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第6节　三角函数的图象与性质
知 识 梳 理
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x
值域 [－1，1] [－1，1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
1．要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆．
2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期．而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．
3．三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．
诊 断 自 测
1．判断下列说法的正误．
(1)由sin＝sin 知，是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．(　　)
(2)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴．(　　)
(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　　)
(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　)
(5)y＝sin|x|是偶函数．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
解析　(1)函数y＝sin x的周期是2kπ(k∈Z)．
(2)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条．
(3)正切函数y＝tan x在每一个区间
(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数．
(4)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1.
2．关于周期函数，下列说法错误的是(　　)
A．函数f(x)＝sin 不是周期函数
B．函数f(x)＝sin 不是周期函数
C．函数f(x)＝sin|x|不是周期函数
D．函数f(x)＝|sin x|＋|cos x|的最小正周期为π
答案　D
解析　f(x)＝|sin x|＋|cos x|的最小正周期为.
3．(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
答案　B
解析　易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3＋1＝cos 2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.故选B.
4．若函数f(x)＝sin(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由已知f(x)＝sin是偶函数，可得＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0，2π]，所以φ＝.
5．(必修4P47B2改编)函数y＝－tan的单调递减区间为________．
答案　(k∈Z)
解析　因为y＝tan x的单调递增区间为
(k∈Z)，
所以由－＋kπ＜2x－＜＋kπ(k∈Z)，
得＋＜x＜＋(k∈Z)，
所以y＝－tan的单调递减区间为
(k∈Z)．
6．设函数f(x)＝2sin(ω>0，x∈R)，最小正周期T＝π，则实数ω＝________，函数f(x)的图象的对称中心为________．
答案　2　(k∈Z)
解析　由T＝＝π，∴ω＝2，f(x)＝2sin，令2sin＝0，得2x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝－(k∈Z)，对称中心为(k∈Z)．
考点一　三角函数的定义域及三角函数不等式
【例1】 (1)函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)
A. B.
C. D.
(2)不等式＋2cos x≥0的解集是________．
(3)函数f(x)＝＋log2(2sin x－1)的定义域是________．
答案　(1)D　(2)　(3)∪∪
解析　(1)由正切函数的定义域得2x＋≠kπ＋(k∈Z)，
即x≠＋(k∈Z)，故选D.
(2)由＋2cos x≥0，得cos x≥－，
由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x≥－的解集为
，
故原不等式的解集为
.
(3)由题意得
由①得－8≤x≤8，由②得sin x>，由正弦曲线得＋2kπ所以不等式组的解集为∪∪.
感悟升华　(1)三角函数定义域的求法
①以正切函数为例，应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域．
②求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式．
(2)简单三角不等式的解法
①利用三角函数线求解．
②利用三角函数的图象求解．
【训练1】 (1)函数y＝tan 2x的定义域是(　　)
A. B.
C. D.
(2)(一题多解)函数y＝的定义域为________．
答案　(1)D　(2)
解析　(1)由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
∴y＝tan 2x的定义域为.
(2)法一　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．
在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.
法二　利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．
所以定义域为
.
法三　sin x－cos x＝sin≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ(k∈Z)，
解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
所以定义域为.
考点二　三角函数的最值和值域
【例2】 (1)函数y＝－2sin x－1，x∈的值域是(　　)
A．[－3，1] B．[－2，1] C．(－3，1] D．(－2，1]
(2)(一题多解)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　)
A. B．1 C. D.
(3)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________．
答案　(1)D　(2)A　(3)
解析　(1)由正弦曲线知y＝sin x在上，－1≤sin x<，所以函数
y＝－2sin x－1，x∈的值域是(－2，1]．
(2)法一　∵f(x)＝sin＋cos
＝＋cos x＋sin x
＝sin x＋cos x＋cos x＋sin x
＝sin x＋cos x＝sin，
∴当x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值.
法二　cos ＝cos＝sin，则f(x)＝sin＋sin
＝sin，函数的最大值为.
(3)设t＝sin x－cos x，
则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，
sin xcos x＝，且－≤t≤.
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.
当t＝1时，ymax＝1；
当t＝－时，ymin＝－－.
∴函数的值域为.
