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第3节　空间点、直线、平面之间的位置关系
知 识 梳 理
1．平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
(2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2．空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线 直线与平面 平面与平面
平行关系 图形 语言
符号 语言 a∥b a∥α α∥β
相交关系 图形 语言
符号 语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l
独有关系 图形 语言
符号 语言 a，b是异面直线 a α
3.平行公理(公理4)和等角定理
平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
4．异面直线所成的角
(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：．
1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．
2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．
3．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．
诊 断 自 测
1．判断下列说法的正误．
(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　　)
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　　)
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　)
(4)若直线a不平行于平面α，且a α，则α内的所有直线与a异面．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
解析　(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误．
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误．
(4)由于a不平行于平面α，且a α，则a与平面α相交，故平面α内有与a相交的直线，故错误．
2．(必修2P52B1(2)改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案　C
解析　连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.
3．在下列命题中，不是公理的是(　　)
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
答案　A
解析　选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的．
4．已知直线a，b分别在两个不同的平面α ，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由题意知a α，b β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．
5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．
答案　b与α相交或b∥α或b α
6．如图所示，平面α，β，γ两两相交，a，b，c为三条交线，且a∥b，则a与c的位置关系是________；b与c的位置关系是________．
答案　a∥c　b∥c
考点一　平面的基本性质及应用
【例1】 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
证明　(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B.
又A1B∥CD1，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面．
(2)∵EF∥CD1，EF∴CE与D1F必相交，
设交点为P，
则由P∈CE，CE 平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点．
感悟升华　(1)证明线共面或点共面的常用方法
①直接法，证明直线平行或相交，从而证明线共面．
②纳入平面法，先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．
③辅助平面法，先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
(2)证明点共线问题的常用方法
①基本性质法，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上．
②纳入直线法，选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．
【训练1】 如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綉AD，BE綉FA，G，H分别为FA，FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
(1)证明　由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綉AD.又BC綉AD，
∴GH綉BC，
∴四边形BCHG为平行四边形．
(2)解　∵BE綉AF，G为FA的中点，∴BE綉FG，
∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．
考点二　判断空间两直线的位置关系
【例2】 (1)(一题多解)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
(2)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．
答案　(1)D　(2)②④
解析　(1)法一　由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．
若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾．
故l至少与l1，l2中的一条相交．
法二　如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．
(2)在图①中，直线GH∥MN；
在图②中，G，H，N三点共面，但M 平面GHN，N GH，因此直线GH与MN异面；
在图③中，连接GM，GM∥HN，因此GH与MN共面；
在图④中，G，M，N共面，但H 平面GMN，G MN，
因此GH与MN异面．所以在图②④中GH与MN异面．
感悟升华　(1)异面直线的判定方法
①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．
②定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
(2)点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．
【训练2】 (1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是(　　)
A．MN与CC1垂直
B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行
D．MN与A1B1平行
(2)已知a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；②若b M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确的为(　　)
A．①④ B．②③ C．③④ D．①②
答案　(1)D　(2)A
解析　(1)如图，连接C1D，
在△C1DB中，MN∥BD，故C正确；
∵CC1⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴CC1⊥BD，
∴MN⊥CC1，故A正确；
∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN⊥AC，故B正确；
∵A1B1与BD异面，MN∥BD，
∴MN与A1B1不可能平行，故选项D错误．
(2)对于①，当a∥M，b∥M时，则a与b平行、相交或异面，①为真命题．②中，b M，a∥b，则a∥M或a M，②为假命题．命题③中，a与b相交、平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质知命题④为真命题，所以①，④为真命题．
考点三　异面直线所成的角
【例3】 (1)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．
(2)已知平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　(1)60°　(2)A
解析　(1)取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE，
在Rt△AB1E中，∠AB1E为异面直线AB1与BD所成的角．
设AB＝1，则A1A＝，AB1＝，B1E＝，∴cos∠AB1E＝＝，故∠AB1E＝60°.
(2)根据平面与平面平行的性质，将m，n所成的角转化为平面CB1D1与平面ABCD的交线及平面CB1D1与平面ABB1A1的交线所成的角．设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.
∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.
又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，
∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m.
∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可证CD1∥n.
因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角．
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，
故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为.
感悟升华　(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．
(2)求异面直线所成角的三个步骤
①作：通过作平行线，得到相交直线的夹角．
②证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角．
③求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
【训练3】 (2021·台州期末评估)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　法一　如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角(或其补角)．因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，
AD1＝＝2，
DM＝＝，
DB1＝＝.所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝，于是在△DMO中，由余弦定理，
得cos∠MOD＝＝，即异面直线
AD1与DB1所成角的余弦值为.
法二　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．由条件可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，)，B1(1，1，)，所以＝(－1，0，)，＝(1，1，)．则cos〈，〉＝＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.
基础巩固题组
一、选择题
1．已知l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则(　　)
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
答案　A
解析　直线l1，l2是异面直线，一定有l1与l2不相交，因此p是q的充分条件；若l1与l2不相交，那么l1与l2可能平行，也可能是异面直线，所以p不是q的必要条件．故选A.
2．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a α，a β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是(　　)
A．相交或平行 B．相交或异面
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
答案　D
解析　依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.
