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第3节　平面向量的数量积及其应用
知 识 梳 理
1．平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积．
2．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ ·.
3．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
1．设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a＝a·e＝
|a|cos θ.
2．当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
3．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量．
4．两个向量的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b＜0，反之也不成立．
诊 断 自 测
1．判断下列说法的正误．
(1)两个向量的夹角的范围是.(　　)
(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　　)
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　　)
(4)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．(　　)
(5)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×
解析　(1)两个向量夹角的范围是[0，π]．
(4)若a·b>0，a和b的夹角可能为0；若a·b<0，a和b的夹角可能为π.
(5)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等．
2．(2021·北京昌平区二模)在平行四边形ABCD中，AB∥CD，＝(2，－2)，＝(2，1)，则·＝(　　)
A．－3 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　在平行四边形ABCD中，AB∥CD，＝(2，－2)，＝(2，1)，
＝＋＝(4，－1)，＝－＝(0，－3)，
则·＝4×0＋(－1)×(－3)＝3.
3．(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos 〈a，a＋b〉＝(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　D
解析　∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，∴cos〈a，a＋b〉＝＝＝＝.故选D.
4．(必修4P104例1改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
答案　－2
解析　由数量积的定义知b在a方向上的投影为
|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.
5．(2021·浙江名校仿真训练四)已知向量a＝(1，x)，b＝(x，3)，若a与b共线，则|a|＝________；若a⊥b，则|b|＝________．
答案　2　3
解析　a与b共线得1×3－x2＝0，解得x＝±，所以|a|＝＝2.由a⊥b得x＋3x＝0，解得x＝0，所以|b|＝＝3.
6．设平面向量a＝(－2，1)，b＝(λ，－1)(λ∈R)，则|a|＝________，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是________．
答案　　∪(2，＋∞)
解析　∵a＝(－2，1)，∴|a|＝，∵a与b的夹角为钝角；
∴cos〈a，b〉<0，且a，b不平行；
∴a·b<0，且a，b不平行；∴－2λ－1<0，且2－λ≠0；
∴λ>－，且λ≠2；
∴λ的取值范围是∪(2，＋∞)．
考点一　平面向量的数量积运算
【例1】 (1)(一题多解)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)
A．－ B. C. D.
(2)(2019·天津卷)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________．
答案　(1)B　(2)－1
解析　(1)法一　如图所示，根据已知得，＝，所以＝＋＝＋，＝－，
则·＝·(－)
＝·－2＋2－·
＝2－2－·＝－－×1×1×cos 60°＝.故选B.
法二　建立如图所示的平面直角坐标系．
则B，C，A，所以＝(1，0)．
易知|DE|＝|AC|，∠FEC＝∠ACE＝60°，
则|EF|＝|AC|＝，
所以点F的坐标为，
则＝，
所以·＝·(1，0)＝.
(2)如图，∵E在线段CB的延长线上，
∴EB∥AD.
∵∠DAB＝30°，∴∠ABE＝30°.
∵AE＝BE，∴∠EAB＝30°.
又∵AB＝2，∴BE＝2.
∵AD＝5，∴＝.
∴＝＋＝－.
又∵＝－，
∴·＝(－)·
＝·－2－2＋·
＝||·||·cos 30°－×52－(2)2
＝×5×2×－10－12＝21－22＝－1.
感悟升华　(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．
(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．
【训练1】 (1)(一题多解)在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为(　　)
A．－ B．0 C．4 D．－1
(2)(2021·绍兴柯桥区模拟)已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，O为△ABC所在平面内一点，并且满足＋2＋3＝0，记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则(　　)
A．I1C．I1答案　(1)A　(2)A
解析　(1)法一　由题意知，BD＝2，且∠CBD＝45°.
因为点P在AC边的中线BD上，所以设＝λ(0≤λ≤1)，如图所示，所以·＝(＋)·＝(＋λ)·λ＝λ·＋λ22＝λ||·||cos 135°＋λ2×(2)2＝8λ2－4λ＝8－，当λ＝时，·取得最小值－，故选A.
法二　依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2，因为点P在AC边的中线BD上，所以可设P(t，2－t)(0≤t≤2)，所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)，所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－，当t＝时，·取得最小值－，故选A.
