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第7节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
知 识 梳 理
1．“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图
“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：
(1)定点：如下表所示．
X －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象．
(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义
当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表：
简谐振动 振幅 周期 频率 相位 初相
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)， x∈[0，＋∞) A T＝ f＝ ωx＋φ φ
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
1．由函数y＝sin x的图象经过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，当先伸缩再平移时，要把x前面的系数提取出来．
2．复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看作一个整体．若ω<0，要先根据诱导公式进行转化．
3．求函数y＝Asin(ωx＋φ)在x∈[m，n]上的最值，可先求t＝ωx＋φ的范围，再结合图象得出y＝Asin t的值域．
诊 断 自 测
1．判断下列说法的正误．
(1)将函数y＝3sin 2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　)
(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(　　)
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)
(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos 2x.
(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当|ω|≠1时平移的长度不相等．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)
A．2，，－ B．2，，－
C．2，，－ D．2，，－
答案　A
解析　振幅A＝2，频率f＝＝＝，初相φ＝－.
3．(2021·杭州二中月考)将函数y＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　将函数y＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度得到的函数图象对应的函数解析式为
y＝cos＝cos.因为得到的函数为奇函数，所以－＋φ＝＋kπ(k∈Z)，解得φ＝＋kπ(k∈Z)，则当k＝－1时，|φ|取得最小值，故选B.
4．要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝
cos图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案　C
解析　因为y＝cos＝－sin 2x，故要得到函数y＝sin＝－sin的图象，只需将函数y＝－sin 2x的图象向左平移个单位长度即可，故选C.
5．(2020·江苏卷)将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是________．
答案　x＝－
解析　将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝3sin＝
3sin.令2x－＝kπ＋，k∈Z，得对称轴的方程为x＝＋，k∈Z，分析知当k＝－1时，对称轴为直线x＝－，与y轴最近．
6．如图是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象，已知函数图象经过P，Q两点，则ω＝________，φ＝________．
答案　2　－
解析　因为f(x)过一个周期内的关键点P，Q，故T＝－(T为最小正周期)，即·＝，解得ω＝2，由f(x)的图象经过点P得sin＝1，则＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，则φ＝－＋2kπ(k∈Z)，又|φ|≤，则φ＝－.
考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
【例1】 设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的周期为π.
(1)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；
(2)(一题多解)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．
解　f(x)＝sin ωx＋cos ωx
＝2＝2sin，
又∵T＝π，∴＝π，
即ω＝2，∴f(x)＝2sin.
(1)令z＝2x＋，则y＝2sin＝2sin z.
列表，并描点画出图象：
x －
z 0 π 2π
y＝sin z 0 1 0 －1 0
y＝2sin 0 2 0 －2 0
(2)法一　把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin的图象；再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象．
法二　将y＝sin x的图象上每一点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin 2＝sin的图象；再将y＝sin的图象上每一点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2sin的图象．
感悟升华　作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
【训练1】 设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.
(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．
解　(1)∵T＝＝π，ω＝2，
又f＝cos＝，
∴sin φ＝－，又－＜φ＜0，∴φ＝－.
(2)由(1)得f(x)＝cos，列表：
2x－ － 0 π π π
X 0 π π π π
f(x) 1 0 －1 0
描点画出图象(如图)．
考点二　由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解
析式
【例2】 (1)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝__________，φ＝________．
(2)(一题多解)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________．
答案　(1)2　－　(2)f(x)＝sin
解析　(1)由题图可知，＝·＝－，
得ω＝2.
又函数过点，f(x)＝2sin(2x＋φ)，
故2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，得φ＝2kπ－，k∈Z，
∵－＜φ＜，∴φ＝－.
(2)由题图可知A＝，
法一　＝－＝，
所以T＝π，故ω＝2，
因此f(x)＝sin(2x＋φ)，
又对应五点法作图中的第三个点，
因此2·＋φ＝π，所以φ＝，故f(x)＝sin.
法二　以为第二个“零点”，为最小值点，
列方程组解得
故f(x)＝sin.
感悟升华　已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)五点法，由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ；
(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．
【训练2】 (1)
已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，函数f(x)的图象如图所示，则f(2 021π)的值为(　　)
A.　　　　　　　B．－
C.　　　　　　　D．－
(2)(2021·镇海中学模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，则φ＝________，为了得到g(x)＝Acos ωx的图象，需将函数y＝f(x)的图象最少向左平移________个单位长度．
答案　(1)B　(2)－　
解析　(1)由函数的图象可得A＝2，T＝＝4×＝4π，解得ω＝.又图象经过，0＝2sin，0<φ<π，φ＝，故f(x)的解析式为f(x)＝2sin，所以f(2 021π)＝2sin＝－.故选B.
(2)由题图知A＝2，T＝2＝π，所以ω＝＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，把点代入，得sin＝1，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝－＋2kπ(k∈Z)，又－π<φ<0，所以φ＝－，所以f(x)＝2sin；因为g(x)＝2cos 2x＝2sin＝2sin，所以要得到函数g(x)的图象需将函数f(x)的图象最少向左平移个单位长度．
考点三　y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的综合应用
【例3】 (2021·浙江名师预测卷二)已知函数f(x)＝sin＋2cos2.
