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第4节　复　数
知 识 梳 理
1．复数的有关概念
内容 意义 备注
复数的概念 形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b 若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
复数相等 a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数 a＋bi与c＋di共轭 a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数的模 设对应的复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模 |z|＝|a＋bi|＝
2.复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝
＝(c＋di≠0)．
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
2．－b＋ai＝i(a＋bi)．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
诊 断 自 测
1．判断下列说法的正误．
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　)
(3)原点是实轴与虚轴的交点．(　　)
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小．
2．(2020·浙江卷)已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝(　　)
A．1 B．－1 C．2 D．－2
答案　C
解析　由题可知复数的虚部为a－2，若该复数为实数，则a－2＝0，即a＝2.故选C.
3．(2020·全国Ⅰ卷)若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝(　　)
A．0 B．1 C. D．2
答案　C
解析　∵z＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i，∴|z|＝＝.故选C.
4．(选修2－2P112A2改编)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)
A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i
答案　C
解析　∵A(6，5)，B(－2，3)，∴线段AB的中点C(2，4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i.
5．(2020·江苏卷)已知i是虚数单位，则复数z＝(1＋i)(2－i)的实部是________．
答案　3
解析　z＝(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i，所以复数z的实部为3.
6．设a∈R，若复数z＝(i为虚数单位)的实部和虚部相等，则a＝________，||＝________．
解析　复数＝＝，由于复数(i为虚数单位)的实部和虚部相等，则a＋1＝1－a，解得a＝0，则z＝＋i，＝－i，则||＝＝.
答案　0　
考点一　复数的有关概念
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例1】 (1)已知i为虚数单位，则i607的共轭复数为(　　)
A．i B．－i C．1 D．－1
(2)(2021·诸暨期末)已知a，b，c∈R，i是虚数单位，若＝ci，则(　　)
A．a＝b B．a＝
C．a＝－b D．a＝－
答案　(1)A　(2)C
解析　(1)因为i607＝(i2)303·i＝－i，－i的共轭复数为i.
(2)由题意得1＋ai＝ci(b＋i)＝－c＋bci，则则a＝－b，故选C.
感悟升华　(1)复数的分类、复数相等及复数对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
【训练1】 (1)(2021·温州适考)若复数z＝＋ai(i为虚数单位，a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a＝(　　)
A．－2 B．－1 C．0 D．1
(2)(2021·杭州市质检)设复数z＝a－i且＝1＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则ab＝________，|z|＝________．
答案　(1)B　(2)－6　
解析　依题意，复数z＝＋ai＝＋ai＝＋i，其实部与虚部互为相反数，所以＋＝0，解得a＝－1，故选B.
(2)由＝1＋bi得z＝(1＋bi)(1＋i)＝1－b＋(1＋b)i.又因为复数z＝a－i.所以解得则ab＝－6，z＝a－i＝3－i，则|z|＝＝.
考点二　复数的几何意义
【例2】 (1)在复平面内，复数z＝1－i对应的向量为，复数z2对应的向量为，那么向量对应的复数为(　　)
A．1－i B．1＋i C．－1＋i D．－1－i
(2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
答案　(1)D　(2)B
解析　(1)因为z2＝－2i，而＝－，故向量对应的复数为－2i－(1－i)＝－1－i，故选D.
(2)(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i的对应点在第二象限，则∴a<－1，故选B.
感悟升华　因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．
【训练2】 (1)(2021·金丽衢十二校二联)复数z满足：z·i＝1＋i，其中i为虚数单位，则z对应的点位于复平面的第________象限；|z|＝________．
(2)(2021·浙江五校联考)已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，若|z＋2i|＝1，则|z|max＝________；x＋2y的取值范围是________．
答案　(1)四　2　(2)3　[－－4，－4]
解析　(1)因为z·i＝1＋i，所以复数z＝＝＝－i，所以复数z对应的点的坐标为(，－1)，故复数z对应的点位于复平面的第四象限，且|z|＝＝2.
