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第八单元《垂线与平行线》
知识点一：垂直与平行的特征及性质
1.认识垂直：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫作垂足。
2.认识平行：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。
3.点到直线的距离：点到直线的距离是点到直线的垂直线段的长度。从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂直线段的长度最短。
知识点二：垂线的画法
画垂线有两个重合：一是三角尺的一条直角边与已知直线重合；二是点在直线上时，三角尺的直角顶点与这一点重合，点在直线外时，三角尺的另一条直角边经过这一点。
知识点三：平行线的画法
2.画平行线：（1）过直线外一点，画已知直线的平行线的方法：①使三角尺的一条直角边与已知直线重合；②使直尺靠在三角尺另一条直角边上；③移动三角尺，使其一条直角边经过直线外已知点，沿着三角尺另一条直角边画一条直线。（2）过直线外一点，画已知直线的平行线只能画一条。
一、选择题(每题2分，共10分)
1．（2021·江苏·四年级期末）如果把一副三角板像下图叠在一起，则∠1＝（ ）°。
A．15 B．45 C．60 D．3.
2．（2021·山西·大同市平城区翰林学校四年级期中）如图，已知∠1＝75°，则下面正确的是（ ）
A．∠2＝115° B．∠3＝75° C．∠4＝95°
3．（2021·山西·太原服装城小学四年级期中）用一副三角尺不能拼出的角是（ ）。
A．15° B．105° C．40° D．150°
4．（2021·江苏·四年级期末）下面的几句话，正确的是（ ）。
A．一条线段长8厘米 B．一条射线长8厘米
C．一条直线长8厘米 D．一条直线比一条线段长8厘米
5．（2021·江苏·四年级专题练习）在钟面上，下列整时中，（ ）时整分针与时针成直角。
A．3 B．6 C．8 D．12
二、填空题(每空1分，共25分)
6．（2021·辽宁·四年级期末）在同一平面内，可以画（________）条已知直线的垂线。过直线外的一点可以画（________）条已知直线的平行线。
7．（2021·江苏·四年级期末）图①中有（______）条线段，图②中有（______）条射线，图③中（______）个角。
8．（2021·江苏·四年级专题练习）下图中，线段有（________）条，射线有（________）条，直线有（________）条。
9．(本题4分)（2021·江苏·四年级专题练习）把下面的角的度数分别填在合适的圈里。
148° 89° 130° 75° 40° 179° 90° 360°
10．（2021·山西·太原服装城小学四年级期中）看图填空。
（________）个锐角 （________）个直角
（________）个钝角 （________）个平角
11．（2021·山西·太原服装城小学四年级期中）如图，其中有（________）条线段，（________）条射线，（________）条直线。∠1＝（________），∠2＝（________）。
12．（2021·江苏·四年级期末）小明量角的问题：
（1）第一个角的一条边没有与0°刻度线对齐，而是与10°刻度线对齐了，这样一个角被他量成了 80°的角，实际这个角是（________）°。
（2）第二个角，正好可以用一副三角尺中一个最大角和一个最小角拼成， 这个角是（________）°。
13．（2021·江苏鼓楼·四年级期末）经过纸上2个点可以画1条直线，经过3个点中的每两个点最多可以画3条直线，经过4个点中的每两个点最多可以画6条直线……，经过7个点中的每两个点最多可以画（________）条直线。
14．（2020·江苏·盐城市第一小学四年级期末）下图是一张长方形纸折起一个角。已知，（______）度。
三、判断题(每题2分，共12分)
15．（2021·山西·太原服装城小学四年级期中）用一个2倍的放大镜看一个10°的角，这个角还是10°。（______）
16．（2021·山西·忻州现代双语学校四年级期末）在同一平面内的两条直线，如果不平行，就一定相交。（______）
17．（2021·江苏·四年级期末）一条线段长6厘米，将它的一端无限延长，就得到一条直线。（______）
18．（2021·江苏·四年级期末）一条射线长6厘米，将它的一端无限延长，就得到一条直线。（________）
19．（2021·江苏·四年级专题练习）两条直线相交，其中一个角是72°，那么与它相邻的角一定是108°。（________）
