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第1节　空间几何体的结构、三视图和直观图
知 识 梳 理
1．简单多面体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等且平行的多边形；
(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形；
(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形．
2．旋转体的形成
几何体 旋转图形 旋转轴
圆柱 矩形 任一边所在的直线
圆锥 直角三角形 任一直角边所在的直线
圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线
球 半圆 直径所在的直线
3.三视图
(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．
(2)三视图的画法
①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．
②在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．
4．直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
1．常见旋转体的三视图
(1)球的三视图都是半径相等的圆．
(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．
(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．
(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．
2．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点．
3．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．
4．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法．
诊 断 自 测
1．判断下列说法的正误．
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　　)
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　　)
(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(　　)
(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
解析　(1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱．
(2)反例：如图所示图形不是棱锥．
(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，把x，y轴画成相交成45°或135°，平行于x轴的线还平行于x轴，平行于y轴的线还平行于y轴，所以∠A也可能为135°.
(4)球的三视图均相同，而圆锥的正视图和侧视图相同，且为等腰三角形， 其俯视图为圆心和圆，正方体的三视图不一定相同．
2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是(　　)
A．圆柱 B．圆锥 C．四面体 D．三棱柱
答案　A
解析　由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形．
3.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)
答案　B
解析　先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧视图．由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧视图为图②.
4．(2018·上海卷)《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是(　　)
A．4 　　　B．8
C．12 　　　D．16
答案　D
解析　符合题目条件的面有四个，每一个都有4个顶点，所以选择D.
5.正△AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是________．
答案　a2
解析　画出坐标系x′O′y′，作出△OAB的直观图O′A′B′(如图)．D′为O′A′的中点．易知D′B′＝DB(D为OA的中点)，
∴S△O′A′B′＝×S△OAB＝×a2＝a2.
6．(2021·北京平谷区质检)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为________个．
答案　4
解析　由三视图知几何体为一四棱锥，其直观图为如图中的P－ABCD；由图得：该棱锥的四个侧面均为直角三角形，故该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为4个.
考点一　空间几何体的结构特征
【例1】 (1)给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)以下命题：下列说法不正确的是(　　)
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
C．存在每个面都是直角三角形的四面体
D．棱台的侧棱延长后交于一点
答案　(1)A　(2)A
解析　(1)①不一定，只有当这两点的连线平行于旋转轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．
(2)A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；C正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；D正确，由棱台的概念可知．
感悟升华　(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．
(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．
(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．
【训练1】 (1)下列结论正确的是(　　)
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
(2)(2020·全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　(1)D　(2)C
解析　(1)如图1知，A不正确．如图2，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确．
若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误．由圆锥母线的概念知，选项D正确．
(2)设正四棱锥的底面正方形的边长为a，高为h，侧面三角形底边上的高(斜高)为h′.由已知得h2＝ah′.
又∵h′2＝h2＋，∴h′2＝ah′＋a2，
∴－·－＝0，解得＝(负值舍去)．
故选C.
考点二　空间几何体的三视图
角度1　由空间几何体的直观图判断三视图
【例2－1】 一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是(　　)
答案　B
解析　该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选项B适合．
角度2　由三视图判定几何体
【例2－2】 (1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(　　)
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
(2)(2020·全国Ⅱ卷)如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为(　　)
A．E 　　B．F
C．G 　　D．H
答案　(1)B　(2)A
解析　(1)由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B.
(2)由三视图还原几何体，如图所示，由图可知，M点在侧视图中对应的点为E.
感悟升华　(1)由实物图画三视图或判断选择三视图，按照“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点确认．
(2)根据三视图还原几何体
①对柱、锥、台、球的三视图要熟悉．
②明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图．
③根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
提醒　对于简单组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同．
【训练2】 (1)(2020·浙江五校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最短的棱与最长的棱长度之比是(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2021·北京丰台区期末)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中最长的棱的长度为(　　)
A．2 B. C．2 D．2
答案　(1)B　(2)D
解析　(1)由三视图知，此几何体的底面ABCD为矩形，且顶点P在底面ABCD上的射影为边CD的靠近点D的三等分点，如图，由俯视图知AB＝3，BC＝2，DH＝1，由侧视图知PH＝1，
则最长棱PB＝＝3，最短棱PD＝＝，所以＝，故选B.
(2)由三视图可知，该三棱锥的底面是直角梯形，一条侧棱与底面垂直，直观图如图，图中PA与底面垂直，且AD∥BC，AD⊥AB，PA＝AB＝BC＝2AD＝2，由勾股定理可得PD＝CD＝，PB＝2，PC＝＝2，所以最长的棱为2.
考点三　空间几何体的直观图
【例3】 已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．
答案　
解析　如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图：
因为OE＝＝1，
所以O′E′＝，E′F＝，
则直观图A′B′C′D′的面积S′＝×＝.
感悟升华　(1)画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握．对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量．
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝S原图形．
【训练3】 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．
答案　2＋
解析　如图1，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E.
在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝.
又四边形AECD为矩形，AD＝EC＝1.
∴BC＝BE＋EC＝＋1.
由此还原为原图形如图2所示，是直角梯形A′B′C′D′.
在梯形A′B′C′D′中，A′D′＝1，B′C′＝＋1，A′B′＝2.
∴这块菜地的面积S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′＝××2＝2＋.
基础巩固题组
一、选择题
1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是(　　)
A．棱柱的侧棱长都相等
B．棱锥的侧棱长都相等
C．三棱台的上、下底面是相似三角形
D．有的棱台的侧棱长都相等
答案　B
解析　根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．
2．将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)
答案　D
解析　易知侧视图的投影面为矩形，又AF的投影线为虚线，即为左下角到右上角的对角线，∴该几何体的侧视图为选项D.