3．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面．其中正确的序号是(　　)
A．① B．①④ C．②③ D．③④
答案　B
解析　显然命题①正确．
由于三棱柱的三条平行棱不共面，②错．
命题③中，两个平面重合或相交，③错．
三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④正确．
4．已知a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　　)
A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面
B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交
C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等
D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c
答案　C
解析　若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　连接DF，则AE∥DF，
∴∠D1FD为异面直线AE与D1F所成的角或其补角．
设正方体棱长为a，
则D1D＝a，DF＝a，D1F＝a，
∴cos∠D1FD＝＝.
6．(2021·镇海中学模拟)设m，n是两条异面直线，则下列命题中正确的是(　　)
A．过m且与n垂直的平面有且只有一个
B．过m且与n平行的平面有且只有一个
C．过空间一点P与m，n都平行的平面有且只有一个
D．过空间一点P与m，n都垂直的平面有且只有一个
答案　B
解析　当直线m与直线n不垂直时，不存在过直线m的平面与直线n垂直，故A错误；过直线m上一点作直线n的平行线l，则过直线l和直线m的平面α与直线n平行，故B正确；当点P在B所述的平面α内时，此时不存在平面与直线m，n都平行，故C错误；因为m，n为异面直线，所以不存在平面与直线m，n都垂直，故D错误．综上所述，故选B.
二、填空题
7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则：
(1)直线BN与MB1是________直线(填“相交”或“平行”或“异面”)；
(2)直线MN与AC所成的角的大小为________．
答案　(1)异面　(2)60°
解析　(1)M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N 平面MBB1，B MB1，因此直线BN与MB1是异面直线．(2)连接D1C，因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60°.
8．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．
答案　4
解析　取CD的中点H，连接EH，FH.在正四面体CDEF中，由于CD⊥EH，CD⊥HF，且EH∩FH＝H，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，则平面EFH与正方体的左右两侧面平行，则EF也与之平行，与其余四个平面相交．
9．(2020·全国Ⅰ卷改编)设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p4：若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则上述命题中的真命题是________(只填代号)．
答案　p1，p4
解析　p1是真命题，两两相交不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知p1为真命题；p2是假命题，因为空间三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；p3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；p4是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线．
10．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为________．
答案　
解析　如图所示，取BC中点D，连接MN，ND，AD.
∵M，N分别是A1B1，A1C1的中点，
∴MN綉B1C1.又BD綉B1C1，
∴MN綉BD，则四边形BDNM为平行四边形，因此ND∥BM，
∴∠AND为异面直线BM与AN所成的角(或其补角)．
设BC＝2，则BM＝ND＝，AN＝，AD＝，
在△ADN中，由余弦定理得
cos∠AND＝＝.
故异面直线BM与AN所成角的余弦值为.
三、解答题
11.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：
(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；
(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．
解　(1)AM，CN不是异面直线．理由：连接MN，A1C1，AC.
因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.
又因为A1A綉C1C，所以四边形A1ACC1为平行四边形，
所以A1C1∥AC，
所以MN∥AC，
所以A，M，N，C在同一平面内，
故AM和CN不是异面直线．
(2)直线D1B和CC1是异面直线．
理由：因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，
则存在平面α，使D1B 平面α，CC1 平面α，
所以D1，B，C，C1∈α，
这与B，C，C1，D1不共面矛盾．所以假设不成立，
即D1B和CC1是异面直线．
12.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：
(1)三棱锥P－ABC的体积；
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．
解　(1)S△ABC＝×2×2＝2，
三棱锥P－ABC的体积为
V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.
(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)．
在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，
则cos∠ADE＝＝.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.
能力提升题组
13．以下四个命题中，
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　B
解析　①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确．②从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．
14．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
答案　D
解析　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA.若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.
若取C1D为l4，则l1与l4相交；若取BA为l4，则l1与l4异面；取C1D1为l4，则l1与l4相交且垂直．
因此l1与l4的位置关系不能确定．
15．如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为________．
答案　
解析　取DE的中点H，连接HF，GH.由题设，HF綉AD.
∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角)．
可求得HF＝，
GF＝GH＝，∴cos∠HFG＝＝.
16．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2.
(1)设圆锥的母线长为4，则圆锥的体积为________；
(2)设PO＝4，OA，OB是底面半径，且∠AOB＝90°，M为线段AB的中点，如图，则异面直线PM与OB所成的角的正切值为________．
答案　(1)π　(2)
解析　(1)易得圆锥的高为2，则V＝×4π×2＝π.
(2)取OA中点为N，即求∠PMN，MN＝1，PN＝，所成角大小的正切值为.
17.如图，三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，求异面直线AN，CM所成的角的余弦值．
解　如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.
∵M为AD的中点，∴MK∥AN，
∴∠KMC为异面直线AN，CM所成的角(或其补角)．
∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N为BC的中点，由勾股定理求得AN＝DN＝CM＝2，
∴MK＝.
在Rt△CKN中，CK＝＝.
在△CKM中，由余弦定理，得
cos∠KMC＝＝.
故异面直线AN，CM所成角的余弦值为.
18.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．
(1)求四棱锥O－ABCD的体积；
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值．
解　(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，
所以四棱锥O－ABCD的体积
V＝×4×2＝.
(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA中点，∴ME∥OC，
则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE＝，EM＝，MD＝，
∵()2＋()2＝()2，
∴△DEM为直角三角形，
∴tan∠EMD＝＝＝.
∴异面直线OC与MD所成角的正切值为.
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