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第8节　正弦定理和余弦定理及其应用
知 识 梳 理
1．正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
公式 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos__A； b2＝c2＋a2－2cacos__B； c2＝a2＋b2－2abcos__C
常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝
2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
3．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin Ab a≤b
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
1．在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角时，有时出现一解、两解或无解的情况，所以要进行分类讨论(此种类型也可利用余弦定理求解)．
2．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．诊 断 自 测
1．判断下列说法的正误．
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　)
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　)
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形．(　　)
(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√
解析　(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比．
(3)已知三角时不可求三边．
(4)当b2＋c2－a2>0时，A为锐角，但B、C不一定为锐角，△ABC不一定为锐角三角形．
2．(2020·金华十校期末调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，B＝120°，c＝3，则b＝(　　)
A. B．4 C. D．5
答案　C
解析　因为a＝2，c＝3，B＝120°，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋9＋6＝19，所以b＝，故选C.
3．(必修5P10B2改编)在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________．
答案　等腰三角形或直角三角形
解析　由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．
4．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知cos2A－cos2B＋sin2C＝sin Bsin C＝，且△ABC的面积为，则a的值为________．
答案　2
解析　△ABC中，由cos2A－cos2B＋sin2C
＝sin Bsin C＝，
得1－sin2A－(1－sin2B)＋sin2C＝sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，∴b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理得cos A＝＝，
又A∈(0，π)，∴A＝；
由正弦定理＝＝，
∴＝，即＝，
化简得a2＝3bc；
又△ABC的面积为S△ABC＝bcsin A＝，
∴bc＝4，∴a2＝12，解得a＝2.
5．(2020·宁波 质检)设a，b，c分别为△ABC的三边长，若a＝3，b＝5，c＝7，则cos C＝________；△ABC的外接圆半径等于________．
答案　－　
解析　由题意得cos C＝＝＝－，则sin C＝＝，则△ABC的外接圆的半径等于＝.
6．(2021·杭州质检)在△ABC中，∠BAC的平分线与BC边交于点D，sin C＝2sin B，则＝________；若AD＝AC＝1，则BC＝________．
答案　2　
解析　由sin C＝2sin B结合正弦定理得c＝2b，则由AD为∠BAC的平分线得＝＝＝2.由AD＝AC＝1得AB＝2，令BD＝2t，则CD＝t，由cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0结合余弦定理得＋＝0，解得t＝(舍负)，则BC＝3t＝.
考点一　利用正、余弦定理解三角形
【例1】 (1)(2021·杭州四中仿真)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，△ABC的面积为.且sin A＋sin C＝2sin B，则b的值为(　　)
A．4＋2 B．4－2
C.－1 D.＋1
(2)(2019·浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________．
(3)(2021·金丽衢十二校二联)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝4，C＝2A，3a＝2c，则cos A＝________；a＝________．
答案　(1)D　(2)　　(3)　
解析　(1)由题意得△ABC的面积为acsin B＝acsin 30°＝，解得ac＝6，又由sin A＋sin C＝2sin B结合正弦定理得a＋c＝2b，则由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－ac＝4b2－12－6，解得b＝＋1，故选D.
(2)如图，易知sin C＝，cos C＝.
在△BDC中，由正弦定理可得＝，
∴BD＝＝＝.
由∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝90°，
可得cos ∠ABD＝cos(90°－∠CBD)＝sin ∠CBD
＝sin[π－(C＋∠BDC)]＝sin(C＋∠BDC)
＝sin C·cos ∠BDC＋cos C·sin ∠BDC
＝×＋×＝.
(3)因为3a＝2c，C＝2A，由正弦定理＝可得3sin A＝2sin 2A＝4sin Acos A，sin A≠0，0，所以A<，则C＝2A<.又当a＝4，c＝6时，△ABC为等腰三角形，B＝A，所以A＋B＋C＝π，4A＝π，A＝与cos A＝矛盾，舍去，所以a＝.
