资源简介

本资料分享自新人教版高中数学资源大全QQ群323031380 期待你的加入与分享
第2节　等差数列
知 识 梳 理
1．等差数列的定义
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
(2)等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．
2．等差数列的通项公式及求和公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d，其前n项和是Sn＝或Sn＝na1＋d．
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．
特别地，当k＋l＝2m(k，l，m∈N*)时，则ak＋al＝2am．
(3)若{an}为等差数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.
(4)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则也是等差数列．
4．等差数列的通项公式、求和公式与函数的关系
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，等差数列的通项公式是关于n的一次函数；当d＝0时，等差数列的通项公式是常数函数．
(2)求和公式：Sn＝n2＋n，当d≠0时，等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，且常数项为0；当d＝0时，等差数列的前n项和公式为Sn＝na1.
1．用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an＋1－an＝d(n≥2)时，应注意验证a2－a1是否等于d，若a2－a1≠d，则数列{an}不为等差数列．
2．利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数．
诊 断 自 测
1．判断下列说法的正误．
(1)若一个数列从第二项起每一项和它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　)
(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　)
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
解析　对(1)由定义知，若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数，则此数列是等差数列，(1)错误；对(3)，当等差数列的公差为零时，此结论不正确．
2．一个等差数列的首项为，从第10项开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是(　　)
A．d> B．d<
C.答案　D
解析　由题意可得即
所以3．(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　)
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
答案　A
解析　设首项为a1，公差为d.
由S4＝0，a5＝5可得解得
所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，
Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n.
4．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________．
答案　180
解析　由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.
5．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．
答案　8
解析　因为a7＋a8＋a9>0，所以3a8>0，即a8>0，又a7＋a10<0，所以a8＋a9<0，则a9<0，故n＝8.
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝16，a6＝10，则公差d＝________；Sn取到最大时的n的值为________．
答案　－2　10或11
解析　因为数列{an}是等差数列，且a3＝16，a6＝10，所以公差d＝＝－2，所以an＝－2n＋22，要使Sn能够取到最大值，则需an＝－2n＋22≥0，解得n≤11.所以可知使得Sn取到最大时的n的值为10或11.
考点一　等差数列基本量的运算
【例1】 (1)(一题多解)(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)
A．－12 B．－10 C．10 D．12
(2)(一题多解)(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________．
答案　(1)B　(2)25
解析　(1)法一　设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴3＝2a1＋d＋4a1＋d，解得d＝－a1.∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×
(－3)＝－10.
法二　设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，
∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4，∴S3＝a4－a3，∴3a1＋d＝d.∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.
(2)法一　设等差数列{an}的公差为d，
则a2＋a6＝2a1＋6d＝2.
因为a1＝－2，所以d＝1.
所以S10＝10×(－2)＋×1＝25.
法二　设等差数列{an}的公差为d，因为a2＋a6＝2a4＝2.所以a4＝1，所以d＝＝＝1，所以S10＝10×(－2)＋×1＝25.
感悟升华　(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn；知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
【训练1】 (1)(2019·全国Ⅲ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则＝________．
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝(　　)
A. B. C. D.
答案　(1)4　(2)A
解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，由a1≠0，a2＝3a1，可得d＝2a1，
所以S10＝10a1＋d＝100a1，
S5＝5a1＋d＝25a1，所以＝4.
(2)设数列{an}的公差为d，因为Sn为等差数列{an}的前n项和，且＝，所以10a1＝4a1＋6d，所以a1＝d.所以＝＝＝.
考点二　等差数列的性质
【例2】 (1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，对n∈N*且n>4时有S8＝20，
S2n－1－S2n－9＝116，则an＝(　　)
A．6 B. C．39 D．78
(2)(2020·浙江卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且≤1.记b1＝S2，bn＋1＝S2n＋2－S2n，n∈N*，下列等式不可能成立的是(　　)
A．2a4＝a2＋a6 B．2b4＝b2＋b6
C．a＝a2a8 D．b＝b2b8
答案　(1)B　(2)D
解析　(1)由题知a1＋a2＋…＋a8＝20，且S2n－1－S2n－9＝a2n－8＋a2n－7＋…＋a2n－1＝116，故知a1＋a2n－1＝＝17＝2an，所以an＝.
(2)由bn＋1＝S2n＋2－S2n，得b2＝a3＋a4＝2a1＋5d，b4＝a7＋a8＝2a1＋13d，b6＝a11＋a12，b8＝a15＋a16＝2a1＋29d.由等差数列的性质易知A成立；若2b4＝b2＋b6，则2(a7＋a8)＝a3＋a4＋a11＋a12＝2a7＋2a8，故B成立；若a＝a2a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，则a1＝d，故C可能成立；若b＝b2b8，即(2a1＋13d)2＝(2a1＋5d)(2a1＋29d)，则＝，与已知矛盾，故D不可能成立．
感悟升华　利用等差数列项的性质、等差数列前n项和的性质能简化运算．
【训练2】 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝(　　)
A. B. C. D.
(2)已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于(　　)
A. B. C. D.
答案　(1)A　(2)B
解析　(1)因为数列{an}是等差数列，所以S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，因为＝，所以不妨设S4＝1，则S8＝3，所以S8－S4＝2，所以S16＝1＋2＋3＋4＝10，所以＝.