(2)由|z＋2i|＝1得x2＋(y＋2)2＝1，表示以点C(0，－2)为圆心，r＝1为半径的圆，则|z|表示圆C上的点与坐标原点(0，0)的距离，故|z|max＝|OC|＋r＝3.又x＋2y＝t表示与圆C有公共点的直线，则由直线与圆的位置关系得≤r，解得－－4≤t≤－4，即x＋2y的取值范围为[－－4，－4]．
考点三　复数的运算
【例3】 (1)(一题多解)(2020·新高考山东卷)＝(　　)
A．1 B．－1 C．i D．－i
(2)(一题多解)(2020·全国Ⅰ卷)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝(　　)
A．0 B．1 C. D．2
(3)(2021·浙江十校联盟联考)已知两非零复数z1，z2，若z1·z2∈R，则一定成立的是(　　)
A．z1＋z2∈R B．z1·2∈R
C.∈R D.∈R
答案　(1)D　(2)D　(3)D
解析　(1)＝＝＝－i.故选D.
(2)法一　z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z2－2z|＝|－2|＝2.
法二　|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)|
＝|1＋i||－1＋i|＝2.
故选D.
(3)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则由z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac－bd＋(ad＋bc)i∈R得ad＋bc＝0，则＝＝＝＝∈R，故选D.
感悟升华　(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．
(2)记住以下结论，可提高运算速度：
①(1±i)2＝±2i；②＝i；③＝－i；④＝b－ai；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，
i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
【训练3】 (1)(2021·台州评估测试)已知复数z满足(3－4i)z＝i(其中i为虚数单位)，则|z|＝(　　)
A．25 B. C．5 D.
(2)(2021·镇海中学检测)已知i是虚数单位，且复数z1＝1－2i，z2＝3＋mi(m∈R)，则|z1|＝________，若是实数，则实数m＝________．
(3)(2020·全国Ⅱ卷)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________．
答案　(1)D　(2)　－6　(3)2
解析　(1)由(3－4i)z＝i，得复数z＝，所以|z|＝＝.
(2)因为复数z1＝1－2i，所以|z1|＝|1－2i|＝＝.设＝b，则z2＝z1b，即3＋mi＝b(1－2i)＝b－2bi，所以3＝b，m＝－2b＝－6.
(3)法一　设z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，
因为z1＋z2＝＋i，
所以2z1＝(＋a)＋(1＋b)i，2z2＝(－a)＋(1－b)i.
因为|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4，
所以＝4，①
＝4，②
①2＋②2得a2＋b2＝12.
所以|z1－z2|＝＝2.
法二　
设复数z1，z2在复平面内分别对应向量，，则z1＋z2对应向量＋.
由题知||＝||＝|＋|＝2，
如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则z1－z2对应向量，OA＝AC＝OC＝2，
可得BA＝2OAsin 60°＝2.故|z1－z2|＝||＝2.
基础巩固题组
一、选择题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(2020·全国Ⅱ卷)(1－i)4＝(　　)
A．－4 B．4 C．－4i D．4i
答案　A
解析　(1－i)4＝(1－2i＋i2)2＝(－2i)2＝4i2＝－4.
2．(2020·全国Ⅲ卷)复数的虚部是(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　D
解析　z＝＝＝＋i，虚部为.故选D.
3．(2020·北京卷)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1，2)，则i·z＝(　　)
A．1＋2i B．－2＋i
C．1－2i D．－2－i
答案　B
解析　z＝1＋2i，∴i·z＝i(1＋2i)＝－2＋i.故选B.
4．(2020·全国Ⅲ卷)若 (1＋i)＝1－i，则z＝(　　)
A．1－i B．1＋i C．－i D．i
答案　D
解析　因为＝＝＝－i，所以z＝i.故选D.
5．(2021·北京延庆区一模)已知复数z＝a2i－2a－i是正实数，则实数a的值为(　　)
A．0 B．1 C．－1 D．±1
答案　C
解析　因为z＝a2i－2a－i＝－2a＋(a2－1)i为正实数，所以－2a>0且a2－1＝0，解得a＝－1.
6．(一题多解)(2021·嘉兴期末)已知i是虚数单位，z(1－2i)＝2＋i，则|z|＝(　　)
A．1 B．2 C．i D．2i
答案　A
解析　因为z(1－2i)＝2＋i，所以复数z＝＝＝i，所以|z|＝|i|＝1，故选A.
7．(2021·温州适考)已知复数(1＋i)(a＋i)为纯虚数(i为虚数单位)，则实数a＝(　　)
A．－1 B．1 C．0 D．2
答案　B
解析　因为复数z＝(1＋i)(a＋i)＝a－1＋(a＋1)i为纯虚数，故a－1＝0且a＋1≠0，即a＝1，故选B.