3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　)
答案　A
解析　由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.
4．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，且它的正视图如图所示，则该四棱锥侧视图的面积是(　　)
A．4 B．4
C．2 D．2
答案　C
解析　由四棱锥P－ABCD的正视图可知，四棱锥的正视图是一个高为2，底边长为2的等腰三角形，又因为四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，所以四棱锥的侧视图是一个高为2，底边长为2的等腰三角形，所以侧视图的面积为×2×2＝2.故选C.
5．6个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图不可能为(　　)
答案　D
解析　如图(1)所示，A正确；如图(2)所示，B正确；如图(3)所示，C正确．故选D.
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为(　　)
A．6 B．4 C．6 D．4
答案　C
解析　如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A－BCD，最长的棱为AD＝＝6.
7．某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形，则在下图的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是(　　)
A．①③ B．①④ C．②④ D．①②③④
答案　A
解析　由正视图和侧视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故①③正确．
8．(2021·北京昌平区二模)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为(　　)
A. B．2 C．2 D．3
答案　D
解析　根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个直角梯形，AD⊥AB、AD∥BC，AD＝AB＝2，BC＝1，PA⊥底面ABCD，且PA＝2，∴该四棱锥最长棱的棱长为PC＝＝＝3.
二、填空题
9．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于________．
答案　
解析　由题知此正方体的正视图与侧视图是一样的，正视图的面积与侧视图的面积相等为.
10．直观图(如图)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在原坐标系xOy中四边形为________(填图形形状)；面积为________cm2.
答案　矩形　8
解析　将直观图恢复到平面图形(如图)，是OA＝2 cm，OC＝4 cm的矩形，SOABC＝2×4＝8(cm2)．
11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为________．
答案　
解析　由三视图可知几何体为如图所示的三棱锥P－ABC，其最长棱为AC＝＝.
12．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中三个梯形的面积之和为________．
答案　46
解析　由三视图可知，该几何体的直观图如图五面体，其中平面ABCD⊥平面ABEF，CD＝2，AB＝6，EF＝4，底面梯形是等腰梯形，高为3，梯形ABCD的高为4，等腰梯形EFDC的高为＝5，三个梯形的面积之和为×4＋×3＋×5＝46.
13．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点M是棱BC的中点，点P在底面ABCD内，点Q在线段A1C1上，若PM＝1，则PQ长度的最小值为________．
答案　
解析　由题意得，过点Q作QN⊥平面ABCD，垂足为N，
则点N在线段AC上，分别连接PQ，PN，
在Rt△PNQ中，
PQ＝＝，
在平面ABCD内过点M作MR⊥AC，垂足为R，则MR＝2，即M到直线AC的最短距离为2，
又PM＝1，当P∈MR时，此时PNmin＝MR－1＝1，
所以PQmin＝＝.
14．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有________对．
答案　4
解析　由三视图的特征，将俯视图拉伸得四棱锥A－BCDE，且顶点A在底面BCDE上的射影为棱BC的中点O，又底面BCDE为矩形，则侧面ABC⊥底面BCDE，侧面ABE⊥侧面ABC，侧面ACD⊥侧面ABC；又因为AC＝AB＝2，BC＝4，即AB⊥AC，则由CD⊥侧面ABC，知CD⊥AB，故AB⊥侧面ACD，故侧面ABE⊥侧面ACD.因此此几何体中共有4对平面互相垂直．
能力提升题组
15．在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，给出编号①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(　　)
A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②
答案　D
解析　如图，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④，俯视图为②.
16．(2021·杭州市高级中学仿考)已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)
答案　A
解析　根据四棱锥的正视图和俯视图在棱长为2的正方体内画出该四棱锥的直观图P－ABCD如图所示，则该四棱锥的侧视图为A中的图形，故选A.
17.(2021·北京房山区一模)某三棱锥的三视图如图所示，正视图与侧视图是两个全等的等腰直角三角形，直角边长为1，俯视图是正方形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是(　　)
A. 　　　B.
C. 　　　D．1
答案　C
解析　该多面体为一个三棱锥D－ABC，是正方体的一部分，如图所示，其中3个面是直角三角形，1个面是等边三角形，S△BCD＝×()2＝，S△BAD＝S△ACD＝×1×＝，S△BCA＝×1×1＝，所以该三棱锥的四个面的面积中最大的是.
18．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为________．
答案　a2
解析　如图，过C′作y′轴的平行线C′D′，与x′轴交于点D′.
则C′D′＝＝a.
又C′D′是原△ABC的高CD的直观图，所以CD＝a.
故S△ABC＝AB·CD＝a2.
19．(2020·全国Ⅰ卷)如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝________．
答案　－
解析　在△ABD中，∵AB⊥AD，AB＝AD＝，
∴BD＝，∴FB＝BD＝.
在△ACE中，∵AE＝AD＝，AC＝1，∠CAE＝30°，
∴EC＝＝1，
∴CF＝CE＝1.
又∵BC＝＝＝2，
∴在△FCB中，由余弦定理得
cos∠FCB＝＝＝－.
20．(2020·新高考山东卷)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为__________．
答案　
解析　如图，
设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，连接DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD为等边三角形，∴D1B1＝DB＝2，∴△D1B1C1为等边三角形，则D1E＝且D1E⊥平面BCC1B1，∴E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为r，则r＝＝＝.
可得EP＝EQ＝，∴球面与侧面BCC1B1的交线为以E为圆心的圆弧PQ.又D1P＝，
∴B1P＝＝1，同理C1Q＝1，
∴P，Q分别为BB1，CC1的中点，∴∠PEQ＝，
知的长为×＝.
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