(2)根据等差数列的性质和前n项和公式，有＝＝＝＝＝.故选B.
考点三　等差数列的判定与证明
【例3】 (2021·台州模拟)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明　由＝＝＝＋1，得－＝1，
又a1＝2，∴＝1，
∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
(2)解　由(1)知，＝n，∴an＝，
∴数列{an}的通项公式为an＝.
感悟升华　等差数列的判定与证明方法
方法 解读 适合题型
定义法 对于任意自然数n(n≥2)，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数 {an}是等差数列 解答题中证明问题
等差中项法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立 {an}是等差数列
通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立 {an}是等差数列 选择、填空题中的判定问题
前n项和公式法 验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立 {an}是等差数列
【训练3】 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．
(1)证明：an＋2－an＝λ；
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
(1)证明　由题设知，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1.
两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.
由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.
(2)解　由题设知，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.
由(1)知，a3＝λ＋1.
由2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.
故an＋2－an＝4，
由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3＝2(2n－1)－1；
{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝
4n－1＝2·2n－1.
所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.
因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．
考点四　等差数列最值问题
【例4】 (1)(一题多解)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
(2)已知等差数列16，14，12，…的前n项和为Sn，且Sn>0，则n的最大值为________．
答案　(1)C　(2)16
解析　(1)法一　由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7>0，a8<0，故n＝7时Sn最大．
法二　由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n.根据二次函数的性质，知当n＝7时Sn最大．
(2)等差数列的首项为a1＝16，公差d＝－2，
Sn＝16n＋×(－2)＝－n2＋17n，
由Sn>0，即－n2＋17n>0，解得0∴n的最大值为16.
感悟升华　求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；
(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；
(3)等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，若A≠0，可看作二次函数，根据二次函数的性质求最值．
【训练4】 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1>0且＝，则当Sn取最大值时，n的值为(　　)
A．9 B．10 C．11 D．12
(2)已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，若Sn存在最大值，则在S1，，，…，中最大的数是(　　)
A．S1 B.
C. D．无法确定
答案　(1)B　(2)A
解析　(1)由＝，得S11＝S9，即a10＋a11＝0，根据首项a1＞0可推知这个数列递减，从而a10＞0，a11＜0，故n＝10时，Sn最大．
(2)由题意可知数列{an}是等差数列，且前n项和Sn存在最大值，∴公差d<0，＝n＋a1－在定义域上是单调递减函数，∴S1最大．
基础巩固题组
一、选择题
1．(2021·温州适应性测试)设Sn是等差数列{an}的前n项和，且S4＝a4＋3，则a2＝(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案　C
解析　因为数列{an}为等差数列，所以S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a4＋3，则a1＋a2＋a3＝3a2＝3，解得a2＝1，故选C.
2．(2021·名校仿真训练一)设Sn为等差数列{an}的前n项和．若S5＝25，a3＋a4＝8，则{an}的公差为(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案　A
解析　根据题意等差数列{an}中，若S5＝25，即a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝25，则a3＝5，又由a3＋a4＝8，则a4＝3，则等差数列{an}的公差d＝a4－a3＝3－5＝－2，故选A.
3．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为(　　)
A．13 B．12 C．11 D．10
答案　A
解析　因为a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，
a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，
又因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，
所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an＝60，
所以Sn＝＝＝390，即n＝13.
4．(2021·名校仿真训练二)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设等差数列{an}的公差为d，则由＝＝，得a1＝2d，则＝＝，故选C.
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13>0，S14<0，则Sn取最大值时n的值为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．13
答案　B
解析　根据S13>0，S14<0，可以确定a1＋a13＝2a7>0，a1＋a14＝a7＋a8<0，所以可以得到a7>0，a8<0，所以Sn取最大值时n的值为7，故选B.
6．在等差数列{an}中，若<－1，且其前n项和Sn有最小值，则当Sn>0时，n的最小值为(　　)
A．14 B．15 C．16 D．17
答案　C
解析　∵数列{an}是等差数列，它的前n项和Sn有最小值，∴公差d>0，首项a1<0，{an}为递增数列，∵<－1，∴a8·a9<0，a8＋a9>0，由等差数列的性质知2a8＝a1＋a15<0，a8＋a9＝a1＋a16>0.∵Sn＝，∴当Sn>0时，n的最小值为16.
二、填空题
7．(2018·上海卷)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝0，a6＋a7＝14，则S7＝________．
答案　14
解析　a6＋a7＝2a1＋11d＝14，a3＝a1＋2d＝0，∴d＝2，a4＝2，S7＝7a4＝14.
8．(2021·名校仿真训练三)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝5，S3＝12，则公差d＝________，通项公式an＝________．
答案　1　n＋2
解析　由S3＝12，得3a2＝12，即a2＝4，又a3＝5，则d＝a3－a2＝1，故通项公式an＝a2＋(n－2)d＝n＋2.