感悟升华　求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
【训练2】 (1)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)
A．2－ B．0 C．－1 D．－1－
(2)(2021·绍兴一中模拟)若函数f(x)＝cos2x＋asin x＋b在上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值(　　)
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，但与b有关 D．与a无关，且与b无关
(3)(2020·北京卷)若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x的最大值为2，则常数φ的一个取值为__________．
答案　(1)A　(2)B　(3)(答案不唯一，只要等于＋2kπ，k∈Z即可)
解析　(1)因为0≤x≤9，所以－≤x－≤，
所以sin∈.
所以y∈[－，2]，所以ymax＋ymin＝2－.选A.
(2)f(x)＝cos2x＋asin x＋b＝－sin2x＋asin x＋b＋1.因为x∈，令t＝sin x∈[0，1]，则y＝－t2＋at＋b＋1＝－＋＋b＋1.因为t∈[0，1]，所以函数的对称轴t＝的位置对函数在给定区间的最值有影响．所以最大值M与最小值m的差M－m的值与a有关，但与b无关，故选B.
(3)∵f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x的最大值为2，
又sin(x＋φ)≤1，cos x≤1，
则sin(x＋φ)＝cos x＝1时，f(x)取得最大值2.
由诱导公式，得φ＝＋2kπ，k∈Z.
∴φ的一个取值可为.
考点三　三角函数的性质
角度1　三角函数的奇偶性与周期性
【例3－1】 (1)已知函数f(x)＝tan，则f(x)的最小正周期为________，f＝________．
(2)(2021·杭州四中仿真)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)，则f(x)的奇偶性(　　)
A．与ω有关，且与φ有关
B．与ω有关，但与φ无关
C．与ω无关，且与φ无关
D．与ω无关，但与φ有关
答案　(1)　2＋　(2)D
解析　(1)函数f(x)＝tan的最小正周期为T＝，f＝tan＝
＝2＋.
(2)若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)为奇函数，则f(0)＝sin(0＋φ)＝0，即φ＝kπ，k∈Z；若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)为偶函数，则f(0)＝sin(0＋φ)＝±1，即φ＝＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的奇偶性与ω无关，但与φ有关，故选D.
感悟升华　(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
①f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
②f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期T＝，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.
角度2　三角函数的单调性
【例3－2】 (1)函数f(x)＝sin的单调递减区间为________．
(2)(一题多解)若f(x)＝2sin ωx＋1(ω>0)在区间上是增函数，则ω的取值范围是________．
答案　(1)(k∈Z)　(2)
解析　(1)由已知可得函数为y＝－sin，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的单调增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所求函数的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)法一　由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，k∈Z，
得f(x)的增区间是(k∈Z)．
因为f(x)在上是增函数，
所以 .
所以－≥－且≤，所以ω∈.
法二　因为x∈，ω>0.
所以ωx∈，
又f(x)在区间上是增函数，
所以 ，
则又ω>0，得0<ω≤.
法三　因为f(x)在区间上是增函数，故原点到－，的距离不超过，即得T≥，即≥，又ω>0，得0<ω≤.
感悟升华　(1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷．
角度3　三角函数的对称轴或对称中心
【例3－3】 (1)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值是________．
(2)函数f(x)＝2cos－1的对称轴为________，最小值为________．
答案　(1)－　(2)x＝kπ－(k∈Z)　－3
解析　(1)由函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，得sin＝±1，因为－<φ<，所以<＋φ<，则＋φ＝，φ＝－.
(2)由x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)，即函数
f(x)的对称轴为x＝kπ－(k∈Z)；
因为2cos∈[－2，2]，所以2cos－1∈[－3，1]，所以函数f(x)的最小值为－3.
感悟升华　(1)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．
(2)对于可化为f(x)＝Acos(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可．
【训练3】 (1)(角度1)(一题多解)已知函数f(x)＝cos2x－sin2，则f＝________，该函数的最小正周期为________．
(2)(角度2)已知ω>0，函数f(x)＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
(3)(角度3)函数y＝sin(2x＋φ)图象的一个对称中心为，则φ的值是________．
答案　(1)0　π　(2)D　(3)－
解析　(1)法一　f(x)＝－
＝cos，
则f＝cos ＝0，
函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
法二　注意三角恒等变换中“正弦的平方差公式”sin(α－β)sin(α＋β)＝sin2α－sin2β，则f(x)＝sin2－sin2＝sinsin ＝cos，则f＝cos ＝0，函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)函数y＝cos x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，
则(k∈Z)，
解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，
又由4k－－≤0，k∈Z且2k－>0，k∈Z，
得k＝1，所以ω∈.
