资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
隐圆
教学内容
1、定点定长；
2、定弦定角；
3、四点共圆．
模型一：定点定长
定点定长（圆的定义）
模型二：定弦定角
在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如：AB为定值，∠P为定角，则点P轨迹是一个圆．
模型三：四点共圆（同侧张角相等，异侧张角互补）
教学过程
考点一:定点定长
例1．如图，AB=OA=OB=OC，则∠ACB=　　　　．
【解答】解：由题意知A、B、C三点在以O为圆心的圆上，
∵AB＝OA＝OB＝OC，∴∠AOB＝60°，∵∠ACB＝∠AOB＝30°，故：30°．
训练1．如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD=　　　　．
【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，
∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，∵∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，
∴∠CAD＝2∠BAC＝88°．故选：B．
例2-1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连结A′C，则A′C长度的最小值是　　　　．
【解答】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，
过点M作MF⊥DC于点F，∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点，
∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°，
∴∠FMD＝30°，
∴FD＝MD＝，∴FM＝DM×cos30°＝，∴MC＝＝，
∴A′C＝MC﹣MA′＝﹣1．故：﹣1．
例2-2．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P，Q分别是BC，AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是　　　　．
【解答】解：作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′，如图所示：
∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，AE＝2，
∴DE＝AD﹣AE＝BC﹣AE＝6，DD′＝2DC＝2AB＝8，
∴ED′＝＝＝10，
在△PCD和△PCD′中，，∴△PCD≌△PCD′（SAS），
∴DP＝PD′，∴PD+PF＝PD′+PF，∵EF＝EA＝2是定值，
∴当E、F、P、D′四点共线时，PF+PD′定值最小，最小值＝10﹣2＝8，
∴PF+PD的最小值为8，故：8．
训练2-1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是　　　　．
【解答】解：如图所示：当PE∥AB．
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，
由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．
∵PE∥AB，∴∠PDB＝90°．由垂线段最短可知此时FD有最小值．
又∵FP为定值，∴PD有最小值．又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，
∴△AFD∽△ABC．∴＝，即＝，解得：DF＝3.2．
∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．故：1.2．
训练2-2．如图，在Rt△ABC中，∠B=60°，BC=3，D为BC边上的三等分点，BD=2CD，E为AB边上一动点，将△DBE沿DE折叠到△DB′E的位置，连接AB′，则线段AB′的最小值为　　　　．
【解答】解：∵△DBE沿DE折叠到△DB′E，∴BD＝B′D，
∵在△AB′D中，AB′＞AD﹣B′D，∴AB′＞AD﹣BD，
∴△DBE沿DE折叠B点落在AD上时，AB′＝AD﹣BD，此时A′B最小，
∵在Rt△ABC中，∠B＝60°，BC＝3，∴AC＝BC tan60°＝3，
∵BD＝2CD，∴CD＝1，BD＝2，由勾股定理得：AD＝＝＝2，
∴A′B＝AD﹣BD＝2﹣2．故答案为：2﹣2．
训练2-3．（2020 罗湖区一模）如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，交y轴于点A，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，连接BD分别交y轴和AC于E、F两点，连接AB．
（1）求证：AB＝AD；（2）若BF＝4，DF＝6，求线段CD的长．
【解答】（1）证明：∵OA⊥BC，且OA过圆心点P，∴OB＝OC，
在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴AB＝AC，
∵以AC为直角边作等腰Rt△ACD，∴AD＝AC，∴AB＝AD；
（2）如图1，过点A作AM⊥BD于M，由（1）知，AB＝AD，∴DM＝BD，
∵BF＝4，DF＝6，∴BD＝10，∴DM＝5，∵∠AMD＝90°＝∠DAF，∠ADM＝∠FDA，∴△ADM∽△FDA，
∴，∴，∴AD＝，在等腰直角三角形ADC中，CD＝AD＝2；
考点二：定弦定角
例1．（2021 罗湖区校级模拟）如图，E、F是正方形ABCD边AD上的两个动点且AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形ABCD的边长为4，则线段DH长度的最小值为　　　　．
【解答】解：延长AG交CD于M，如图1
∵ABCD是正方形∴AD＝CD＝AB，∠BAD＝∠ADC＝90°，∠ADB＝∠BDC
∵AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，DG＝DG∴△ADG≌△DGC
∴∠DAM＝∠DCF且AD＝CD，∠ADC＝∠ADC∴△ADM≌△CDF
∴FD＝DM且AE＝DF∴AE＝DM且AB＝AD，∠ADM＝∠BAD＝90°
∴△ABE≌△ADM∴∠DAM＝∠ABE
∵∠DAM+∠BAM＝90°∴∠BAM+∠ABE＝90°，即∠AHB＝90°
∴点H是以AB为直径的圆上一点．如图2，取AB中点O，连接OD，OH
∵AB＝AD＝4，O是AB中点，∴AO＝1＝OH，在Rt△AOD中，OD＝＝2
∵DH≥OD﹣OH∴DH≥2﹣2∴DH的最小值为2﹣2，故：2﹣2．
训练1-1．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是　　　　．
【解答】解：∵∠PBA+∠PBC＝90而∠PAB＝∠PBC，∴∠PBA+∠PAB＝90°，
∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上，取AB的中点O，连接OC交⊙O于P′，如图，∵AB＝6，BC＝3，∴OP′＝3，OC＝＝3，