9．(2019·北京卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为________．
答案　0　－10
解析　设首项为a1, 公差为d，
∵a2＝a1＋d＝－3，S5＝5a1＋10d＝－10，
∴a1＝－4，d＝1，∴a5＝a1＋4d＝0，
∴an＝a1＋(n－1)d＝n－5.
令an≤0，则n≤5，即数列{an}中前4项为负，a5＝0，第6项及以后为正．
∴Sn的最小值为S4＝S5＝－10.
10．已知等差数列{an}中，a1＋a3＝7，设其前n项和为Sn，且S4＝S6，则其公差d＝________，其前n项和Sn取得最大值时n＝________．
答案　－1　5
解析　由S4＝S6，知a5＋a6＝0，则有
解得所以an＝＋(n－1)×(－1)＝－n.由－n≥0，得n≤，又n∈N*，所以当n＝5时，Sn取得最大值．
三、解答题
11．已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.
(1)求a及k的值；
(2)设数列{bn}的通项公式bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.
(1)解　设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，
由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，
所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k，
由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，
解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.
(2)证明　由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，
则bn＝＝n＋1，
故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，
即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，
所以Tn＝＝.
12．设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
解　(1)设{an}的公差为d.
因为a1＝－10，
所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d.
因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，
所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)．
所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d)．
解得d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－12.
(2)由(1)知，an＝2n－12.
则当n≥7时，an>0；
当n＝6时，an＝0；当n<6时，an<0；
所以Sn的最小值为S5＝S6＝－30.
能力提升题组
13．(2021·山水联盟考试)已知{an}为等差数列，且ln a2＝2a1＋a3，则(　　)
A．|a1|<|a2|且|a3|<|a4|
B．|a1|<|a2|且|a3|>|a4|
C．|a1|>|a2|且|a3|<|a4|
D．|a1|>|a2|且|a3|>|a4|
答案　C
解析　因为数列{an}是等差数列，设公差为d，且ln a2＝2a1＋a3，所以3a2－d＝ln a2≤a2－1，则d≥2a2＋1.因为a2>0，所以d>0，所以0|a2|，故选C.
14．如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则(　　)
A．{Sn}是等差数列 B．{S}是等差数列
C．{dn}是等差数列 D．{d}是等差数列
答案　A
解析　Sn表示点An到对面直线的距离(设为hn)乘以|BnBn＋1|长度的一半，即Sn＝hn|BnBn＋1|，由题目中条件可知|BnBn＋1|的长度为定值，过A1作垂线得到初始距离h1，那么A1，An和相应两个垂足构成直角梯形，则hn＝h1＋|A1An|sin θ(其中θ为两条线所成的锐角，为定值)，
从而Sn＝(h1＋|A1An|sin θ)|BnBn＋1|，
Sn＋1＝(h1＋|A1An＋1|sin θ)|BnBn＋1|，
则Sn＋1－Sn＝|AnAn＋1||BnBn＋1|sin θ为定值，
所以Sn＋1－Sn为定值，故选A.
15．(2021·湖州中学质检一)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若满足a1>0，且a4，a5是方程x2＋mx－1＝0(m∈R)的两根，则的取值范围是________，当n＝________时Sn最大．
答案　　4
解析　因为a4，a5是方程x2＋mx－1＝0的两根，所以a4a5＝－1，则a4与a5异号．又因为a1>0，所以a4>0，a5<0，则当n＝4时，等差数列{an}的前n项和Sn最大．设等差数列{an}的公差为d，则＝＝＝＝1－.因为6<10a＋6，所以＝1－∈.
16．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则满足an>0的最大n的值为________，满足SkSk＋1<0的正整数k＝________．
答案　6　12
解析　由题可得a6＝S6－S5>0，a7＝S7－S6<0，所以使得an>0的最大n的值为6.又a6＋a7＝S7－S5>0，则S11＝＝11a6>0，S12＝＝6(a6＋a7)>0，S13＝＝13a7<0，因为{an}是递减的等差数列，所以满足SkSk＋1<0的正整数k＝12.
17．(2021·温州调研)已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，an＋1＝1－，bn＝，其中n∈N*.求证：数列{bn}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式．
解　∵bn＋1－bn＝－
＝－＝－＝2，
∴数列{bn}是公差为2的等差数列，
又b1＝＝2，∴bn＝2＋(n－1)×2＝2n，
∴2n＝，解得an＝.
18．(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.
(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；
(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
解　(1)设{an}的公差为d.
由S9＝－a5得9a1＋d＝－(a1＋4d)，
即a1＋4d＝0.
由a3＝4得a1＋2d＝4.
于是a1＝8，d＝－2.
因此{an}的通项公式为an＝10－2n.
(2)由(1)得a1＝－4d，
故an＝(n－5)d，Sn＝.
由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于≤n－5，
即n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，
所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．
本资料分享自新人教版高中数学资源大全QQ群483122854 期待你的加入与分享

展开更多......

收起↑