(2)如图建
立平面直角坐标系C－xy，则C(0，0)，A(0，2)，B(，0)．设点O(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－x，2－y)，＝(－x，－y)．因为＋2＋3＝0，所以
解得故I1＝·＝－，I2＝·＝－1，I3＝·＝0，所以I1考点二　平面向量数量积的性质
角度1　平面向量的模
【例2－1】 (1)(一题多解)已知e1，e2是单位向量，且e1·e2＝.若向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________．
(2)(一题多解)(2018·浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　)
A.－1 B.＋1
C．2 D．2－
答案　(1)　(2)A
解析　(1)法一　∵e1·e2＝，
∴|e1||e2|cos 〈e1，e2〉＝，∴〈e1，e2〉＝60°.
又∵b·e1＝b·e2＝1>0，∴〈b，e1〉＝〈b，e2〉＝30°.
由b·e1＝1，得|b||e1|cos 30°＝1，∴|b|＝＝.
法二　由题意可得，不妨设e1＝(1，0)，e2＝，b＝(x，y)．
∵b·e1＝b·e2＝1，
∴x＝1，x＋y＝1，解得y＝.
∴b＝，∴|b|＝＝.
(2)法一　设O为坐标原点，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a与e的夹角为，所以不妨令点A在射线y＝x(x>0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝||－||＝－1.故选A.
法二　由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0.
设b＝，e＝，3e＝，所以b－e＝，b－3e＝，所以·＝0，取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图，设a＝，作射线OA，使得∠AOE＝，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝||－||≥－1.故选A.
角度2　平面向量的夹角
【例2－2】 (2021·厦门质检一)两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　因为|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，即a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，所以a·b＝0，所以a⊥b.因为|a＋b|＝2|b|，即＝，所以|a|＝|b|.因为|a＋b|＝2|b|，所以cos〈a＋b，a〉＝＝＝＝，所以向量a＋b与a的夹角为.
角度3　平面向量的垂直
【例2－3】 (1)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|＞|b|
(2)(2021·杭州市质检)设a，b，c为非零不共线的向量，若|a－tc＋(1－t)b|≥|a－c|(t∈R)，则(　　)
A．(a＋b)⊥(a－c) B．(a＋b)⊥(b＋c)
C．(a－c)⊥(a＋b) D．(a－c)⊥(b＋c)
答案　(1)A　(2)D
解析　(1)∵|a＋b|＝|a－b|，
∴|a＋b|2＝|a－b|2.
∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.
∴a·b＝0.∴a⊥b.
(2)设向量＝a，＝b，＝c，＝－b，tc＋(1－t)(－b)＝，则点P在直线DC上，则由|a－[tc＋(1－t)(－b)]|≥|a－c|得|－|≥|－|，即||≥||，即点A到直线DC的最小距离为|CA|，则⊥，即(a－c)⊥(b＋c)，故选D.
角度4　向量的投影
【例2－4】 (1)(2021·温州适考)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则|a＋b|＝________，b在a上的投影等于________．
(2)(一题多解)已有正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．
答案　(1)　　(2)1　1
解析　(1)因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝22＋12＋2×1＝7，所以|a＋b|＝，b在a上的投影为＝.
(2)法一　如图，·＝(＋)·＝·＋·＝2＝1，
·＝(＋)·
＝·＋·
＝·＝||·||≤||2＝1.
法二　以A为坐标原点，以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，
设E(t，0)，t∈[0，1]，
则＝(t，－1)，＝(0，－1)，
所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为＝(1，0)，
所以·＝(t，－1)·(1，0)＝t≤1，
故·的最大值为1.
法三　由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，
∴·＝||·1＝1.
当E运动到B点时，在方向上的投影最大即为DC＝1，
∴(·)max＝||·1＝1.
感悟升华　(1)求两向量的夹角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]．
(2)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.
②|a±b|＝＝.
③若a＝(x，y)，则|a|＝.
(3)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|.
【训练2】 (1)(角度1)设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|2＝(　　)
A．1 B．2 C．4 D．5
(2)(角度2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．
(3)(角度3)(一题多解)(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　)
A．a＋2b B．2a＋b
C．a－2b D．2a－b
(4)(角度4)(2021·广东四校联考)已知平面向量a，b是非零向量，|a|＝2，a⊥(a＋2b)，则向量b在向量a方向上的投影为(　　)
A．－1 B．1 C．－2 D．2
答案　(1)D　(2)∪　(3)D　(4)A
解析　(1)∵a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，
∴|c|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋0＋4＝5.
