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第7节　函数的图象与变换
知 识 梳 理
1.利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象.
(3)伸缩变换
y＝f(x)y＝f(ax).
y＝f(x)y＝Af(x).
(4)翻转变换
y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象.
1.记住几个重要结论
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.
(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
2.明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系.
3.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到.(　　)
(2)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称.(　　)
(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同.(　　)
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到y＝f(－1－x)的图象，故(1)错.
(2)两种说法有本质不同，前者为函数的图象自身关于y轴对称，后者是两个函数的图象关于y轴对称，故(2)错.
(3)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两函数图象不同，故(3)错.
2.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为(　　)
A.f(x)＝ex＋1 B.f(x)＝ex－1
C.f(x)＝e－x＋1 D.f(x)＝e－x－1
答案　D
解析　依题意，与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线是y＝e－x，于是f(x)相当于y＝
e－x向左平移1个单位的结果，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
3.(2021·浙江五校联考)函数f(x)＝－x2＋2的图象可能是(　　)
答案　D
解析　由函数解析式f(x)＝－x2＋2知，函数f(x)在定义域R上为偶函数.因为y＝－x2＋2的对称轴为y轴，且当x>0时，y＝－x2＋2为减函数，所以f(x)为减函数，故选D.
4.函数y＝1＋x＋的部分图象大致为(　　)
答案　D
解析　法一　易知g(x)＝x＋为奇函数，故y＝1＋x＋的图象关于点(0，1)对称，排除C；当x∈(0，1)时，y>0，排除A；当x＝π时，y＝1＋π，排除B，选项D满足.
法二　当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A，C；又当x→＋∞时，y→＋∞，排除B，而D满足.
5.若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________.
答案　(0，＋∞)
解析　在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示.由图象知当a>0时，方程|x|＝a－x只有一个解.
6.已知函数f(x)＝2x，若函数g(x)的图象与f(x)的图象关于x轴对称，则g(x)＝________；若把函数f(x)的图象向左平移1个单位，再向下平移4个单位后，所得函数的解析式为h(x)＝________.
答案　－2x　2x＋1－4
解析　∵g(x)的图象与函数f(x)＝2x的图象关于x轴对称，∴g(x)＝－2x.把f(x)＝2x的图象向左平移1个单位，得m(x)＝2x＋1的图象，再向下平移4个单位，得h(x)＝2x＋1－4的图象.
考点一　作函数的图象
【例1】 作出下列函数的图象：
(1)y＝；(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1.
解　(1)先作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，再作出y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图①实线部分.
(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.
(3)∵y＝2＋，故函数图象可由y＝图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图③.
(4)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④.
感悟升华　画函数图象的一般方法
(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.
(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
【训练1】 分别画出下列函数的图象：
(1)y＝|lg x|；(2)y＝sin |x|.
解　(1)∵y＝|lg x|＝
∴函数y＝|lg x|的图象，如图①.
(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图②.
考点二　函数图象的辨识
【例2】 (1)(2020·浙江卷)函数y＝xcos x＋sin x在区间[－π，π]上的图象可能是(　　)
(2)(2021·浙江考前冲刺卷)函数f(x)＝(x－a)3＋a＋1与函数g(x)＝logax＋在同一坐标系下的图象可能为(　　)
答案　(1)A　(2)A
解析　(1)当x＝π时，y＝π·cos π＋sin π＝π·(－1)＋0＝－π；当x＝－π时，y＝－π·cos(－π)＋sin(－π)＝－π·(－1)＋0＝π.故函数图象过(π，－π)，(－π，π)两点.故选A.
(2)由题意得，a>1或01时，g(x)＝logax＋单调递增，且f(x)＝(x－a)3＋a＋1的图象的对称中心在直线x＝1的右侧，故A正确，B错误；当0感悟升华　(1)抓住函数的性质，定性分析
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复.④从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
(2)抓住函数的特征，定量计算
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
(3)对于两个函数的图象问题，要注意图象变换的灵活使用.
【训练2】 (1)(2021·衢州、湖州、丽水质检)函数f(x)＝(ex＋e－x)ln |x|的图象大致为(　　)
(2)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为(　　)
答案　(1)D　(2)D
解析　(1)因为函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B；因为f(1)＝0，故排除C；因为当x→0时，f(x)→－∞，故排除A，故选D.