感悟升华　已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时需判断其解的个数，用余弦定理时可根据一元二次方程根的情况判断解的个数．
【训练1】 (1)在△ABC中，已知A＝30°，AB＝2，BC＝，则cos∠ACB＝________，AC＝________．
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________．
答案　(1)　＋　(2)
解析　(1)根据正弦定理＝，可得sin∠ACB＝，故cos∠ACB＝，又因为cos A＝＝＝，所以AC＝＋.
(2)在△ABC中，由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，由正弦定理得b＝＝.
考点二　利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
【例2】 (经典母题)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
答案　B
解析　由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，
∴sin A＝1，即A＝.
∴△ABC为直角三角形．
【变式迁移】 (1)(一题多解)将本例条件变为“若2sin Acos B＝sin C”，那么△ABC一定是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
答案　B
解析　法一　由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因为－π法二　由正弦定理得2acos B＝c，再由余弦定理得2a·＝c a2＝b2 a＝b.
(2)(一题多解)将本例条件变为“若a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C”，试确定△ABC的形状．
解　法一　利用边的关系来判断：
由正弦定理得＝，
由2cos Asin B＝sin C，有cos A＝＝.
又由余弦定理得cos A＝，
∴＝，
即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b.
又∵a2＋b2－c2＝ab.∴2b2－c2＝b2，所以b2＝c2，
∴b＝c，∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形．
法二　利用角的关系来判断：
∵A＋B＋C＝180°，∴sin C＝sin(A＋B)，
又∵2cos Asin B＝sin C，
∴2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
∴sin(A－B)＝0，
又∵A与B均为△ABC的内角，所以A＝B.
又由a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理，得cos C＝＝＝，
又0°感悟升华　(1)判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．
(2)无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．
【训练2】 (2021·北仑中学模拟)在△ABC中，a，b，c是三个内角A，B，C对应的三边，已知b2＋c2＝a2＋bc.
(1)求A的大小；
(2)若sin Bsin C＝，试判断△ABC的形状，并说明理由．
解　(1)在△ABC中，由余弦定理可得
cos A＝，
由已知得b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝，∵0＜A＜π，故A＝.
(2)∵A＋B＋C＝π，A＝，∴C＝－B.
由sin Bsin C＝，得sin Bsin＝，
即sin B＝，
∴sin Bcos B＋sin2B＝，
∴sin 2B＋(1－cos 2B)＝，
即sin2B－cos 2B＝1，
∴sin＝1.
又∵0＜B＜，∴－＜2B－＜，
∴2B－＝，即B＝，C＝π－B＝，
∴△ABC是等边三角形．
考点三　三角形面积问题
【例3】 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝2，A≠B.
(1)求的值；
(2)若△ABC的面积为1，且tan C＝2，求a＋b的值．
解　(1)∵c＝2，
∴ ＝
＝
＝
＝＝2.
(2)∵ tan C＝＝2，且sin2C＋cos2C＝1，C∈(0，π)，
∴sin C＝，cos C＝.
∵S△ABC＝absin C＝ab×＝1，∴ ab＝.
由余弦定理有cos C＝＝＝，
∴a2＋b2＝6.
∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝6＋2，∴ a＋b＝＋1.
感悟升华　三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
【训练3】 (2021·嘉兴测试)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知＝.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，b＋c＝4，求△ABC的面积．
解　(1)根据正弦定理，
得＝ ＝，
整理得2sin Bcos A＝cos Csin A＋sin CcosA，
即2sin Bcos A＝sin(A＋C)，
而A＋C＝π－B，所以2sin Bcos A＝sin B，
又sin B≠0，解得cos A＝，
又A∈(0，π)，故A＝.
(2)根据余弦定理，
得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc－2bccos A，
又a＝，b＋c＝4，A＝，
故()2＝(4)2－2bc－2bc×，
解得bc＝6，
所以S△ABC＝bcsin A＝×6×sin ＝.