(1)当f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．
解　(1)f(x)＝sin＋2cos2
＝cos 2x＋cos＋1
＝cos 2x－sin 2x＋1
＝2cos＋1，
∴f(x)的最小正周期为T＝＝π，
由2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z得
kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，即函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，
∴－≤cos≤1，
∴f(x)的值域为[1－，3]．
感悟升华　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间和对称性的确定，基本思想是把ωx＋φ看作一个整体．在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性．对称性是三角函数图象的一个重要性质，因此要抓住其轴对称、中心对称的本质，同时还要会综合利用这些性质解决问题，解题时可利用数形结合思想．
【训练3】 已知函数f(x)＝2cos x·cos在(a>0)上是减函数．
(1)求f(x)的最小正周期和对称轴方程；
(2)(一题多解)求实数a的取值范围．
解　(1)f(x)＝2cos x·
＝(1＋cos 2x)＋sin 2x
＝sin＋.
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
令2x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，
所以f(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
(2)法一　由(1)可知f(x)在上是减函数．
因为∈，
所以要使得f(x)在上是减函数，
只需满足解得a≤.
又a>0，所以实数a的取值范围.
法二　因为f(x)在上是减函数，
所以－≤＝，即0由(1)可知f(x)在(k∈Z)上是减函数，
所以－a≥kπ＋，且＋a≤kπ＋，
即a≤kπ＋，且a≤－kπ＋，k∈Z.
结合0基础巩固题组
一、选择题
1．若函数y＝sin(ωx－φ)(ω>0，|φ|<)在区间上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　)
A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝－
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝－
答案　A
解析　由题图可知T＝2＝π，所以ω＝＝2，又sin＝0，所以－φ＝2kπ(k∈Z)，即
φ＝－2kπ(k∈Z)，而|φ|<，所以φ＝，故选A.
2．(2021·镇海中学检测)设ω>0，将函数y＝
sin的图象向左平移个单位长度后与函数y＝
cos的图象重合，则ω的最小值为(　　)
A. B. C. D．1
答案　B
解析　将函数y＝sin的图象向左平移个单位长度后得到图象对应的函数为y＝sin与函数y＝cos的图象重合，所以sin＝
cos，即＝2kπ＋(k∈Z)，解得ω＝6k＋(k∈Z)，所以当k＝0时，ω有最小值且为，故选B.
3．函数f(x)＝3sinx－logx的零点的个数是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　D
解析　函数y＝3sinx的周期T＝＝4，由logx＝3，可得x＝.由logx＝－3，可得x＝8.在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝3sinx和y＝logx的图象(如图所示)，易知有5个交点，故函数f(x)有5个零点．
4．(2020·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝sin x＋，则(　　)
A．f(x)的最小值为2
B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线x＝π对称
D．f(x)的图象关于直线x＝对称
答案　D
解析　∵当x∈时，f(x)<0，∴f(x)min<0，A错误；∵f(x)＝sin x＋的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝sin(－x)＋＝－f(x)，∴f(－x)≠f(x)，∴f(x)为奇函数，不是偶函数，B错误；∵f(π－x)＝sin x＋，f(π＋x)＝－sin x－，∴f(π－x)≠f(π＋x)，∴f(x)的图象不关于直线x＝π对称，C错误；∵f＝cos x＋，f＝cos x＋，∴f＝f，
∴f(x)的图象关于直线x＝对称，D正确．故选D.
5．(2019·天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f＝(　　)
A．－2 B．－ C. D．2
答案　C
解析　因为f(x)是奇函数(显然定义域为R)，所以f(0)＝Asin φ＝0，所以sin φ＝0.又|φ|<π，所以φ＝0.
由题意得g(x)＝Asin，且g(x)的最小正周期为2π，
所以ω＝1，即ω＝2.所以g(x)＝Asin x，
所以g＝Asin ＝A＝，所以A＝2.
所以f(x)＝2sin 2x，所以f＝.故选C.
6．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案　B
解析　f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin.因为函数f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则函数f(x)的最小正周期为＝π，解得ω＝2，则f(x)＝2sin，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，故选B.
二、填空题
7．(2016·浙江卷)已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝________，b＝________．
答案　　1
解析　∵2cos2x＋sin 2x＝cos 2x＋1＋sin 2x
＝＋1＝sin＋1
＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，∴A＝，b＝1.
8．(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为________．
答案　3
解析　由题意知cos＝0，所以3x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，均满足题意，所以函数f(x)在[0，π]上的零点个数为3.
9．已知f(x)＝sin (ω>0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝__________________.
答案　
解析　依题意，x＝＝时，y有最小值，
∴sin＝－1，
∴ω＋＝2kπ＋ (k∈Z)．
∴ω＝8k＋ (k∈Z)，因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，所以－≤，即ω≤12，令k＝0，
得ω＝.
