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第6节　幂函数、指数函数、对数函数
知 识 梳 理
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)常见的5种幂函数的性质
2.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1； 当x<0时，01； 当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.
1.幂函数满足三个条件：(1)幂底是单自变量；(2)指数为常数；(3)系数为1.类似地指数函数、对数函数也分别满足三个条件.
2.(1)幂函数图象的分布规律：作一直线x＝t>1，与幂函数交点在上面的幂函数的指数大；
(2)指数函数图象的分布规律：作一直线x＝t>0，与指数函数交点在上面的指数函数的底数大；
(3)对数函数图象的分布规律：作一直线y＝k>0，与对数函数交点在右边的对数函数的底数大.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)幂函数y＝x0与常值函数y＝1图象相同.(　　)
(2)函数y＝2x是幂函数.(　　)
(3)y＝2x－1是指数函数，y＝loga(x2＋1)(a>0，且a≠1)是对数函数.(　　)
(4)函数y＝ln 与y＝ln(x＋1)－ln(x－1)的定义域相同.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
解析　(1)错误，y＝1的图象去掉点(0，1)才是y＝x0的图象；
(2)错误，因为x的系数不是1；
(3)错误，y＝2x－1＝·2x，2x前面的系数不为1，
y＝loga(x2＋1)(a>0且a≠1)，真数为x2＋1而不是单自变量x.
(4)错误，y＝ln 的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
而y＝ln(x＋1)－ln(x－1)的定义域为(1，＋∞)，
故函数的定义域不同.
2.(2019·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)
答案　D
解析　当0于是函数y＝的图象过定点(0，1)，在R上单调递增，
函数y＝loga的图象过定点，在上单调递减.
因此，选项D中的两个图象符合.
当a>1时，函数y＝ax的图象过定点(0，1)，在R上单调递增，
于是函数y＝的图象过定点(0，1)，在R上单调递减，函数y＝loga的图象过定点，在上单调递增.
显然A，B，C，D四个选项都不符合.
故选D.
3.(一题多解)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)
A.a>1，c>1
B.a>1，0C.01
D.0答案　D
解析　法一　由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以00，即logac>0，所以0法二　由图可知，y＝loga(x＋c)的图象是由y＝logax的图象向左平移c(c＞0)个单位而得到的，其中0＜c＜1，再根据单调性易知0＜a＜1.
4.已知幂函数f(x)＝xα(α是实数)的图象经过点(2，)，则f(4)的值为________.
答案　2
解析　幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，)，
所以f(2)＝2α＝，
解得α＝，
所以f(x)＝x，则f(4)＝＝2.
5.若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不经过原点，则实数m的值为________.
答案　1或2
解析　由解得m＝1或2.
经检验m＝1或2都适合.
6.当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝ax－3－2必过定点________，其值域为________.
答案　(3，－1)　(－2，＋∞)
解析　函数f(x)＝ax－3－2的图象是将函数y＝ax的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的.故函数f(x)＝ax－3－2必过定点(3，－1)，其值域为(－2，＋∞).
考点一　幂函数
(1)已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，
＋∞)上递减，则α＝________.
(2)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，
＋∞)上是减函数，则n的值为(　　)
A.－3 B.1 C.2 D.1或2
答案　(1)－1　(2)B
解析　(1)由f(x)为奇函数，所以α＝－1，1，3，又在(0，＋∞)上为递减可知α＝－1.
(2)∵幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n在(0，＋∞)上是减函数，
∴∴n＝1，
又n＝1时，f(x)＝x－2的图象关于y轴对称，故n＝1.
感悟升华　(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
【训练1】 (1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　)
A. B.1 C. D.2
(2)已知a＝2，b＝3，c＝25，则(　　)
A.bC.b(3)若(2m＋1)>(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C.(－1，2) D.
答案　(1)C　(2)A　(3)D
解析　(1)由幂函数的定义知k＝1.又f＝，
所以＝，解得α＝，从而k＋α＝.
(2)因为a＝2＝4，b＝3，c＝5，又y＝x在(0，＋∞)上是增函数，所以c>a>b.
(3)因为函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，
且在定义域内为增函数，
所以不等式等价于
解得
即≤m<2.
考点二　指数函数
【例2】 已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值.
解　(1)当a＝－1时，f(x)＝，
令u＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7.
在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2).
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
(3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.
感悟升华　(1)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
(2)比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；③当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.
【训练2】 (1)(2021·杭州二中检测)已知0A.(1－a)>(1－a)b B.(1－a)b>(1－a)
C.(1＋a)a>(1＋b)b D.(1－a)a>(1－b)b
(2)设函数f(x)＝则使得f(x)≤3成立的x的取值范围是________.
