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2022年番禺区九年级数学综合测试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．实数2022的相反数是（　　）
A．2202 B．﹣2022 C． D．
2．如图，a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．150°
3．下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．2021年5月15日，我国首个火星探测器“天问一号”经过470000000公里旅程成功着陆在火星上，从此，火星上留下中国的脚印，同时也为我国的宇宙探测之路迈出重要一步，将470000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A=80°，则∠C的度数是（　　）
A．100° B．90° C．120° D．80°
7．在一个不透明的袋子里，有2个黑球和1个白球，除了颜色外全部相同，随机取出两个球，取出1个黑球1个白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．已知的图象如图所示，对称轴为直线．若，是一元二次方程的两个根，且，，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12cm，EF=16cm，则边AD的长是（　　）
A．12cm B．16cm C．20cm D．28cm
10．如本题图①，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA－PE=y，图②是点P运动时y随x变化的图像，则BC的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．分解因式：____________．
12．分式方程的解为____________．
13．点P（m，2）在第二象限内，则m的值可以是____________（写出一个即可）．
14．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为____________．
15．已知一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，若，则____________（填“<”或“>”或“=”）．
16．如图，将 ABCD绕点A逆时针旋转到 A'B'C'D'的位置，使点B' 落在BC上，B'C'与CD交于点E．若AB=3，BC=4，BB'=1，则CE的长为____________．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（4分）
解不等式组：
18．（4分）
如图，已知AB=DC，∠A=∠D，AC与DB相交于点O．
求证：∠OBC=∠OCB．
19．（6分）
先化简，在求值：，其中．
20．（6分）
第24届冬季奥林匹克运动会于2月20日在北京圆满闭幕，这是新冠肺炎疫情发生以来首次如期举办的全球综合性体育盛会，中国队取得奖牌榜历史最好成绩，某中学开展以“我最喜欢的冬奥会项目”为主题的调查活动，围绕“在冰壶、花样滑冰、自由式滑雪、短道速滑四种奥运项目中，你最喜欢哪一种 （必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢短道速滑的学生人数占参加问卷调查人数的20%．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，参与问卷调查的学生有多少名？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若该校共有1200名学生，请你估计该校最喜欢自由式滑雪的学生约有多少名？
21．（8分）
如图，在 OABC中，点O为坐标顶点，点，，反比例函数的图象经过定C．
（1）求k的值及直线OB的函数表达式；
（2）试探究此反比例函数的图象是否经过 OABC的中心．
22．（10分）
如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，点E是AC的中点，且AC=AD．
尺规作图：作∠CAD的平分线AF，交CD于点F，连接EF，BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）所作的图中，若∠BAD=45°，且∠CAD=2∠BAC，AC=2．判断△BEF的形状，并说明理由，再求出其面积．
23．（10分）
如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（BO＞DO），OE⊥AB，垂足为E，以OE为半径的⊙O分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若G是OF的中点，OG=2，DG=1．
①求的长；
②求AD的长．
24．（12分）
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'B'C'，其中点A，C的对应点分别为点A'，C'．
（1）如图①，当点A' 落在AC的延长线上时，求AA' 的长；
（2）如图②，当点C' 落在AB的延长线上时，连接CC'，交A'B于点M，求BM的长；
（3）如图③，连接AA'，CC'，直线CC' 交AA'于点D，点E为AC的中点，连接DE．在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由．
25．（12分）