8．(2021·名校仿真训练二)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则|a＋bi|＝(　　)
A. B．2 C. D．5
答案　C
解析　(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，则
b＝1，a＝2，则|2＋i|＝，故选C.
9．(2021·名校联盟三联)若复数z＝＋bi(b∈R，i为虚数单位)满足z·＝Im()，其中为z的共轭复数，Im()表示的虚部，则||的值为(　　)
A. B. C．1 D.
答案　A
解析　因为z＝＋bi，所以＝－bi，所以z·＝＋b2＝－b，解得b＝－，所以||＝|·|＝，故选A.
10．已知z1，z2为虚数，则“z1·z2∈R”是“z1与z2互为共轭复数”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　因为z1，z2为虚数，则z1，z2互为共轭复数等价于z1z2＝|z1|2>0，可得z1z2∈R；但z1z2∈R，可以有z2＝k1，z1，z2不互为共轭复数，故选B.
二、填空题
11．(2020·天津卷)i是虚数单位，复数＝________．
答案　3－2i
解析　＝＝＝＝3－2i.
12．(2021·浙江名师预测一)已知复数z＝2＋3i，则＝________．
答案　＋i
解析　由题意＝＝＝＝＋i.
13．(2021·宁波期末)若复数z1＝a＋i(a∈R)，z2＝1＋i(i为虚数单位)，则|z2|＝________；若复数z1z2为纯虚数，则实数a的值为________．
答案　　1
解析　由题意得|z2|＝＝.因为复数z1z2＝(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i为纯虚数，所以解得a＝1.
14．(2017·浙江卷)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________．
答案　5　2
解析　由已知(a＋bi)2＝3＋4i.即a2－b2＋2abi＝3＋4i.
从而有解得
则a2＋b2＝5，ab＝2.
能力提升题组
15．(2021·上海黄浦区调研)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是(　　)
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
答案　D
解析　A中，|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故1＝2，成立．B中，z1＝2，则1＝z2成立．C中，|z1|＝|z2|，则|z1|2＝|z2|2，即z1·1＝z2·2，C正确．D不一定成立，如z1＝1＋i，z2＝2，则|z1|＝2＝|z2|，但z＝－2＋2i，z＝4，z≠z.
16．(一题多解)设z是复数，|z－i|≤2(i是虚数单位)，则|z|的最大值是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　法一　|z－i|≤2表示复数z在复平面上的对应的点在以(0，1)为圆心，2为半径的圆内(含边界)，而|z|表示此圆内(含边界)的点到原点的距离，其最大值为1＋2＝3.
法二　因为2≥|z－i|≥|z|－|i|＝|z|－1，即|z|≤3.
17．若1－i(i是虚数单位)是关于x的方程x2＋2px＋q＝0(p，q∈R)的一个解，则p＋q＝(　　)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
答案　C
解析　依题意得(1－i)2＋2p(1－i)＋q＝(2p＋q)－2(p＋1)i＝0，即
解得p＝－1，q＝2，所以p＋q＝1，故选C.
18．(2021·七彩阳光联盟三联)复数z满足|z－i|＝|z＋3i|，则|z|(　　)
A．最小值为1，无最大值 　B．最大值为1，无最小值
C．恒等于1 　D．无最大值，也无最小值
答案　A
解析　设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为|z－i|＝|z＋3i|，所以x2＋(y－1)2＝x2＋(y＋3)2，解得y＝－1，所以复数z在复平面内对应的点在直线y＝－1上运动，|z|＝可以理解为直线y＝－1上的点到坐标原点的距离，所以当z＝－i时，距离最短，|z|min＝1，无最大值，故选A.
19．(2020·浙江名师预测三)除了代数形式外，复数还可以用三角形式表示，如
z＝r(cos θ＋isin θ)．基于此，棣莫弗定理表达：若z＝r(cos θ＋isin θ)，则zn＝
rn(cos θ＋isin θ)n＝rn(cos nθ＋isin nθ)．已知复数z＝1－i，则|z2 020|＝________．
答案　22 020
解析　z＝2，由棣莫弗定理得z2 020
＝22 020·＝22 020×，所以|z2 020|＝22 020.
20．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________；最小值为________．
答案　　－
解析　
∵|z－2|＝＝，
∴(x－2)2＋y2＝3.
由图可知＝＝，＝－.
.
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