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函数定义域、值域求法总结
考情分析
高考中对函数的定义域和值域这方面的考查，题型以选择、填空题为主，难度中等。经常与不等式、导数、三角函数等内容相结合来考查。而这一切的基础都是函数的定义域和值域，另外这方面的内容也经常在高考大题中的某个步骤中呈现，因此这个内容几乎贯穿了高中数学学习的始终。因此函数的定义域和值域是高中数学教学的重点。本节课系统地总结了函数定义域、值域方面的知识、技能和方法，通过设计一系列由浅入深、由易到难的配套例题和练习题，这些题型覆盖了所介绍的各种方法。在一一配套的练习过程中，使学生将抽象的各种数学方法具体化，培养了学生学习数学的兴趣，从而使学生能够轻轻松松地掌握函数的定义域、值域的具体求法。
知识整合
一、函数的概念：
设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个，在集合中都有唯一的值与它对应，那么称为从集合到集合的一个函数。记作：。其中叫做自变量，叫做函数，自变量的取值范围（数集）叫做函数的定义域，与的值对应的值叫做函数值，所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域。
二、求函数的定义域的主要依据是：
① 分式的分母不能等于零；
② 偶次方根的被开方数必须大于等于零；
③ 零次幂的底数；
④ 对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.
⑤ 的定义域为；
⑥ 由实际问题确定函数的定义域，不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义。
⑦ 对于复合函数求定义域问题，若已知的定义域，则复合函数的定义域由不等式得到.
⑧ 分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集。
三、函数值域的求法：
① 图象法（数形结合）：观察图象可得值域。
② 利用函数的单调性：若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.
③ 利用配方法：形如型,用此种方法,注意自变量x的范围.
④ 利用“分离常数”法：形如y= 或 (至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.
⑤ 利用换元法：形如型,可用此法求其值域.
⑥ 利用基本不等式法。
⑦ 利用三角函数的有界性：如.
⑧ 导数法：利用导数与函数的连续性求出复杂函数的极值和最值,然后求出值域
⑨ 判别式法：用判别式法求函数值域时，必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程的等价性。
⑩ 平方开方法：一般适用于两个函数的和的形式，并且这两个函数均为非负，平方以后得到一个常数与一个新函数的和的形式。并且新函数的值域易求。具备这几个特征，就可以应用平方开方法，先平方求出值域，再开方求出原函数的值域。注意应先求原来函数的定义域。
考向一 定义域问题
【典例引领】
例1. 函数的定义域为 （ ）
A. B. C. D.
【解析】由题意，得，解得，且，故选B。
例2．函数的定义域___________
【解析】由题意可得，解得且，
所以函数的定义域是：，故答案为：.
例3. 函数的定义域是
【解析】由题意得，，解得 。
例4. 函数的定义域是
【解析】由，得，所以，且，故答案为
例5．函数的定义域为（ ）
A．(k∈Z) B．(k∈Z)
C．(k∈Z) D．(k∈Z)
【解析】由题可得tan x＋1≥0，即tan x≥－1，解得x∈ (k∈Z)．故选：B
例6．若函数定义域为，则函数的定义域为______.
【解析】∵，∴. 故答案为
例7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题函数的定义域为，在中，
所以，在中，所以.故选：B
例8．已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数的定义域为，所以恒成立，所以，即，正确的个数为，故选A．
【变式拓展】
1．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域为（ ）
A．{x|x＜0} B．{x|x≤﹣1}∪{0} C．{x|x≤﹣1} D．{x|x≥﹣1}
3．函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
5. 函数的定义域是
6．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【变式拓展答案】
1、【答案】A【详解】要使函数有意义，则 ，解得：；故答案选A
2、【答案】C
【解析】∵函数，所以，解得，即x≤﹣1，
∴f（x）的定义域为{x|x≤﹣1}．故选：C．
3、【答案】
【解析】由已知得即或，解得或，故选.
4、【答案】B 【详解】由，可得，故选B
5、【答案】 【详解】由，可得.
