4x－2＋4－x＝3－2＋＝.
13.已知a＋a－＝3，则a＋a－1＝　　　　，a2＋a－2＝　　　　
答案　7　47
解析　∵a＋a－＝3，
∴两边平方得a＋a－1＋2＝9，
∴a＋a－1＝7，
对上式两边平方得a2＋2＋a－2＝49，
∴a2＋a－2＝47.
14.计算：2lg 2＋lg 25＝　　　　，方程log2（x＋1）＝3的解为x＝　　　　
答案　2　7
解析　2lg 2＋lg 25＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，∵方程log2（x＋1）＝3，∴x＋1＝23＝8，解得x＝7.
能力提升题组
15.（2021·温州适考）设a，b∈（0，1）∪（1，＋∞），则“a＝b”是“logab＝logba”的（　　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　因为a，b∈（0，1）∪（1，＋∞），当a＝b时，logab＝logba，充分性成立；当logab＝logba，取a＝2，b＝，验证等式成立，故必要性不成立，所以“a＝b”是“logab＝logba”的充分不必要条件，故选A.
16.（2018·全国Ⅲ卷）设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则（　　）
A.a＋bC.a＋b<0答案　B
解析　由a＝log0.20.3得＝log0.30.2，由b＝log20.3得＝log0.32，所以＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，所以0<＋<1，得0<<1.又a>0，b<0，所以ab<0，所以ab17.函数f（x）＝的图象为（　　）
答案　D
解析　f（x）＝
＝故选D.
18.比较lg 2，（lg 2）2，lg（lg 2）的大小，其中最大的是　　　　；最小的是　　　　
答案　lg 2　lg（lg 2）
解析　因为0＜lg 2＜1，所以lg（lg 2）＜0＜（lg 2）2＜lg 2，即最大的是lg 2，最小的是lg（lg 2）.
19.已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则xy的最大值是　　　　Ｗ.
答案　
解析　由题意得lg 2x＋lg 8y＝lg（2x×23y）＝lg 2x＋3y＝lg 2（x>0，y>0），所以x＋3y＝1，则xy＝x×3y≤＝，当且仅当x＝3y＝时，等号成立，所以xy的最大值为
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