(3)因为函数y＝sin(2x＋φ)图象的一个对称中心为，所以sin＝0，又因为－<φ<，则－<＋φ<，即＋φ＝0，
解得φ＝－.
基础巩固题组
一、选择题
1．(2019·全国Ⅱ卷)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　)
A．2 B. C．1 D.
答案　A
解析　由题意及函数y＝sin ωx的图象和性质可知，
T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.故选A.
2．函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案　B
解析　当kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)时，函数y＝tan单调递增，解得－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数y＝tan的单调递增区间是(k∈Z)，故选B.
3．(2020·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝cos在[－π，π]的图象大致如下图，则f(x)的最小正周期为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由图象知π即π<<2π，所以1<|ω|<2.
因为图象过点，所以cos＝0，
所以－ω＋＝2kπ－，k∈Z，
所以ω＝－＋，k∈Z.
因为1<|ω|<2，故k＝0，得ω＝.
故f(x)的最小正周期为T＝＝.故选C.
4．(2020·天津卷)已知函数f(x)＝sin.给出下列结论：
①f(x)的最小正周期为2π；
②f是f(x)的最大值；
③把函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图象．
其中所有正确结论的序号是(　　)
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
答案　B
解析　T＝＝2π，故①正确．当x＋＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，故②错误．
y＝sin x的图象y＝sin的图象，故③正确．故选B.
5．(2021·嘉、丽、衢模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在区间上单调，则ω的最大值是(　　)
A．12 B．11 C．10 D．9
答案　B
解析　由x＝－为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的零点，x＝为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象的对称轴得－ω＋φ＝k1π，ω＋φ＝k2π＋(k1，k2∈Z)，则ω＝2(k2－k1)＋1(k1，k2∈Z)①，又因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在上单调，所以·≥－，即ω≤12②，结合①②得ω的最大值为11，故选B.
6．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且任意x∈R，有f(x)≤f成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝.因为f(x)≤f恒成立，所以f(x)max＝f，即·＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，由|φ|<，得φ＝，故f(x)＝sin.
令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，当k＝0时，f(x)图象的对称中心为，故选A.
二、填空题
7．若函数f(x)＝cos(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________；f(x)取最大值时，x的取值集合为________．
答案　　
解析　因为f(x)为奇函数，所以φ－＝＋kπ，k∈Z，φ＝＋kπ，k∈Z.又因为0<φ<π，故φ＝.由f(x)＝cos＝cos＝－sin 2x(x∈R)，∴当2x＝2kπ－，k∈Z，即x＝kπ－，k∈Z时，f(x)得最大值1.
8．(2021·宁波适考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于点对称，关于直线x＝－对称，最小正周期T∈，则T＝________，f(x)的单调递减区间是________．
答案　　(k∈Z)
解析　由题意知＝T，即T＝，所以ω＝3，所以3·＋φ＝kπ，k∈Z，φ＝kπ－，k∈Z，又0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝sin.令2kπ＋≤3x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得＋≤x≤＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
9．(2021·温州适考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是偶函数，且在上是减函数，则φ＝________，ω的最大值是________．
答案　　2
解析　由题意知φ＝＋2kπ，k∈Z，又0≤φ≤π，所以φ＝，故函数f(x)＝cos ωx(ω>0)．令2mπ≤ωx≤π＋2mπ，m∈Z，得≤x≤＋，m∈Z，令m＝0，得0≤x≤，所以≥，解得0<ω≤2，所以ω的最大值是2.
10．(一题多解)若函数y＝sin ωx在区间[0，2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是________．
答案　
解析　法一　由题意得ω>0，ωx∈[0，2ωπ] ，所以0<2ωπ≤ 0<ω≤.
法二　由题意得ω>0，∵y＝sin ωx在[0，2π]上单调递增，说明该函数至少T的图象在[0，2π]上，则其周期至少为8π，即≥8π，即ω≤，故0<ω≤.
三、解答题
11．(2019·浙江卷)设函数f(x)＝sin x，x∈R.
(1)已知θ∈[0，2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；
(2)求函数y＝＋的值域．
解　(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，
所以对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，
即sin xcos θ＋cos xsin θ＝－sin xcos θ＋cos xsin θ，
故2sin xcos θ＝0，所以cos θ＝0.
又θ∈[0，2π)，因此θ＝或θ＝.