(2)∵2a－3b与c的夹角为钝角，∴(2a－3b)·c<0，
即(2k－3，－6)·(2，1)<0，解得k＜3.
又若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－.
当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，
此时2a－3b与c反向，不合题意．
综上，k的取值范围为∪.
(3)由题意得|a|＝|b|＝1，a，b的夹角θ＝60°，故a·b＝|a||b|cos θ＝.
对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2＝≠0；
对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×＋1＝2≠0；
对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2＝－≠0；
对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×－1＝0.故选D.
(4)∵平面向量a，b是非零向量，|a|＝2，a⊥(a＋2b)，
∴a·(a＋2b)＝0，即|a|2＋2a·b＝0，即a·b＝－|a|2＝－2，∴向量b在向量a方向上的投影为＝＝－1.
考点三　向量与三角函数的交汇
【例3】 设向量a＝(2sin x，－cos x)，b＝(cos x，2cos x)，f(x)＝a·b＋1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若方程f(x)＝|t2－t|(t∈R)无实数解，求t的取值范围．
解　(1)因为f(x)＝a·b＋1＝2sin xcos x－2cos2x＋1＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
故f(x)的最小正周期为π.
(2)若方程f(x)＝|t2－t|无实数解，
则|t2－t|>f(x)max＝2，所以t2－t>2或t2－t<－2，
由t2－t>2，解得t>2或t<－1；
由t2－t＋2＝＋>0，
故不等式t2－t<－2无实数解，
所以t的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
感悟升华　此类问题一般通过向量的运算转化为三角函数问题解决．
【训练3】 已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(－，)，x∈[0，π]．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
解　(1)由题意得－cos x＋sin x＝0，
所以tan x＝，又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝－cos x＋sin x
＝2sin，
因为x∈[0，π]，所以x－∈，
即f(x)的最大值为2，此时x－＝，于是x＝；
f(x)的最小值为－，此时x－＝－，于是x＝0.
基础巩固题组
一、选择题
1．(2021·沈阳监测一)已知a，b均为单位向量，若a，b夹角为，则|a－b|＝(　　)
A. B. C. D
答案　D
解析　因为|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×1×1×＋1＝3，所以|a－b|＝，故选D.
2．(一题多解)(2021·武汉调研)设向量a＝(1，－2)，b＝(0，1)，向量λa＋b与向量a＋3b垂直，则实数λ＝(　　)
A. B．1 C．－1 D．－
答案　B
解析　法一　因为a＝(1，－2)，b＝(0，1)，所以λa＋b＝(λ，－2λ＋1)，a＋3b＝(1，1)，由已知得(λ，－2λ＋1)·(1，1)＝0，所以λ－2λ＋1＝0，解得λ＝1，故选B.
法二　因为向量λa＋b与向量a＋3b垂直，所以(λa＋b)·(a＋3b)＝0，
所以λ|a|2＋(3λ＋1)a·b＋3|b|2＝0，因为a＝(1，－2)，b＝(0，1)，
所以|a|2＝5，|b|2＝1，a·b＝－2，所以5λ－2(3λ＋1)＋3×1＝0，解得λ＝1，故选B.
3．(2021·北京延庆区模拟)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若2＋＋＝0，且||＝||，则·＝(　　)
A. B. C．3 D．2
答案　C
解析　∵2＋＋＝0，∴＝－，故点O是BC的中点，且△ABC为直角三角形，又△ABC外接圆半径为1，||＝||，所以BC＝2，CA＝，∠BCA＝30°，∴·＝||·||cos 30°＝2××＝3.
4．(2021·北仑中学模拟)设向量a，b满足：|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝0，则a与b的夹角是(　　)
A．30° B．60° C．90° D．120°
答案　D
解析　设a与b的夹角为θ，因为|a|＝1，|b|＝2，a(a＋b)＝0，所以a2＋a·b＝1＋2cos θ＝0，即cos θ＝－，因为0°＜θ＜180°，所以a与b的夹角θ＝120°，故选D.