(2)f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2，2]是偶函数，又f(2)＝8－e2∈(0，1)，排除A，B.设g(x)＝2x2－ex，x≥0，则g′(x)＝4x－ex.又g′(0)＜0，g′(2)＞0，∴g(x)在(0，2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0，2)内至少存在一个极值点，排除C，故选D.
考点三　函数图象的应用
角度1　判定函数中的参数
【例3－1】 (2021·北京丰台区模拟)如图，点O为坐标原点，点A(1，1)，若函数y＝ax及y＝logbx的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足(　　)
A.aC.b>a>1 D.a>b>1
答案　A
解析　由题意知A(1，1)，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，所以M，N，把M代入函数y＝ax，即＝a，解得a＝，把N代入函数y＝logbx，即＝logb，即得b＝＝，所以a角度2　研究函数的性质
【例3－2】 (一题多解)设函数f(x)＝min{|x－2|，x2，|x＋2|}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者.则下列说法错误的是(　　)
A.函数f(x)为偶函数
B.若x∈[1，＋∞)时，有f(x－2)≤f(x)
C.若x∈R时，f(f(x))≤f(x)
D.若x∈[－4，4]时，|f(x)－2|≥f(x)
答案　D
解析　法一　如图，函数f(x)为偶函数；作出函数f(x)的图象，将f(x)的图象向右平移2个单位长度知f(x－2)的图象在[1，＋∞)上的部分位于f(x)的图象的下方，则有f(x－2)≤f(x)；令f(x)＝u≥0，则由图象知f(u)≤u，由排除法知D错误，故选D.
法二　若x∈[－4，4]，则0≤f(x)≤2，故|f(x)－2|＝2－f(x)≥f(x)等价于0≤f(x)≤1，所以当x∈[－4，4]时，|f(x)－2|≥f(x)不恒成立.否定一个结论，只需给出一个反例即可.取x＝4，则|f(4)－2|＝0角度3　研究方程的根
【例3－3】 (1)(2020·杭州三校三联)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.
(2)若x1满足2x＋2x＝5，x2满足2x＋2log2(x－1)＝5，则x1＋x2＝(　　)
A. B.3 C. D.4
答案　(1)(0，2)　(2)C
解析　(1)在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.
∴当0∴b的取值范围是(0，2).
(2)2x＝5－2x，2log2(x－1)＝5－2x，即2x－1＝－x，log2(x－1)＝－x，作出y＝2x－1，
y＝－x，y＝log2(x－1)的图象(如图).
由图知y＝2x－1与y＝log2(x－1)的图象关于y＝x－1对称，它们与y＝－x的交点A，B的中点为y＝－x与y＝x－1的交点C，xC＝＝，
∴x1＋x2＝.
角度4　求不等式的解集
【例3－4】 (2020·北京卷)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是(　　)
A.(－1，1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(0，1) D.(－∞，0)∪(1，＋∞)
答案　D
解析　在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图象如图.由图象得交点坐标为(0，1)和(1，2).
又f(x)＞0等价于2x＞x＋1，
结合图象，可得x＜0或x＞1.
故f(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).故选D.
感悟升华　(1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性.
(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解.
(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
【训练3】 (1)(角度1)已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0(2)(角度3)已知当x∈[0，1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，
则正实数m的取值范围是________.
(3)(角度4)函数f(x)是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式<0的解集为________.
答案　(1)　3　(2)(0，1]∪[3，＋∞)
(3)∪
解析　(1)
如图，作出函数f(x)＝|log3x|的图象，观察可知0若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，
从图象分析应有f(m2)＝2，
∴log3m2＝－2，∴m2＝.从而m＝，n＝3.
(2)y＝(mx－1)2＝m2，相当于y＝x2向右平移个单位，再将函数值放大m2倍得到的；
y＝＋m相当于y＝向上平移m个单位.
①若0＜m≤1，两函数的图象如图1所示，可知两函数在x∈[0，1]上有且只有1个交点，符合题意.
②若m＞1，两函数的大致图象如图2所示.
为使两函数图象在x∈[0，1]上有且只有1个交点，只需(m－1)2≥1＋m，得m≥3或m≤0(舍去).
综上，m∈(0，1]∪[3，＋∞).
(3)当x∈时，y＝cos x>0.
当x∈时，y＝cos x<0.