考点四　与三角形有关的最值(范围)问题
角度1　利用不等式求解
【例4－1】 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin A＋bsin B＝2csin C，则角C的最大值为________；若c＝2a＝2，则△ABC的面积为________．
(2)(2021·上海浦东新区模拟)若△ABC的内角A，B，C满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________．
答案　(1)　　(2)
解析　(1)由正弦定理得a2＋b2＝2c2，又由余弦定理得a2＋b2＝2(a2＋b2－2abcos C)，即4abcos C＝a2＋b2≥2ab，cos C≥，所以0(2)由正弦定理有a＋b＝2c，所以c＝，cos C＝＝，由于a2＋b2≥
2＝ab，故cos C≥，所以cos C的最小值是.
角度2　利用函数性质求解
【例4－2】 (1)在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若C＝2B，则的取值范围是________．
(2)(2021·浙江名校协作体模拟)在锐角△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，A＋B＝，则的取值范围是________，若这个三角形中的A，B同时满足tan A＝2tan B，则sin(A－B)＝________．
答案　(1)(，)　(2)　
解析　(1)由C＝2B得A＝π－C－B＝π－3B，因为△ABC为锐角三角形，所以解得B∈，则在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝2cos B∈(，)．
(2)在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝＝＋.
因为
所以则＝＋∈.
设t＝sin(A－B)，
则
则
则＝＝2，解得t＝，即sin(A－B)＝.
感悟升华　解决与三角形有关的最值(范围)问题，主要根据题设条件，借助基本不等式、函数的性质求解，有时还需要数形结合寻找解题思路．
【训练4】 (1)(角度1)(2021·上海奉贤区二模)在ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值范围为________．
(2)(角度2)(2018·北京卷)若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且C为钝角，则B＝________；的取值范围是________．
(3)在△ABC中，A＝，BC＝3，点D在线段BC上，且BD＝2DC，则AD的最大值是________．
答案　(1)　(2)60°　(2，＋∞)　(3)＋1
解析　(1)因为sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，所以a2≤b2＋c2－bc，即bc≤b2＋c2－a2.
所以cos A＝≥，
因为A∈(0，π)，所以A∈.
(2)△ABC的面积S＝acsin B＝(a2＋c2－b2)＝×2accos B，所以tan B＝，因为0°＝＋>2，故的取值范围为(2，＋∞)．
(3)设△ABC的外接圆的圆心为O，则由正弦定理得OA＝OB＝OC＝＝，又因为∠BOC＝2∠BAC＝，所以∠OBC＝(π－∠BOC)＝，则在△BOD中，由余弦定理得OD2＝BO2＋BD2－2BO·BDcos∠OBC＝()2＋22－2××2cos ＝1，所以OD＝1，则AD≤AO＋OD＝＋1，当且仅当A，O，D三点共线时等号成立，所以AD的最大值为＋1.
基础巩固题组
一、选择题
1．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝，a＝2，b＝，则B＝(　　)
A. B.
C.或 D.
答案　D
解析　∵A＝，a＝2，b＝，
∴由正弦定理＝可得
sin B＝sin A＝×＝.
∵A＝，∴B＝.
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－
sin A)，则A＝(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　在△ABC中，由b＝c，得cos A＝＝，又a2＝2b2(1－sin A)，所以cos A＝sin A，
即tan A＝1，又知A∈(0，π)，所以A＝，故选C.
3．(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则tan B＝(　　)
A. B．2 C．4 D．8
答案　C
解析　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝42＋32－2×4×3×＝9，得AB＝3，所以AB＝BC.过点B作BD⊥AC，交AC于点D，则AD＝AC＝2，BD＝＝，所以tan ∠ABD＝＝＝，
所以tan ∠ABC＝＝4.故选C.
4．(2018·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　根据题意及三角形的面积公式知absin C＝，所以sin C＝＝cos C，所以在△ABC中，C＝.
5．在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
答案　B
解析　因为cos2＝，
所以2cos2－1＝－1，所以cos B＝，
所以＝，所以c2＝a2＋b2.