5．(2021·北京东城区综合练习)已知向量a＝(0，5)，b＝(4，－3)，c＝(－2，－1)，那么下列结论正确的是(　　)
A．a－b与c为共线向量 B．a－b与c垂直
C．a－b与a的夹角为钝角 D．a－b与b的夹角为锐角
答案　B
解析　根据题意，向量a＝(0，5)，b＝(4，－3)，c＝(－2，－1)，则a－b＝(－4，8)，又由c＝(－2，－1)，有(－4)×(－1)≠(－2)×8，则(a－b)与c不是共线向量，c＝(－2，－1)，则(a－b)·c＝(－4)×(－2)＋(－1)×8＝0，则(a－b)与c垂直．
6．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|＝4，则向量a在a＋b上的投影为(　　)
A. B．3 C. D．6
答案　B
解析　由|a＋b|＝|a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0，
由|a＋b|＝2|b|，得a2＋2a·b＋b2＝4b2，即a2＝3b2，所以|a|＝|b|＝2，所以向量a在a＋b上的投影为＝＝3.
二、填空题
7．(2021·北京朝阳区期末)已知四边形的顶点A，B，C，D在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则·＝________．
答案　7
解析　如图，以A为坐标原点，以AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，2)，C(7，0)，D(3，－2)，
∴＝(7，0)，＝(1，4)，
∴·＝7×1＋0×4＝7.
8．如图，四个边长为1的正方形排成一个正方形，AB是大正方形的一条边，Pi(i＝1，2，…，7)是小正方形的其余的顶点，则·i(i＝1，2，…，7)的不同值的个数为________．
答案　3
解析　∵·＝||·||cos〈，〉＝2·0，或2·1，或2·2，∴有3个不同的值．
9．(2021·浙江十校联盟适考)已知|a|＝2|b|＝2，a·b＝－1，b⊥(ta＋b)(t∈R)，则|a＋2b|＝________，t＝________．
答案　2　1
解析　由题意得|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝4＋4×(－1)＋4×1＝4，所以|a＋2b|＝2，由b⊥(ta＋b)得b·(ta＋b)＝ta·b＋|b|2＝－t＋1＝0，解得t＝1.
10．(2021·鄞州中学检测)在△ABC中，AB＝2，AC＝4，AD＝，D为线段BC的中点，则BC＝________，S△ABC＝________．
答案　2　2
解析　因为点D为线段BC的中点，所以＝(＋)，两边平方得||2＝
(||2＋2·＋||2)，解得·＝12，则||＝＝＝2.cos〈，〉＝＝，则sin〈，〉＝，所以S△ABC＝|AB|·|AC|sin ∠BAC＝2.
11．(2021·广州测试)已知单位向量e1与e2的夹角为，若向量e1＋2e2与2e1＋ke2的夹角为，则实数k的值为________．
答案　－10
解析　依题意，|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝1×1×cos ＝.又向量e1＋2e2与2e1＋ke2的夹角为，所以(e1＋2e2)·(2e1＋ke2)＝|e1＋2e2|×|2e1＋ke2|·cos ＝××.又(e1＋2e2)·(2e1＋ke2)＝2e＋ke1e2＋4e1e2＋2ke＝4＋k，故整理得8＋5k＝－·，所以解得k＝－10.
三、解答题
12．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．
解　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，
∴64－4a·b－27＝61，
∴a·b＝－6.∴cos θ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，∴θ＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，
∴|a＋b|＝.
(3)∵与的夹角θ＝，
∴∠ABC＝π－＝.
又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3.
13．已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
解　(1)∵a∥b，∴3sin x＝－cos x，
∴3sin x＋cos x＝0，
即sin＝0.
∵0≤x≤π，∴≤x＋≤π，
∴x＋＝π，∴x＝.
(2)f(x)＝a·b＝3cos x－sin x＝－2sin.
∵x∈[0，π]，∴x－∈，
∴－≤sin≤1，
∴－2≤f(x)≤3，
当x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最大值3；
当x－＝，即x＝时，f(x)取得最小值－2.