结合y＝f(x)，x∈[0，4]上的图象知，当1＜x<时，<0.
又函数y＝为偶函数，
所以在[－4，0]上，<0的解集为，
所以<0的解集为∪.
基础巩固题组
一、选择题
1.为了得到函数y＝2x－2的图象，可以把函数y＝2x图象上所有的点(　　)
A.向右平行移动2个单位长度
B.向右平行移动1个单位长度
C.向左平行移动2个单位长度
D.向左平行移动1个单位长度
答案　B
解析　因为y＝2x－2＝2(x－1)，所以只需将函数y＝2x的图象上所有的点向右平移1个单位长度即可得到y＝2(x－1)＝2x－2的图象.
2.(2021·镇海中学模拟)小明站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车从点A出发的运动轨迹如图所示.设小明从点A开始随动点P变化的视角为θ＝∠AOP，练车时间为t，则函数θ＝f(t)的图象大致为(　　)
答案　D
解析　结合小明观察小车的运动轨迹可以看到，其观察视角从一开始增大，然后减小，有一段几乎没有发生变化，然后再减小，最后呈增大趋势，结合选项可知D正确.
3.使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围是(　　)
A.(－1，0) B.[－1，0) C.(－2，0) D.[－2，0)
答案　A
解析　在同一直角坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1，0)，故选A.
4.(2018·浙江卷)函数y＝2|x|·sin 2x的图象可能是(　　)
答案　D
解析　设f(x)＝2|x|sin 2x，其定义域关于原点对称，又f(－x)＝2|－x|·sin(－2x)＝－f(x)，所以y＝f(x)是奇函数，故排除A，B；令f(x)＝0，则sin 2x＝0，所以x＝(k∈Z)，故排除C.故选D.
5.(2021·杭州市质检)已知函数g(x)＝－，h(x)＝cos πx，当x∈(－2，4)时，函数g(x)与h(x)的交点横坐标分别记为xi(i＝1，2，…，n)，则xi＝(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
答案　C
解析　易知g(x)＝－的图象关于x＝1对称，h(x)＝cos πx的图象关于x＝1对称.作出两个函数的图象，如图所示.
根据图象知，两函数有7个交点，其中一个点的横坐标为x＝1，另外6个交点关于直线x＝1对称，因此xi＝3×2＋1＝7.
6.已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是(　　)
A.(1，2017) B.(1，2018) C.[2，2 018] D.(2，2018)
答案　D
解析　设f(a)＝f(b)＝f(c)＝m，作出函数f(x)的图象与直线y＝m，如图所示，不妨设a2 018，即a＋b＋c∈(2，2 018).故选D.
二、填空题
7.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________.
答案　f(x)＝
解析　当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b(k≠0).
则得∴y＝x＋1.
当x>0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1(a≠0).
∵图象过点(4，0)，∴0＝a(4－2)2－1，得a＝.
8.(2021·绍兴适应性考试)已知函数f(x)＝若a＞0，b＜0，且f(a)＝f(b)，则f(a＋b)的取值范围是________.
答案　[－1，＋∞)
解析　在平面直角坐标系内画出函数f(x)的图象如图所示，由图易得要使a＞0，b＜0，f(a)＝f(b)，则a＞0，b＜－，且
－2b－3＝a2，则b＝，则a＋b＝a＋＝－(a－1)2－1，当a＞0时，a＋b＝－(a－1)2－1∈(－∞，－1]，所以f(a＋b)＝－2(a＋b)－3∈[－1，＋∞).
9.函数y＝为________函数(填“奇”或“偶”)，函数f(x)＝＋1的对称中心为________.
答案　奇　(0，2)
解析　y＝的定义域为R，记g(x)＝，则g(－x)＝＝＝－g(x)，∴g(x)即y＝是奇函数；函数f(x)的定义域为R，f(－x)＋f(x)＝＋1＋＋1＝＋2＝4，故f(x)的对称中心为(0，2).
10.(2021·台州评估)若函数f(x)＝则f＝________；不等式f(x＋1)≥f(x)的解集为________.
答案　　∪[0，＋∞)
解析　f＝lg ＝－，所以f＝f＝.作出函数y＝f(x)与y＝f(x＋1)的图象如图所示，易得两图象的交点横坐标分别为－，－，则不等式f(x＋1)≥f(x)的解集为
∪[0，＋∞).