所以△ABC为直角三角形．
6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＞b”是“cos 2A＜cos 2B”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　因为在△ABC中，a＞b sin A＞sin B sin2A＞sin2B 2sin2A＞2sin2B 1－2sin2A＜1－2sin2B cos 2A＜cos 2B.所以“a＞b”是“cos 2A＜cos 2B”的充要条件．
二、填空题
7．(2021·温州中学模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，若c＝2acos B，S＝a2－c2，则△ABC的形状为________，C的大小为________．
答案　等腰三角形　
解析　因为c＝2acos B，由正弦定理可得sin C＝2sin A·cos B．因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，所以sin Acos B＝cos Asin B，所以sin(A－B)＝0，因为A＋B＋C＝π，所以A＝B，所以△ABC是等腰三角形．因为S＝a2－c2，所以absin C＝a2＋a2－c2＝a2＋b2－c2，即c2＝a2＋b2－2absin C．由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos C，所以sin C＝cos C．因为08．(2021·湖州中学质检)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1，则＝________，角B的最大值是________．
答案　2　
解析　由sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1得sin B(sin A＋sin C)＝2sin2B，在△ABC中，sin B≠0，所以sin A＋sin C＝2sin B，则由正弦定理得＝＝＝2.cos B＝＝＝≥＝，当且仅当a＝c时，取等号，又B∈(0，π)，所以角B的最大值为.
9．(2021·温州适考)在△ABC中，D为BC的中点，若BD＝1，∠B＝，cos ∠ADB＝－，则AB＝________，sin ∠CAD＝________．
答案　4　
解析　因为cos ∠ADB＝－，∠ADB∈，所以sin ∠ADB＝，所以sin ∠BAD＝sin＝sin ∠ADB＋cos ∠ADB＝.在△ABD中，根据正弦定理＝＝，可得AB＝4，AD＝5.因为cos ∠ADC
＝－cos ∠ADB＝，所以sin ∠ADC＝.在△ADC中，根据余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos ∠ADC＝20，故AC＝2.根据正弦定理＝，解得sin ∠CAD＝.
10．(2021·义乌市联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足asin 2B＝bsin A，则B＝________，若BC边上的中线AD＝1，则△ABC面积的最大值为________．
答案　　
解析　由正弦定理得sin Asin 2B＝sin Bsin A，因为sin A>0，sin B>0，所以2sin Bcos B＝sin B，即cos B＝，因为0三、解答题
11．(2020·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cos A＝.
(1)求A；
(2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．
(1)解　由已知得sin2A＋cos A＝，
即cos2A－cos A＋＝0.
所以＝0，cos A＝.
由于0(2)证明　由正弦定理及已知条件可得
sin B－sin C＝sin A.
由(1)知B＋C＝，所以sin B－sin＝sin ，
即sin B－cos B＝，sin＝.
由于012．在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.
(1)求；
(2)若∠BAC＝60°，求B.
解　(1)由正弦定理得
＝，＝.
因为AD平分∠BAC，BD＝2DC，所以
＝＝.
(2)因为C＝180°－(∠BAC＋B)，∠BAC＝60°，所以
sin C＝sin(∠BAC＋B)＝cos B＋sin B.
由(1)知2sin B＝sin C，所以tan B＝，即B＝30°.
能力提升题组
13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，且sin B＝cos C，则下列结论中正确的是(　　)
A．A＝ B．c＝2a
C．C＝ D．△ABC是等边三角形
答案　D
解析　由余弦定理知cos A＝＝，因为014．(一题多解)(2019·北京卷)如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为(　　)
A．4β＋4cos β B．4β＋4sin β
C．2β＋2cos β D．2β＋2sin β
答案　B
解析　法一　如图①，设圆心为O，连接OA，OB，OP.