能力提升题组
14．(2017·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则(　　)
A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2
C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3
答案　C
解析　如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AO||||·cos∠AOB<0，
∴I1I3，作AG⊥BD于G，
又AB＝AD，
∴OB∴||||<||||，
而cos∠AOB＝cos∠COD<0，∴·>·，
即I1>I3.∴I315.(2021·衢州、湖州、丽水质检)如图，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，P是圆O上的动点，则下列叙述中不正确的是(　　)
A.·＋·是定值
B.·＋·＋PC·＋·是定值
C．||＋||＋||＋||是定值
D.2＋2＋2＋2是定值
答案　C
解析　如图，以点O为坐标原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，过点O且平行于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系．设正方形ABCD的边长为2，圆的半径为r(r>)，点P(rcos θ，rsin θ)，则点A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－1)，D(1，－1)，所以＝(1－rcos θ，1－rsin θ)，＝(－1－rcos θ，1－rsin θ)，＝(－1－rcos θ，－1－rsin θ)，＝(1－rcos θ，－1－rsin θ)，所以·＝r2－2rsin θ，·＝－2＋r2，·＝r2－2rcos θ，·＝r2＋2rcos θ，·＝－2＋r2，·＝r2＋2rsin θ，2＝2＋r2－2r(cos θ＋sin θ)，2＝2＋r2＋2r(cos θ－sin θ)，2＝2＋r2＋2r(cos θ＋sin θ)，2＝2＋r2－2r(cos θ－sin θ).·＋·＝－4＋2r2，为定值，故A正确；·＋·＋·＋·＝4r2，为定值，故B正确；当θ＝0时，||＋||＋||＋||＝2||＋2||；当θ＝时，||＋||＋||＋||＝||＋||＋2||，显然2||＋2||≠||＋||＋2||，故||＋||＋||＋||不是定值，故选项C错误；2＋2＋2＋2＝8＋4r2，为定值，故选项D正确．综上，故选C.
16.(2018·天津卷改编)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为________．
答案　
解析　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图的平面直角坐标系，
因为在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝120°，所以A(0，0)，B(1，0)，D.设C(1，m)，E(x，y)，所以 ＝，＝，因为AD⊥CD，所以·＝0，则×(－)＋＝0，解得m＝，即C(1，)．因为E在CD上，所以≤y≤，由kCE＝kCD，得＝，即x＝y－2，因为＝(x，y)，＝(x－1，y)，所以·＝(x，y)·(x－1，y)＝x2－x＋y2＝(y－2)2－y＋2＋y2＝4y2－5y＋6，令f(y)＝4y2－5y＋6，y∈.因为函数f(y)＝4y2－5y＋6在上单调递减，在上单调递增，所以f(y)min＝4× 2－5×＋6＝.所以·的最小值为.
17．(2021·杭州质检)如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝3，P为CD上一点，且满足＝m＋，若△ABC的面积为2.
(1)求m的值；
(2)求||的最小值．
解　(1)由题意得＝m＋＝m＋，且C，P，D三点共线，
所以m＋＝1，即m＝.
(2)由(1)可知＝＋，
设||＝c，||＝b，
所以S△ABC＝bcsin ＝2，解得bc＝8，
所以||2＝＝＋＋·.
因为·＝bccos ＝－4，
所以||2＝＋－≥2×－＝，
故||≥，当且仅当b＝2，c＝时取等号，
故||的最小值为.
18．在平面直角坐标系xOy中，设向量a＝(cos α，sin α)，b＝(－sin β，cos β)，c＝.
(1)若|a＋b|＝|c|，求sin(α－β)的值；
(2)设α＝，0<β<π，且a∥(b＋c)，求β的值．
解　(1)∵向量a＝(cos α，sin α)，b＝(－sin β，cos β)，c＝，
∴|a|＝|b|＝|c|＝1，且a·b＝－cos αsin β＋sin αcos β＝sin(α－β)．
∵|a＋b|＝|c|，
∴|a＋b|2＝|c|2，即|a|2＋2a·b＋|b|2＝1.
∴1＋2sin(α－β)＋1＝1，即sin(α－β)＝－.
(2)∵α＝，∴a＝.
依题意，b＋c＝.
∵a∥(b＋c)，
∴－－＝0，化简得，
sin β－cos β＝，∴sin＝.
∵0<β<π，∴－<β－<.
∴β－＝，即β＝.
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