(2)y＝＋
＝sin2＋sin2
＝＋
＝1－
＝1－cos.
因此所求函数的值域是.
12．设函数f(x)＝sin－2cos2＋1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)(一题多解)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈时，y＝g(x)的最大值．
解　(1)f(x)＝sin cos －cos sin －cos
＝sin －cos ＝sin，
故f(x)的最小正周期为T＝＝8.
(2)法一　在y＝g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，
它关于x＝1的对称点(2－x，g(x))．
由题设条件，知点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图象上，
从而g(x)＝f(2－x)＝sin
＝sin＝cos.
当0≤x≤时，≤＋≤，
因此y＝g(x)在区间上的最大值为
g(x)max＝cos ＝.
法二　区间关于x＝1的对称区间为，
且y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，
故y＝g(x)在上的最大值为
y＝f(x)在上的最大值．
由(1)知f(x)＝sin，
当≤x≤2时，－≤－≤.
因此y＝g(x)在上的最大值为
g(x)max＝sin ＝.
能力提升题组
13．已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值为(　　)
A. B. C．2 D．3
答案　B
解析　∵ω>0，－≤x≤，∴－≤ωx≤.
由已知条件知－≤－，∴ω≥.
14．函数f(x)＝asin ωx＋bcos ωx(a≠0，b≠0，ω≠0)，则f(x)(　　)
A．是非奇非偶函数 B．奇偶性与a，b有关
C．奇偶性与ω有关 D．奇偶性与a，b无关
答案　A
解析　f(x)＝asin ωx＋bcos ωx＝sin(ωx＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，要使函数f(x)＝sin(ωx＋φ)为奇函数，则f(0)＝sin φ＝0，因为a≠0，b≠0，所以≠0，又因为sin φ＝≠0，所以f(0)＝sin φ≠0，所以函数f(x)不是奇函数．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)为偶函数，则f(0)＝sin φ＝±，则sin φ＝±1，cos φ＝0，因为a≠0，所以cos φ＝≠0，所以f(0)＝sin φ≠±，所以函数f(x)不是偶函数，故选A.
15．设x1，x2，x3，x4∈，则(　　)
A．在这四个数中至少存在两个数x，y，满足sin(x－y)>
B．在这四个数中至少存在两个数x，y，满足cos(x－y)≥
C．在这四个数中至多存在两个数x，y，满足tan(x－y)<
D．在这四个数中至多存在两个数x，y，满足sin(x－y)≥
答案　B
解析　将区间平均分为三个区间，则每个区间的长度为.因为x1，x2，x3，x4∈，所以在x1，x2，x3，x4中至少有两个数在同一区间内，设这两个数为x，y，则|x－y|≤，所以cos(x－y)≥，故选B.
16．(2021·北京东城区一模)函数f(x)＝sin的最小正周期为________；若函数f(x)在区间(0，α)上单调递增，则α的最大值为________．
答案　π　
解析　f(x)＝sin，故T＝＝π，当x∈(0，α)时，2x＋∈，故2α＋≤，解得α≤.
17.(2021·浙江十校联盟联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝f－f的单调递增区间．
解　(1)∵＝－，∴T＝π，ω＝＝2.
由题意可得解得A＝2，φ＝，
∴函数f(x)＝2sin.
(2)∵f＝2sin 2x，
f＝2sin，
∴g(x)＝f－f
＝2
＝2sin.
∵2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
∴函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
18.
(2021·宁波期末)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(0<φ<π)图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)若y＝f(x)的图象过点，且部分图象如图所示，求函数f(x)的解析式；
(2)若函数y＝f(x)是偶函数，将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象，求函数y＝2＋g(x)在上的最大值与最小值．
解　由已知可得T＝π，则有ω＝2.
(1)由f(0)＝，0<φ<π得φ＝或φ＝，
由图象可知点在f(x)>0时位于对称轴的右侧，
所以φ＝，所以f(x)＝sin.
(2)由函数y＝f(x)是偶函数且0<φ<π得φ＝.
即f(x)＝cos 2x.
由已知得g(x)＝cos，
故y＝2＋g(x)＝2cos2x＋cos
＝1＋cos 2x＋cos 2x－sin 2x
＝1＋cos 2x－sin 2x
＝1＋
＝1＋cos.
因为x∈，所以2x＋∈，
所以函数在上的最大值为，最小值为1－.
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