如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC，BC，BD，CD．
（1）求b的值；
（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．
若∠CQD =∠ACB，求点P的坐标；
（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长（不必说明理由）．2022年番禺区九年级数学综合测试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．实数2022的相反数是（　　）
A．2202 B．﹣2022 C． D．
考点：相反数的定义
答案：B
2．如图，a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．150°
考点：同位角、邻补角
答案：C
3．下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
考点：轴对称图形、中心对称图形
答案：D
4．2021年5月15日，我国首个火星探测器“天问一号”经过470000000公里旅程成功着陆在火星上，从此，火星上留下中国的脚印，同时也为我国的宇宙探测之路迈出重要一步，将470000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
考点：科学记数法
答案：C
5．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
考点：整式运算、二次根式运算
答案：B
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A=80°，则∠C的度数是（　　）
A．100° B．90° C．120° D．80°
考点：圆内接四边形对角互补
答案：A
7．在一个不透明的袋子里，有2个黑球和1个白球，除了颜色外全部相同，随机取出两个球，取出1个黑球1个白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
考点：概率、画树状图
答案：C
8．已知的图象如图所示，对称轴为直线．若，是一元二次方程的两个根，且，，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
考点：二次函数与一元二次方程
答案：B
9．如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12cm，EF=16cm，则边AD的长是（　　）
A．12cm B．16cm C．20cm D．28cm
考点：折叠勾股定理，思考FH和AD的关系，两角平分线相遇可得∠HEF的度数是90°
答案：C
10．如本题图①，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA－PE=y，图②是点P运动时y随x变化的图像，则BC的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
考点：数形结合；勾股定理
解析：当x=0时，即BP=0，此时AB=AP，PE=BE=，设AP为m，所以m－PE=1，故BE==PE=m－1；由图②可得y最大值是5，相当于点P刚好在点E处，此时PA=AE=5，PE=0。所以,，可得，故
答案：C
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．分解因式：____________．
考点：因式分解
答案：
12．分式方程的解为____________．
考点：解分式方程
答案：
13．点P（m，2）在第二象限内，则m的值可以是____________（写出一个即可）．
考点：象限符号
答案：﹣1
14．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为____________．
考点：扇形面积公式、120°等腰三角形三边关系，，
答案：
15．已知一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，若，则____________（填“<”或“>”或“=”）．
考点：根的判别式，反比例函数图像性质
答案：<
16．如图，将 ABCD绕点A逆时针旋转到 A'B'C'D'的位置，使点B' 落在BC上，B'C'与CD交于点E．若AB=3，BC=4，BB'=1，则CE的长为____________．
考点：二次相似三角形；
解析：△ABB'∽△ADD'，可得DD'=，C'D=3－=故在B'E上取点F，且B'F=B'C=3，可得△ABB'≌△B'CF，故CF=BB'=1，∵∠B'FC=∠B'CF，∠ABB'=∠B'CF，∴∠B'FC=∠ABB'，∵∠ABB'+∠BCD=180°，∠BCD=∠B'C'D'，∴∠ABB'+∠B'C'D'=180°，∵∠B'FC+∠EFC=180°，∴∠EFC=∠B'C'D'，∴∠CD∥CF，∴△CFE∽△DC'E，
，可得
答案：
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（4分）
解不等式组：
考点：解不等式组
答案：
18．（4分）
如图，已知AB=DC，∠A=∠D，AC与DB相交于点O．
求证：∠OBC=∠OCB．
考点：全等三角形
答案：
∵AB=DC，∠A=∠D，∠AOB=∠DOC
∴△AOB≌△DOC
∴BO=CO
∴∠OBC=∠OCB．
19．（6分）
先化简，在求值：，其中．
考点：因式分解、二次根式化简
答案：
将代入得：
20．（6分）