20．（2021·江苏·四年级单元测试）6时15分时，时针和分针所成的一个较小的夹角恰好是直角。________
四、作图题(共23分)
21．(本题4分)（2021·江苏·四年级专题练习）过下面两点画一条线段。
22．(本题4分)（2021·山西·大同市平城区翰林学校四年级期中）用量角器分别画出下面的角。
55° 120° 80°
23．(本题5分)（2021·江苏·四年级期末）用量角器画一画。以点A为顶点，AB为一条边，画一个75°的角；以点B 为顶点，BA为一条边，画一个60°的角。
24．(本题5分)（2021·江苏太仓·四年级期末）如图
（1）过点A画直线的垂线。
（2）量出点A到已知直线的距离为（ ）。
（3）以点B为顶点，引出一条射线，与已知直线相交成80°的角。
25．(本题5分)（2020·江苏·四年级单元测试）妈妈从A处去河边打水，再挑水到B处浇菜，怎样走最省力？试着在图中画出来。
五、解答题(共30分)
26．(本题6分)（2020·江苏·四年级单元测试）求图中∠1和∠2的度数。
27．(本题6分)（2021·江苏·四年级单元测试）看一看下图中哪两条直线互相平行，哪两条直线互相垂直．
28．(本题6分)（2021·江苏·四年级期末）如图，经过纸上2个点可以画1条直线，经过3个点中的每两个点最多可以画3条直线，经过4个点中的每两个点最多可以画6条直线，经过5个、6个点呢？
画一画，数一数，将下表填写完整。
点数/个 2 3 4 5 6
直线数/条 1 3 6 （ ） （ ）
29．(本题6分)（2018·全国·期中）将一张长方形的纸按如图所示的方法折叠．∠1是多少度？
30．(本题6分)（2018·江苏·四年级单元测试）把一张正方形纸对折三次,打开后如下图⑤,你能在图⑤中标出哪个角是45°、90°、135°吗 请你直接标出来。
1．A
【思路引导】
观察图片可知这是由三角板的45°角和60°重叠在一起的，∠1的度数等于这两个角之差。据此解答。
【完整解答】
根据分析可得，60°－45°＝15°；
故答案为：A。
【考察注意点】
本题考查的是用三角板画角方法的理解与运用。
2．B
【思路引导】
根据上图可知，∠1和∠2组成一个平角，所以180°减去∠1等于∠2；∠1和∠4组成一平角，所以180°减去∠1等于∠4；∠4和∠3组成一个平角，所以180°减去∠4等于∠3，据此即可解答。
【完整解答】
∠2＝180°－∠1＝180°－75°＝105°
∠4＝180°－∠1＝180°－75°＝105°
∠3＝180°－∠4＝180°－105°＝75°
故答案为：B。
【考察注意点】
根据两个角之间的关系来进行解答。
3．C
【思路引导】
一副三角尺的度数有90°、45°、45°；90°、30°、60°，据此计算选择。
【完整解答】
45°－30°＝15°；45°＋60°＝105°；90°＋60°＝150°。
故答案为：C
【考察注意点】
可以将两个角拼在一起组成更大的角，也可以将两角拼在一起作出一个更小的角。
4．A
【思路引导】
把线段的一端无限延长，就得到一条射线；把线段的两端都无限延长，就得到一条直线；线段有两个端点，直线没有端点，射线只有一个端点；线段可以量出长度，射线和直线都是无限长的，据此解答。
【完整解答】
A．一条线段长8厘米，说法正确，因为线段有限长，可以度量。
B．一条射线长8厘米，说法错误，因为射线无限长，不能度量。
C．一条直线长8厘米，说法错误，因为直线无限长，不能度量。
D．一条直线比一条线段长8厘米，说法错误，因为直线无限长，不能度量。
故答案选：A
【考察注意点】
本题主要考查线段、射线、直线的定义。
5．A
【思路引导】
时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格的度数是30度，整时，分针指向12，当时针指向3或9时，夹角是90度，据此解答。
【完整解答】
A．3时整，分针指向12，时针指向3，3×30°＝90°，是直角；
B．6时整，分针指向12，时针指向6，6×30°＝180°，是平角；
C．8时整，分针指向12，时针指向8，4×30°＝120°，是钝角；
D．12时整，分针和时针均指向12，不是直角。
故答案为：A
【考察注意点】
此题主要考查钟面整点时的指针特点和角的分类。
6．无数 一
【思路引导】
在同一平面内，可以画无数条已知直线的垂线，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。过直线外的一点有且只有一条直线与已知直线平行。
【完整解答】
在同一平面内，可以画无数条已知直线的垂线。过直线外的一点可以画一条已知直线的平行线。
【考察注意点】
本题主要考查学生对垂线和平行线知识的掌握和灵活运用。
7．6 6 6
【思路引导】