(3)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________.
答案　(1)D　(2)(－∞，27]　(3)[－1，1]
解析　(1)因为0(1－a)b>(1－b)b，故选D.
(2)当x≥8时，f(x)＝x≤3，∴x≤27，即8≤x≤27；
当x<8时，f(x)＝2ex－8≤3恒成立，故x<8.
综上，x∈(－∞，27].
(3)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].
考点三　对数函数
【例3】 已知函数f(x)＝loga(ax2－x).
(1)若a＝，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在区间[2，4]上是增函数，求实数a的取值范围.
解　(1)当a＝时，f(x)＝log，
由x2－x>0，得x2－2x>0，解得x<0或x>2，
所以函数的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，
结合图象可得函数的单调递减区间为(2，＋∞)，
单调递增区间为(－∞，0).
(2)令g(x)＝ax2－x，
则函数g(x)的图象为开口向上、对称轴为x＝的抛物线，
①当0则g(x)＝ax2－x在[2，4]上单调递减，且g(x)min>0，
即此不等式组无解.
②当a>1时，要使函数f(x)在区间[2，4]上是增函数，
则g(x)＝ax2－x在[2，4]上单调递增，且g(x)min>0，
即解得a>，
又a>1，所以a>1，
综上可得a>1.
实数a的取值范围为(1，＋∞).
感悟升华　(1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.
(2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.
(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.
【训练3】 (1)(2019·天津卷)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.aC.b(2)(一题多解)当0A. B. C.(1，) D.(，2)
(3)(2021·浙江名校冲刺卷)已知实数x1，x2分别满足x1＝e，(x2＋e)ln x2＝e，则x1x2＝________.
答案　(1)A　(2)B　(3)e
解析　(1)因为y＝log5x是增函数，所以a＝log52log0.50.5＝1.因为y＝0.5x是减函数，所以0.5＝0.51(2)法一　由题意得，当0当a>1时，不符合题意，舍去.
所以实数a的取值范围是.
法二　∵当0＜x≤时，1＜4x≤2，要使4x＜logax，
必须2＜logax，
∴即对0＜x≤恒成立，
∴解得＜a＜1.
(3)由x1＝e>0，两边同时取对数得ln x1＝，又由(x2＋e)ln x2＝e，得ln x2＝＝1－，即1－ln x2＝，故ln ＝.因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，而y＝在(0，＋∞)上单调递减，故ln x＝只有唯一实根，因此，x1＝，所以x1x2＝e.
基础巩固题组
一、选择题
1.(2020·上海嘉定区调研)“函数f(x)(x∈R)存在反函数”是“函数f(x)在R上为增函数”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　函数f(x)(x∈R)存在反函数，至少还有可能函数f(x)在R上为减函数，充分性不成立；根据反函数的定义可知必要性显然成立，“函数f(x)(x∈R)存在反函数”是“函数f(x)在R上为增函数”的必要不充分条件，故选B.
2.已知x，y∈R，且x＞y＞0，若a＞b＞1，则一定有(　　)
A.logax＞logby B.sinax＞sinby
C.ay＞bx D.ax＞by
答案　D
解析　当x＞y＞0，a＞b＞1时，由指数函数的性质易得ax＞ay＞by，故选D.
3.(一题多解)(2019·全国Ⅱ卷)若a>b，则(　　)
A.ln(a－b)>0 B.3a<3b
C.a3－b3>0 D.|a|>|b|
答案　C
解析　法一　由函数y＝ln x的图象(图略)知，当0b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C正确；当b法二　当a＝0.3，b＝－0.4时，ln(a－b)<0，3a>3b，|a|<|b|，故排除A，B，D.故选C.
4.(2021·诸暨期末)若a－2>a2(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝loga(x－1)的图象大致是(　　)
答案　C
解析　因为a－2>a2(a>0且a≠1)，所以05.若函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　因为0＜a＜1，所以f(x)在[a，2a]上是减函数.所以f(x)max＝f(a)＝logaa＝1，f(x)min＝f(2a)＝loga(2a)＝1＋loga2，由题意知1＝3(1＋loga2)，即loga2＝－，
所以a＝.
6.(2020·温州适考)定义在R上的函数y＝f(x)满足|f(x)|≤2|x－1|，且y＝f(x＋1)为奇函数，则y＝f(x)的图象可能是(　　)
答案　D
解析　因为y＝f(x＋1)为奇函数，所以f(x＋1)＝－f(－x＋1)，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称，排除A，B；又因为|f(1.5)|≤2|1.5－1|＝20.5＝，所以排除C，故选D.