10．已知函数f(x)＝asin 2x＋(a＋1)cos 2x，a∈R，则函数f(x)的最小正周期为________；振幅的最小值为________．
答案　π　
解析　由题意得f(x)＝asin 2x＋(a＋1)cos 2x＝·sin(2x＋φ)，其中tan φ＝，所以函数f(x)的最小正周期为＝π，＝，Δ<0，所以当a＝－＝－时，取得最小值＝，即振幅的最小值为.
三、解答题
11．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos，其中x∈R，ω＞0.
(1)当ω＝1时，求f的值；
(2)当f(x)的最小正周期为π时，求f(x)在上取得最大值时x的值．
解　(1)当ω＝1时，f＝sin ＋cos
＝＋0＝.
(2)f(x)＝sin ωx＋cos
＝sin ωx＋cos ωx－sin ωx
＝sin ωx＋cos ωx＝sin.
∵＝π，且ω＞0，得ω＝2，∴f(x)＝sin.
由x∈，得2x＋∈，
∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝1.
12．(2021·绍兴一中模拟)已知函数f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)≥m在x∈上恒成立，求m的取值范围．
解　(1)f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
∴f(x)的最小正周期为T＝π.
(2)令2sin－m≥0，
得m≤2sin在上恒成立，
∵x∈，∴－≤2x－≤，
∴－≤sin≤1，∴－1≤2sin≤2，
∴m≤f(x)min＝－1，即m的取值范围为(－∞，－1]．
能力提升题组
13．已知函数f(x)＝asin x＋bcos x(a≠0)在x＝处得最小值，则函数f是(　　)
A．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称
B．偶函数且它的图象关于点对称
C．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称
D．奇函数且它的图象关于点对称
答案　C
解析　因为f(x)＝sin(x＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝，因为函数在x＝处取得最小值，所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)＝sin，所以f＝·sin(2π－x)＝－sin x是奇函数，关于点(kπ，0)(k∈Z)对称，当k＝1时，f关于(π，0)对称，故选C.
14．(2019·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝sin(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：
①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点；
②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点；
③f(x)在单调递增；
④ω的取值范围是.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
答案　D
解析　已知f(x)＝sin (ω>0)在[0，2π]有且仅有5个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在[a，b)上，此时f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点，但f(x)在(0，2π)可能有2或3个极小值点，所以①正确，②不正确；当x∈[0，2π]时，ωx＋∈，由f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点可得5π≤2πω＋<6π，得ω的取值范围是，所以④正确；由④知，当x∈时，<ωx＋<＋<<，所以f(x)在上单调递增，所以③正确．故选D.
15．(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　)
A. B. C. D．π
答案　A
解析　法一　f(x)＝cos x－sin x＝cos，且函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋≤π，得－≤x≤.因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以解得a≤，所以0法二　因为f(x)＝cos x－sin x，所以f′(x)＝－sin x－cos x，则由题意知f′(x)＝
－sin x－cos x≤0在[－a，a]上恒成立，即sin x＋cos x≥0，
即sin≥0在[－a，a]上恒成立，结合函数y＝sin的图象可知有解得a≤，所以016．已知ω>0，在函数y＝2sin ωx与y＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝________．
答案　
解析　由得sin ωx＝cos ωx，
∴tan ωx＝1，ωx＝kπ＋ (k∈Z)．
∵ω>0，∴x＝＋ (k∈Z)．
设距离最短的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，不妨取x1＝，x2＝，则|x2－x1|＝＝.
又结合图形知|y2－y1|＝＝2，
且(x1，y1)与(x2，y2)间的距离为2，
∴(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝(2)2，
∴＋(2)2＝12，∴ω＝.
17．(2021·杭州质检)已知函数f(x)＝sin2x－
cos2(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在上的值域．
解　(1)因为f(x)＝sin2x－cos2
＝sin2x－
＝sin2x－sin2x＋sin xcos x－cos2x
＝－(cos2x－sin2x)＋×2sin xcos x
＝sin 2x－cos 2x
＝sin，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝＝π.
(2)因为x∈，
所以2x－∈.
当2x－＝－，即x＝－时，f(x)min＝－；
当2x－＝，即x＝时，f(x)max＝，
所以函数f(x)在上的值域为.
18．(2021·台州评估测试)已知函数f(x)＝cos2x－2sin x·cos x－sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
(2)问方程f(x)＝在上有几个不同的实数根？并求这些实数根之和．
解　(1)因为f(x)＝cos 2x－sin 2x＝－2sin，
所以最小正周期T＝＝π.
当2x－＝2kπ－，k∈Z，即x＝kπ－，k∈Z时，
函数y＝f(x)取得最大值2.
(2)由2x－＝kπ－，k∈Z，可得函数f(x)的对称轴为x＝－，k∈Z，
作出函数f(x)的图象如图所示
所以方程f(x)＝在上共有4个不同的实数根，且这些实数根关于x＝对称，
所以这些实数根之和为.
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