线段有两个端点，任意两点间的一段都可以看作一条线段；射线只有一个端点，可以向一端无限延伸，所以图中每个端点都可以看作是射线的一个端点，从一个端点向左、向右分别得到2条射线。从一点引出两条射线所形成的图形叫做角。据此解答。
【完整解答】
根据分析可得，
图①中的线段数量是：
3＋2＋1
＝5＋1
＝6（条）
图②中的射线数量是：
2＋2＋2
＝4＋2
＝6（条）
图③中角的数量是：
3＋2＋1
＝5＋1
＝6（个）
【考察注意点】
本题考查的是对线段、射线、角特征与性质的理解与运用。
8．1 2 2
【思路引导】
直的，没有端点，可以无限延伸的线叫直线；射线是直的、有一个端点，可以向一端无限延伸的线；线段是直的、有两个端点的线。
【完整解答】
根据分析可知，图中，线段有1条，射线有2条，直线有2条。
【考察注意点】
熟练掌握线段、射线、直线的定义和特点是解答本题的关键。
9．见详解
【思路引导】
小于90度的角是锐角；等于90度的角是直角；大于90度小于180度的角是钝角；等于180度的角是平角；等于360度的角是周角。
【完整解答】
【考察注意点】
本题主要考查学生对角的分类知识的掌握和灵活运用。
10．4 10 3 3
【思路引导】
小于90°的角叫做锐角，90°的角叫做直角，大于90°小于180°的角叫做钝角，180°的角叫做平角，据此解答即可。
【完整解答】
4个锐角 10个直角
3个钝角 3个平角
【考察注意点】
熟练掌握锐角、直角、钝角、和平角的定义是解决本题的关键，数角的个数时，应按照顺序数，才能做到不重不漏。
11．3 12 3 30° 30°
【思路引导】
（1）图中有3条直线，形成了3个交点，每两个交点能形成一条线段，即有3条线段。每个交点能形成4条射线，则一共有12条射线。
（1）∠1和150°形成一个平角，则∠1＝180°－150°。∠2和150°形成一个平角，则∠2＝180°－150°。
【完整解答】
如图，其中有3条线段，12条射线，3条直线。
∠1＝180°－150°＝30°
∠2＝180°－150°＝30°
【考察注意点】
线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点。求角的度数时，应找出要求的这个角与已知角的关系，根据平角为180°列式解答。
12．70 120
【思路引导】
用量角器测量角的度数时：第一步：点重合，量角器的中心点与角的顶点重合；第二步：线重合，量角器的零刻度线与角的一边重合；第三步：读度数，看角的另一边落到量角器的哪个刻度线上，这个刻度数是这个角的度数；据此判断解答；
一副三角板中的度数有：90°、60°、45°、30°；最大的角是90°，最小的角是30°，求出它们的和即可。
【完整解答】
（1）80°－10°＝70°
（2）90°＋30°＝120°
【考察注意点】
本题考查了正确使用量角器量角的方法以及掌握三角板中各个角的度数。
13．21
【思路引导】
2个点确定一条直线，每增加一个点，原来的点到新增的点都会增加一条直线，故3个点比2个点增加了1个点，增加了2条直线；4个点比3个点增加了1个点，增加了3条直线；5个点比4个点增加了4条直线；6个点比5个点增加了5条直线；故7个点比6个点增加了6条直线。
【完整解答】
1＋2＋3＋4＋5＋6
＝3＋3＋4＋5＋6
＝6＋4＋5＋6
＝10＋5＋6
＝15＋6
＝21
故7个点中的每两个点最多画21条直线。
【考察注意点】
通过画图，正确的找得到其中的规律是解答本题的关键。
14．60°
【思路引导】
把这张长方形纸展开，以∠1的顶点为顶点的角是一个平角，平角＝180°，展开后2∠1＋∠2＋∠3＝180°，又因为∠2＝3，由此∠2＝（180°－30°×2）÷2，据此解答。
【完整解答】
（180°－30°×2）÷2
＝120÷2
＝60°
【考察注意点】
本题是考查简单的图形折叠问题，解题时要根据图意，正确进行分析，找出折叠前后之间度数的关系。
15．√
【思路引导】
角的大小只与边叉开的大小有关，叉开得越大，角越大，叉开得越小，角越小。据此解答。
【完整解答】
根据分析可得，用一个2倍的放大镜看一个10°的角，这个角不变，还是10°。
所以判断正确。
【考察注意点】
本题考查的是对角的定义的理解与运用。
16．√
【完整解答】
在同一平面内，两条永不相交的直线叫做平行线，如果同一平面内的这样的两条直线不平行，说明它们一定相交，所以此题正确。
17．×
【思路引导】
直线没有端点，可以向两边无限延长，长度不能被度量；射线只有一个端点，可以向一端无限延伸，长度不能被度量。据此解答即可。
【完整解答】
根据分析可得，一条线段长6厘米，将它的一端无限延长，得到的是一条射线。
所以判断错误。
【考察注意点】
本题考查的是对直线、射线、线段性质的理解与掌握。
18．×
【思路引导】