三、解答题
11.已知函数f(x)＝
(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；
(2)写出f(x)的单调递增区间；
(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值.
解　(1)函数f(x)的图象如图所示.
(2)由图象可知，
函数f(x)的单调递增区间为[－1，0]，[2，5].
(3)由图象知当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝－1，
当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝3.
12.已知f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；
(3)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}.
解　(1)当x2－4x＋3≥0时，x≤1或x≥3，
∴f(x)＝
∴f(x)的图象为：
(2)由函数的图象可知f(x)的单调区间是(－∞，1]，(2，3)，(1，2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2，3)是减区间；(1，2]，[3，＋∞)是增区间.
(3)由f(x)的图象知，当0能力提升题组
13.已知y＝f(x)定义域为实数集R，则函数y＝f(1－x)与y＝f(x－1)的图象关于(　　)
A.直线y＝0对称 B.直线x＝0对称
C.直线y＝1对称 D.直线x＝1对称
答案　D
解析　假设f(x)＝x2，则
f(x－1)＝(x－1)2，f(1－x)＝(1－x)2＝(x－1)2，
它们是同一个函数，此函数图象关于直线x＝1对称.
14.已知函数f(x)＝则对任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是(　　)
A.f(x1)＋f(x2)<0 B.f(x1)＋f(x2)>0
C.f(x1)－f(x2)>0 D.f(x1)－f(x2)<0
答案　D
解析　函数f(x)的图象如图所示：
且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数.
又0<|x1|<|x2|，∴f(x2)>f(x1)，
即f(x1)－f(x2)<0.
15.已知函数f(x)＝设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，则a的取值范围是(　　)
A.[－2，2] B.[－2，2]
C.[－2，2] D.[－2，2]
答案　A
解析　作出f(x)的图象如图所示，当y＝的图象经过点(0，2)时，可知a＝±2.当y＝＋a的图象与y＝x＋的图象相切时，由＋a＝x＋，得x2－2ax＋4＝0，由Δ＝0，并结合图象可得a＝2.
要使f(x)≥恒成立，只需f(0)≥|a|，当a≤0时，需满足－a≤2，即－2≤a≤0；当a>0，需满足a≤2，所以－2≤a≤2.
16.(2021·龙湾中学检测)设函数f(x)＝若f(x)无最大值，则实数a的取值范围为________.
答案　
解析　一平面直角坐标系中画出y＝x3－x与y＝－x的大致图象如图所示，两个图象相切于坐标原点，且坐标原点是两函数图象的唯一交点.由图易得当直线x＝a处于点的右侧时，函数f(x)存在最大值；当直线x＝a处于点的左侧时，函数f(x)无最大值，所以实数a的取值范围为.
17.(2021·嘉兴测试)已知函数f(x)＝
(1)若对任意的x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，则实数k的取值范围为________；
(2)若存在x∈R，使|f(x)|≤k，则实数k的取值范围是________.
答案　(1)∪　(2)[0，＋∞)
解析　(1)对任意x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，
即f(x)max≤|k－1|.
因为f(x)的草图如图所示，
观察f(x)＝的图象可知，当x＝时，f(x)max＝，
所以|k－1|≥，解得k≤或k≥.
(2)|f(x)|的图象如图所示，且|f(x)|∈[0，＋∞)，∵存在x∈R，使|f(x)|≤k，故k的取值范围是[0，＋∞).
18.已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0，1)对称.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)＋，g(x)在区间(0，2]上的值不小于6，求实数a的取值范围.
解　(1)设f(x)图象上任一点坐标为(x，y)，
∵点(x，y)关于点A(0，1)的对称点(－x，2－y)在h(x)的图象上，
∴2－y＝－x＋＋2，∴y＝x＋，即f(x)＝x＋.
(2)由题意g(x)＝x＋，
且g(x)＝x＋≥6，x∈(0，2].
∵x∈(0，2]，∴a＋1≥x(6－x)，
即a≥－x2＋6x－1.
令q(x)＝－x2＋6x－1，x∈(0，2]，
q(x)＝－x2＋6x－1＝－(x－3)2＋8，
∴当x∈(0，2]时，q(x)是增函数，q(x)max＝q(2)＝7.
故实数a的取值范围是[7，＋∞).
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