①
∵∠APB＝β，∠AOB＝2β，
∴S阴影＝S△AOP＋S△BOP＋S扇形AOB
＝×2×2sin ∠AOP＋×2×2sin ∠BOP＋×2β×22
＝2sin ∠AOP＋2sin ∠BOP＋4β
＝2sin ∠AOP＋2sin(2π－2β－∠AOP)＋4β
＝2sin ∠AOP－2sin(2β＋∠AOP)＋4β
＝2sin ∠AOP－2(sin 2β·cos ∠AOP＋cos 2β·sin ∠AOP)＋4β
＝2sin ∠AOP－2sin 2β·cos ∠AOP－2cos 2β·sin ∠AOP＋4β
＝2(1－cos 2β)sin ∠AOP－2sin 2β·cos ∠AOP＋4β
＝2×2sin2β·sin ∠AOP－2×2sin β·cos β·cos ∠AOP＋4β
＝4sin β(sin β·sin ∠AOP－cos β·cos ∠AOP)＋4β
＝4β－4sin β·cos(β＋∠AOP)．
∵β为锐角，∴sin β>0.
∴当cos(β＋∠AOP)＝－1，即β＋∠AOP＝π时，阴影区域面积最大，
为4β＋4sin β.
故选B.
法二　如图②，设圆心为O，连接OA，OB，OP，AB，则阴影区域被分成弓形AmB和△ABP.
②
∵∠APB＝β，∴∠AOB＝2β.
∵弓形AmB的面积是定值，
∴要使阴影区域面积最大，则只需△ABP面积最大．
∵△ABP底边AB长固定，
∴只要△ABP的底边AB上的高最大即可．
由图可知，当AP＝BP时，满足条件，
此时S阴影＝S扇形AOB＋S△AOP＋S△BOP
＝×2β·22＋2××22·sin
＝4β＋4sin β.
这就是阴影区域面积的最大值．故选B.
15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－bc＝a2，bc＝a2，则角C的大小是________．
答案　或
解析　由b2＋c2－bc＝a2，得b2＋c2－a2＝bc，
则cos A＝＝＝，
因为0由bc＝a2及正弦定理，
得sin Bsin C＝sin2A＝×＝，
即4sin(π－C－A)sin C＝，
即4sin(C＋A)sin C＝4sinsin C＝，
整理得cos 2C＝sin 2C，则tan 2C＝，又0<2C<，
即2C＝或，即C＝或.
16．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝sin Acos C，且a＝2，则△ABC面积的最大值为________．
答案　3
解析　因为cos A＝sin Acos C，
所以bcos A－sin Ccos A＝sin Acos C，
所以bcos A＝sin(A＋C)，所以bcos A＝sin B，
所以＝，
又＝，a＝2，
所以＝，得tan A＝，
又A∈(0，π)，则A＝，
由余弦定理得(2)2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，
即bc≤12，当且仅当b＝c＝2时取等号，
从而△ABC面积的最大值为×12×＝3.
17．(2019·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin ＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
解　(1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A.
因为sin A≠0，所以sin＝sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，
故cos＝2sincos.
因为cos≠0，所以sin＝，所以B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.
又由(1)知A＋C＝120°，
故由正弦定理得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0°结合A＋C＝120°，得30°所以因此△ABC面积的取值范围是.
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝2，2cos2＋sin A＝.
(1)若满足条件的△ABC有且只有一个，求b的取值范围；
(2)当△ABC的周长取最大值时，求b的值．
解　由2cos2＋sin A＝，得1＋cos(B＋C)＋sin A＝，即sin A－cos A＝－，
又0(1)若满足条件的△ABC有且只有一个，则有a＝bsin A或a≥b，当a＝bsin A时，有2＝b，
∴b＝，当a≥b时，0＜b≤2.
则b的取值范围为(0，2]∪.
(2)设△ABC的周长为l，由正弦定理得
l＝a＋b＋c＝a＋(sin B＋sin C)
＝2＋[sin B＋sin(A＋B)]
＝2＋[sin B＋sin Acos B＋cos Asin B]
＝2＋2(3sin B＋cos B)
＝2＋2sin(B＋θ)，
其中θ为锐角，且
lmax＝2＋2，当cos B＝，sin B＝时取到．
此时b＝sin B＝.
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