直线没有端点，可以向两边无限延长，长度不能被度量；射线只有一个端点，可以向一端无限延伸，长度不能被度量；据此解答即可。
【完整解答】
根据分析可得，一条射线长6厘米，射线是无法测量长度的。所以判断错误。
【考察注意点】
本题考查的是对直线、射线、线段性质的理解与掌握。
19．√
【思路引导】
两条直线相交，那么相邻两个角组成一个平角，平角为180°，用180°减去已知角度，即可求得。
【完整解答】
180°－72°＝108°
故答案为：√
【考察注意点】
解答此题应结合题意，根据平角的含义进行解答。
20．×
【思路引导】
由题意可得，钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出6点15分时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可。。
【完整解答】
3×30°＋7.5°
＝90°＋7.5°
＝97.5°
故此说法错误。
【考察注意点】
此题考查了钟表时针的角度计算，关键是明确：时针每小时转动30°即可。
21．见详解
【思路引导】
用一条直的线将两点连接起来即可。
【完整解答】
【考察注意点】
本题主要考查学生画线段方法的掌握。
22．见详解
【思路引导】
先确定一个端点，引出一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线和射线重合；再在量角器上对准要画角的度数的刻度线，并点上一个点；然后以已画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，这两条射线所成的夹角就是所要画的角度。
【完整解答】
【考察注意点】
本题主要考查学生用量角器画角方法的掌握。
23．见详解
【思路引导】
①量角器的圆点和角的顶点A重合，0刻度线和角的一条边AB重合，在量角器上的75°处点点，再过点A和这个点画出一条射线，即可得出要求的角；
②量角器的圆点和角的顶点B重合，0刻度线和角的一条边BA重合，在量角器上的60°处点点，再过点B和这个点画出一条射线，即可得出要求的角。
【完整解答】
【考察注意点】
此题主要考查用量角器画角的方法。
24．（1）（3）见详解；（2）2厘米
【思路引导】
（1）①用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可；
（2）利用刻度尺测量出点A与垂足之间的线段的长度，就是点A到直线的距离；
（3）①量角器的中心点对准射线的端点B，0刻度线对准已知直线；
②对准量角器的刻度线80°点一个点（找点）；
③把点和点B连接，然后标出角的度数即可。
【完整解答】
作图如下：
【考察注意点】
此题考查了画指定度数的角和画垂线以及测量线段的方法。
25．见详解
【思路引导】
根据轴对称图形的特点，作出A点关于河岸的对称点A’，连接A’B，交河岸于点O，即为到河边取水的地方，则AO和BO即为最短路线，完成路线图即可。
【完整解答】
【考察注意点】
本题考查了对称知识在最短线路问题中的应用，关键是掌握轴对称的性质。
26．∠1＝105°；∠2＝75°
【思路引导】
根据平角是180°，由图可以看出，∠1＋75°＝180°，所以可以求出∠1＝180°－75°＝105°，还可以看出∠2＋∠1＝180°，所以可以求出∠2＝180°－105°＝75°。
【完整解答】
∠1＝180°－75°＝105°，∠2＝180°－105°＝75°
答：∠1＝105°；∠2＝75°。
【考察注意点】
这道题的关键是理解平角的含义，知道∠1＋75°＝180°，∠2＋∠1＝180°。
27．a∥b，d∥e，f⊥d，f⊥e
【完整解答】
【解答】a∥b，d∥e，f⊥d，f⊥e
【思路引导】当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足，在平面上两条直线空间的两个平面以及空间的一条直线与一平面之间没有任何公共点时，称它们平行．
28．见详解
【思路引导】
2个点可以画直线：1条，3个点画直线：3×（3－1）÷2＝3条，4个点画直线：4×（4－1）÷2＝6条，5个点画直线：5×（5－1）÷2＝10条，6个点画直线：6×（6－1）÷2＝15条。
【完整解答】
点数/个 2 3 4 5 6
直线数/条 1 3 6 10 15
【考察注意点】
29．(180°－120°)÷2＝30°　答：∠1是30°．
【解析】
略
30．(答案不唯一)
【解析】
【完整解答】
略
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夯实基础
能力提升
能力达标百分训练（答案解析）

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