7.已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a答案　C
解析　因为f(x)是奇函数且在R上是增函数，所以当x>0时，f(x)>0，
从而g(x)＝xf(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，
a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，
20.8<2，又4<5.1<8，则2所以0<20.8g(20.8)所以b8.(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(　　)
A.y＝ln(1－x) B.y＝ln(2－x)
C.y＝ln(1＋x) D.y＝ln(2＋x)
答案　B
解析　法一　设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x).故选B.
法二　由题意知，对称轴上的点(1，0)在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.
9.下列命题正确的是(　　)
A.若ln a－ln b＝a－3b，则a>b>0
B.若ln a－ln b＝a－3b，则0C.若ln a－ln b＝3b－a，则a>b>0
D.若ln a－ln b＝3b－a，则0答案　C
解析　若ln a－ln b＝3b－a，则a>0，b>0，所以ln a＋a＝ln b＋3b>ln b＋b，设f(x)＝ln x＋x，则易得函数f(x)＝ln x＋x在(0，＋∞)上单调递增，所以a>b>0，C正确.
二、填空题
10.函数f(x)＝lg(4x－2x＋1＋11)的最小值是________.
答案　1
解析　令2x＝t，t>0，则4x－2x＋1＋11＝t2－2t＋11＝(t－1)2＋10≥10.所以lg(4x－2x＋1＋11)≥1，
即所求函数的最小值为1.
11.方程2x＝2－x的解的个数是________.
答案　1
解析　方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图).
由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解.
12.函数f(x)＝loga(ax－3)在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是________.
答案　(3，＋∞)
解析　由于a>0，且a≠1，
∴u＝ax－3为增函数，
∴若函数f(x)为增函数，则y＝logau必为增函数，
∴a>1.
又u＝ax－3在[1，3]上恒为正，
∴a－3>0，∴a>3.
13.设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________.
答案　(－1，0)
解析　由f(x)是奇函数可得a＝－1，
∴f(x)＝lg，定义域为(－1，1).
由f(x)<0，可得0<<1，∴－114.(2021·浙江三校三联)函数f(x)＝log2(3－2x－x2)，则f(x)的单调递增区间为________，值域为________.
答案　(－3，－1)　(－∞，2]
解析　令3－2x－x2＞0得－3＜x＜1，所以函数f(x)＝log2(3－2x－x2)的定义域为(－3，1).因为函数f(u)＝log2u在(0，＋∞)上单调递增，函数u(x)＝3－2x－x2在(－3，－1)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，所以函数f(x)＝log2(3－2x－x2)的单调递增区间为(－3，－1).由x∈(－3，1)得u(x)∈(0，4]，所以f(u)＝log2u∈(－∞，2]，故f(x)的值域为(－∞，2].
能力提升题组
15.(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　)
A.a>2b B.a<2b
C.a>b2 D.a答案　B
解析　由指数和对数的运算性质可得
2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.
令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log2(2b)，
∴2a＋log2a<22b＋log2(2b)，即f(a)16.函数f(x)＝若互不相等的实数a，b，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a＋2b＋2c的取值范围是(　　)
A.(16，32) B.(18，34) C.(17，35) D.(6，7)
答案　B
解析　画出函数f(x)的图象如图所示.
不妨设a0.
由f(a)＝f(b)，得1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2.
又f(a)＝f(b)＝f(c)，
结合图象，得0<5－c<1，则4∴16<2c<32.故18<2a＋2b＋2c<34.
17.(2021·嵊州适考)已知函数f(x)＝|ln x|＋x，若f(x1)＝f(x2)，其中x1≠x2，则(　　)
A.x1＋x2<2 B.x1＋x2>2
C.＋<2 D.＋>2
答案　D
解析　根据题意不妨设02，所以＋＝>>2，故选D.
18.已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________.
答案　
解析　当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，
则f(x)min＝loga(8－2a)>1，
解之得1若0由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，
则f(x)min＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.
∴a>4，且a<4，故a不存在.
综上可知实数a的取值范围是.
19.(2018·上海卷)已知常数a＞0，函数f(x)＝的图象经过点P、Q，若2p＋q＝36pq，则a＝________.
答案　6
解析　由题意知＋＝1，∴2p＋q＝a2pq＝36pq，∴a＝6.
20.若f(x)＝是R上的奇函数，则实数a的值为________，f(x)的值域为________.
答案　1　(－1，1)
解析　∵函数f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，
∴＝0，解得a＝1，f(x)＝＝1－.
∵2x＋1>1，∴0<<2，∴－1<1－<1，
∴f(x)的值域为(－1，1).
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