第24届冬季奥林匹克运动会于2月20日在北京圆满闭幕，这是新冠肺炎疫情发生以来首次如期举办的全球综合性体育盛会，中国队取得奖牌榜历史最好成绩，某中学开展以“我最喜欢的冬奥会项目”为主题的调查活动，围绕“在冰壶、花样滑冰、自由式滑雪、短道速滑四种奥运项目中，你最喜欢哪一种 （必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢短道速滑的学生人数占参加问卷调查人数的20%．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，参与问卷调查的学生有多少名？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若该校共有1200名学生，请你估计该校最喜欢自由式滑雪的学生约有多少名？
考点：条形统计图
答案：
（1）名
（2）如图所示
（3）
名
21．（8分）
如图，在 OABC中，点O为坐标顶点，点，，反比例函数的图象经过定C．
（1）求k的值及直线OB的函数表达式；
（2）试探究此反比例函数的图象是否经过 OABC的中心．
考点：反比例函数
答案：
（1）k=2，点B坐标是（4,2），直线OB解析式是：
（2） OABC的中心就是OB中点坐标（2,1），将x=2代入可得y=1，故反比例函数的图象经过 OABC的中心
22．（10分）
如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，点E是AC的中点，且AC=AD．
尺规作图：作∠CAD的平分线AF，交CD于点F，连接EF，BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）所作的图中，若∠BAD=45°，且∠CAD=2∠BAC，AC=2．判断△BEF的形状，并说明理由，再求出其面积．
考点：尺规作图，外角性质，中线定理
答案：
（1）如图所示
（2）∵∠BAD=45°，且∠CAD=2∠BAC
∴∠BAC=∠FAC=∠DAF=15°
∴∠BAF=30°
∵AC=AD，AF是∠CAD的平分线
∴AF⊥CD
∵点E是AC的中点
∴
∵∠ABC=90°
∴
∴
∠BEC=∠BAE+∠ABE=2∠BAE=30°，∠FEC=∠FAE+∠AFE=2∠FAE=30°
∴∠BEF=60°
∴△BEF是等边三角形
23．（10分）
如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（BO＞DO），OE⊥AB，垂足为E，以OE为半径的⊙O分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若G是OF的中点，OG=2，DG=1．
①求的长；
②求AD的长．
考点：菱形、圆的切线证明、勾股定理，锐角三角形函数
答案：
（1）证：作OP⊥BC
易证△OEB≌△OPB
∴OP=OE
∴BC是⊙O的切线
（2）①OF=2OG=4，OH=OF=4，
∵OE⊥AB，AB∥CD
∴OF⊥CD
在Rt△OHG中，
∴
∴
∴的长是：
②过点D作DQ⊥AB
易证△DGO∽△BEO
可得：，
易证四边形DGEQ是矩形，∴EQ=DG=1，所以BQ=3
设AD为x
在Rt△ADQ中，
，解得
∴AD长是
24．（12分）
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'B'C'，其中点A，C的对应点分别为点A'，C'．
（1）如图①，当点A' 落在AC的延长线上时，求AA' 的长；
（2）如图②，当点C' 落在AB的延长线上时，连接CC'，交A'B于点M，求BM的长；
（3）如图③，连接AA'，CC'，直线CC' 交AA'于点D，点E为AC的中点，连接DE．在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由．
考点：旋转、勾股定理、动点轨迹问题
参考答案：
（1）思考△AA'B是等腰三角形，BC⊥AC，AC=4，则AA' =8
（2）过点C作CE∥BM，∵∠A'BC'=∠ABC，∴∠ABC=∠CEB，∴CB=CE=3，
过点C作CF⊥AC，易求CF=，利用勾股定理可得EF=BF=，∴，
易证△C'MB∽C'CE，,
（3）DE最小值是1
点D的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆
25．（12分）
如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC，BC，BD，CD．
（1）求b的值；
（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．
若∠CQD =∠ACB，求点P的坐标；
（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长（不必说明理由）．
考点：二次函数
参考答案：
（1）b=﹣4
（2）将y=0代入，得，将x-0代入，得y=3，∴点A（0,3），点B（4,3），易求点D（2，﹣1），那么,,，∴
∴BC⊥CD
易求直线BD解析式：
令y=0，得：，点E（，0）
当点P在点D右侧时，
∵，
∴
∵∠DCE=∠ABC=45°
∴△ABC∽△DCE
∴∠ACB=∠CED
∵∠CQD =∠ACB
∴∠CED=∠CQD，即点E即为点Q
则点P坐标是（3,0）
当点P在点D左侧时，
在BC上取一点M，使得AM=AC=
易证△ACM∽△CEQ2，
,
设点
解得，点
CQ2的解析式：
解得：∴点P()
综上，点P坐标是()和（3,0）
（3）或
思路：设点E（n，-3n+3）利用对称性，中点公式推出点F（），点G（）
再利用两点距离公式,求得或
故得到点G坐标是（1，5）或（1,8）
所以或

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