6、【答案】D
【详解】依题意，所以的定义域是.故选：D
考向二 值域问题
【典例引领】
例1. 若函数的图像如图所示，
则函数的最大值为（ ）
A. 5 B. 6 C.1 D.1
【解析】观察图象可得，最大值为6，故选B。
例2. 已知函数，则在上的最大值和最小值为
【解析】易证函数是区间［2,6］上的减函数. 因此函数在区间［2,6］的两个端点上分别取得最大值与最小值,
所以答案为：最大值和最小值分别为2和
例3. 已知函数，则函数的值域为
【解析】，由二次函数图像知，，
所以，由反比例函数的图像可知。
所以函数的值域为。
例4. 已知函数，则函数的值域为
【解析】，
因为，所以，所以，所以，
所以，所以函数的值域为。故答案为：
例5．已知函数，则函数的值域为
【解析】令，则，所以，
所以当时，。所以函数的值域为。故答案为：
例6．已知，则函数的值域为________．
【解析】设由知，，，
故，∵ （当且仅当时，等号成立）．
∴函数的值域为．故答案为
例7．函数的值域为________．
【解析】设，则，
，，当时，；当时，；
因此，函数的值域是，．故答案为：，．
例8．函数的值域是_________.
【解析】由题得f′(x)＝xcos x(0＜x＜π)，当x∈ 时，f′(x)＞0，f(x)递增；
当x∈时，f′(x)＜0，f(x)递减．∴f(x)最大＝f(x)极大＝ ，
又f(0)＝1，f(π)＝－1，∴f(x)最小＝－1，故f(x)在[0，π]上的值域为.故答案为
例9．函数的值域为_____________
【解析】由，可得，当时方程有解，当时，由可得
，所以，综上可知，值域为.
例10．已知函数的最大值为，最小值为，则的值为（ ）
(A) (B) (C) (D)
【解析】由题意，函数的定义域是，，
由于在上的最大值是，最小值是，
所以，，所以。故选C
【变式拓展】
1．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．R
2．函数的最小值为______．
3．函数在上的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
4．函数的值域为（ ）
A．[1, ] B．[1,2] C．[ ,2] D．[
5．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7. 函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．的值域为________．
9. 如果函数的值域为，则的值域为（ ）
A. B. C. D.
10. 函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
11. 下列函数中，值域为的是（ ）
A． B． C． D．
【变式拓展答案】
1、【解析】，
值域为，故选B
2、【解析】令，则，所以，
所以当，即时，函数取最小值. 故答案为：.
3、【解析】因为，当时，，即函数在上单调递减，
故当时，函数有最小值为. 故选：C.
4、【答案】D
【详解】函数定义域为： ，因为，又，
所以的值域为.故选D.
5、A 分析：，因为，所以，所以。
6、B 分析：，
当且仅当，时等号成立。
7、A 解析:函数的值域为，则的开口向上，且判别式大于等于零，即，
解得.另外注意到当时，值域也为，故实数的取值范围是.
8、【答案】 【分析】利用判别式法求得函数的值域.
【详解】由于，所以函数的定义域为，
由化简得，
即，关于的一元二次方程有解，
时，存在，符合题意，时，由，
即，即，解得，
综上可得的值域为. 故答案为：
9、【答案】C
【解析】函数的值域为，而函数是把函数向左平移1个单位得到的，纵坐标不变，的值域为，所以C选项是正确的。
10、D 【解析】当时，，当时，，当时，，的值域为.故选D．
11、D 【解析】对于A：(配方法)因为y＝x2－x＋1＝(x－)2＋，
所以y≥，故值域为[，＋∞)．对于B：(不等式法)因为x>0，
所以y＝x＋≥2＝2，故值域为[2，＋∞)．
对于C：(单调性法) 在[－1,1]上单调递增，所以e－1≤y≤e，即的值域为[e－1，e]．
对于D：(观察法)通过观察可知其值域为(0，＋∞)．

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