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三角恒等变换化简求值与精练
化简求值
(一) 三角函数式的化简
1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则
2．三角函数式化简的方法
(1).弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
(2).在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，通常利用正弦、余弦的二倍角公式，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
(3).化简标准：函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等．
【例1】.化简：________.
【解析】：原式＝＝＝
＝＝cos 2x.
【例2】.已知α为第二象限角，且tanα＋tan＝2tanα tan－2，则＝________.
【解析】：由已知可得，
因为α为第二象限角，所以，，
则＝
(二)　三角函数式的求值
三角函数求值的3种情况
(1)“给角求值”：一般给出的角都是非特殊角，从表面上看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角求解；
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数式的值，解题关键在于“变角”，使角相同或具有某种关系；
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一三角函数值，再求角的范围，确定角的度数．
① 给值求值
【例3】.已知，，则__________.
【解析】：因为， ,，
.
【例4】．已知，且，则＝________
【解答】：因为，整理可得2tan2α﹣5tanα+2＝0，
解得或，因为，所以．
【例5】．已知，则的值为_________.
【解答】：（法一）：因为，所以，
所以．
（法二）：换元法 设，则，，所以，
所以．
② 给角求值
【例6】.__________.
【解析】：
.
【例7】.=______________
【解析】：原式
。
③ 给值求角
【例8】.若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且，，则α＋β的值是_______
【解析】：因为，所以，又sin 2α＝，所以，，所以cos 2α＝－.又，所以，故cos(β－α)＝－，
所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2α·cos(β－α)－sin 2αsin(β－α)
，又，故α＋β＝.
【例9】.已知，，，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
【解析】：（1）因为，且
所以,所以
又因为,所以
（2）所以所以或
因为，所以，
又因为所以
因为，且所以
又因为所以所以
【解题归纳】
通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：
①已知正切函数值，则选正切函数．
②已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好．
③求解此类问题时，一定要注意所求角的范围及解题过程中角的范围．
(三) 三角恒等变换的应用
三角恒等变换的应用策略
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
(2)把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．
【例10】．已知函数．
（Ⅰ）求函数在上的单调递增区间；
（Ⅱ）若，，求cos2x的值．
【解答】：（I）
，
令：，因为，由，即，
因为：在的单调递增区间为，
所以，解得，所以函数在上为增，
（Ⅱ）因为，所以，
因为，所以，所以，
二、巩固练习
题型一：给角求值
1．若角的终边经过点，则
2．=
3．
4．
5．= .
6．______.
7．已知，则__________．
题型二：给值求值
8．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且，则________.
9．若，则
10．若，则
11．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0．618，这一数值也可表示为． 若，则__________．
12．若，则
13．若，则的值为 .
14．已知，则 .
15．若都是锐角，且，，则 .
16.已知，且，则= 。
17.已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．
18．已知，．（1）求的值；（2）求的值．
题型三：化简与证明
19．求值： .
20.求值：=
21．在数学解题中，时常会碰到形如“”的式子，它与“两角和的正切公式”的结构类似.若,是非零实数，且满足，则________.
22．求值
23．已知，则
24．等于
25．已知，化简：
26．
27．喷泉是流动的艺术，美妙绝伦的喷泉给人以无限的享受，若不考虑空气阻力，当喷泉水柱以与水平方向夹角为的速度喷向空气中时，水柱在水平方向上移动的距离为，能够达到的最高高度为（如图所示，其中为重力加速度）．若，则与的比值为　　．
28.某学习小组在一次研究性学习中发现,以下三个式子的值都等于同一个常数.
；
；
.
(1)求出这个常数；
(2)结合(1)的结果,将该小组的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.
29.《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大的正方形,如图.若图中直角三角形的两个锐角分别为α,β,且小正方形与大正方形的面积之比为9∶16,求的值.
30．设函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的集合；
（Ⅱ）若，且，求sin2α．
三、答案与解析
1．【解析】因为角的终边经过点，即角的终边过点，所以，
所以.
2．【解析】原式可化为．
3．【解析】.
4．【解析】
．
5.【解析】：
6.【解析】：因为，
所以，
所以原式
7.【解析】：由题可得 .
8.【解析】：由题意知，θ是第四象限角，所以，
所以
.
9．【解析】因为，所以，即，
10．【解析】由，则，得，得，得.
11．【解析】根据题意，且，，
化简.
【解析】，
.
13．【解析】：由题意，
则.
13.【解析】：依题意，,
.
14.【解析】：因为，
所以，
整理得，即，
所以．
15.【解析】：因为都是锐角，且，所以
又，所以，所以
，
.
16.【解析】：因为，所以，
因为，所以.
因为，，所以，
所以 ，
17.【解析】：因为tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝＞0，所以0＜α＜.
又因为tan 2α＝＝，所以0＜2α＜，
所以tan(2α－β)＝＝＝1.
因为tan β＝－＜0，所以＜β＜π，－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－.
18.【解析】（1），
即，
因为，所以，所以，
所以．
（2）因为，所以，
又由（1）知，所以．
所以．
19.【解析】：因为
20.【解析】：原式=
21【解析】：由已知，
又，所以
22．【解析】.
23．【解析】因为，所以，
所以，所以.
24．【解析】因为
25．【解析】
.
26．【解析】．
27．【解析】：．
故答案为：．
28.【解析】：(1)
.
(2)推广:当时,.
证明:因为,所以,
所以
.
29.【解析】：设大正方形的边长为4,依题意得小正方形的边长为3.
因此 ①
②
①×②,得.
又,,
所以
所以.
30【解答】：（Ⅰ）因为函数
，
所以函数的最大值为，此时，,解得：，．
故函数f（x）最大值为2，取得最大值时x的集合为．
（Ⅱ）因为，可得，
又，可得，
可得，，
所以．

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