∴CP′＝3﹣3，∴线段CP长的最小值是3﹣3．故答案为　3﹣3　
训练1-2．（2021 罗湖区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为　　．
训练1-3．如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D是AC上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值是　　　　．
【解答】解：如图，以AB为直径作⊙O，连接OC、OE．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝4，
∴AB＝BC＝4，OA＝OB＝2，OC＝＝2．
∵OE＝OA＝2，OE+EC≥OC，∴O、E、C共线时，EC的值最小，最小值为2﹣2，
故：2﹣2．
例2．如图示，A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点C在y轴上，且∠ACB=45°，则点C的坐标为　　　　．
【解答】解：在x轴的上方作等腰直角△ABF，FB＝FA，∠BAF＝90°，以F为圆心，FA为半径作⊙F交y轴于C，连接CB，CA．
∵∠ACB＝∠AFB＝45°，∵B（﹣2，0），A（3，0），△ABF是等腰直角三角形，
∴F（，），FA＝FB＝FC＝，设C（0．m），
则（）2+（﹣m）2＝（）2，解得m＝6或﹣1（舍弃）∴C（0，6），
根据对称性可知C′（0，﹣6）也符合条件，
综上所述，点C的坐标为（0，6）或（0，﹣6）．故答案为（0，6）或（0，﹣6）．
训练2-1．如图，△ABC为等边三角形，AB=2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为　　　　．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，
∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴点P的运动轨迹是，
当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：
此时PA＝PC，OB⊥AC，
则AD＝CD＝AC＝1，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，
∴PD＝AD tan30°＝AD＝，BD＝AD＝，
∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝．
故答案为：．
训练2-2．（2018 宝安区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，P为y轴上的一个动点，已知A（﹣2，0）、C（0，），且抛物线的对称轴是直线．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）连接PA、PB，P点运动到何处时，使得∠APB=60°，请求出P点坐标．
【解答】解：（1）将A，C点坐标代入函数解析式，及对称轴，得
，解得，抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2，
（2）以AB为边作等边△ABM，作△ABM的外接圆⊙O′，交y轴负半轴于P，作O′E⊥AB于E，连接BO′，O′P．设P（0，m）．
易知：O′（1，﹣），BO′＝O′P＝2，
∴1+（m+）2＝12，
∴m＝﹣﹣或﹣（舍弃），
∴P（0，﹣﹣），
根据对称性可知P′（0，+）也符合条件．
考点三：四点共圆
例1．（2019年宝安区二模）如图，正方形ABCD中，BC=6，点E为BC的中点，点P为边CD上一动点，连接AP，过点P作AP的垂线交BC于点M，N为线段AP上一点，且PN=PM，连接MN，取MN的中点H，连接EH，则EH的最小值是　　　　．
【解答】解：连接PH，可得∠PHN＝90°由∠PHM＝∠C＝90°，可得PHMC四点共圆，
可知∠MCH＝∠MPH＝45°，所以点H在AC上；如图，EH⊥AC时，EH最小；
在Rt△EHC中：EC＝3，EH＝HC＝，故答案为
训练1-1．（2018秋 福田区期末）如图，点E是矩形ABCD的一边AD的中点，BF⊥CE于F，连接AF，若AB=4，AD=6，则sin∠AFE=　　　　．
【解答】解：延长CE交BA的延长线于点G，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，
∴∠G＝∠GCD，且AE＝DEA，∠AEG＝∠DEC∴△AGE≌△DCE（AAS）
∴AG＝CD＝4，∴AG＝AB，且BF⊥GF，∴AF＝AG＝AB＝4
∴∠AFE＝∠AGF，∵BG＝AG+AB＝8，BC＝6
∴GC＝＝10∴sin∠AFE＝sin∠AGF＝＝
故答案为：
训练1-2．如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为　　　　．
【解答】解：如图，在BE上截取BG＝CF，连接OG，
∵RT△BCE中，CF⊥BE，∴∠EBC＝∠ECF，∵∠OBC＝∠OCD＝45°，∴∠OBG＝∠OCF，
在△OBG与△OCF中∴△OBG≌△OCF（SAS）
∴OG＝OF，∠BOG＝∠COF，∴OG⊥OF，在RT△BCE中，BC＝DC＝6，DE＝2EC，∴EC＝2，
∴BE＝＝＝2，∵BC2＝BF BE，
则62＝BF，解得：BF＝，∴EF＝BE﹣BF＝，
∵CF2＝BF EF，∴CF＝，∴GF＝BF﹣BG＝BF﹣CF＝，
在等腰直角△OGF中OF2＝GF2，∴OF＝．故答案为：．
训练1-3．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是BC边上一动点，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于E．若AC=6，BC=8，则的最大值为　　　　．
【解答】解：如图1，过点E作EF⊥BC于F，
∵∠C＝90°，∴AC∥EF，∴△ACD∽△EDF，∴，
∵AE⊥BE，∴A，B，E，C四点共圆，设AB的中点为O，连接OE，
当OE⊥BC时，EF有最大值，如图2，当点E是中点时，EF的值最大，此时E，F，O共线．
∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∴OE＝5，∵OE⊥BC，
∴BF＝BC＝4，∴OF＝3，∴EF＝2，∴＝＝，
∴的最大值为．故：．
例2．（★）在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABC=45°，点E为对角线BD的中点，连接AE并延长交线段BC于点F，AE=，BF=3，则AD的长为　　　　．
【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，点E为对角线BD的中点，
∴点A和点C在以点E为圆心，BD为直径的圆上，如图，则BD＝2AE＝4，
连接EC、AC，作CH⊥AD于H，∵∠AEC＝2∠ABC＝90°，
∴△EAC为等腰直角三角形，∴AC＝AE＝ 2＝2，∠EAC＝45°，
∴∠CAF＝∠CBA，而∠ACF＝∠BCA，∴△CAF∽△CBA，
∴CA：CB＝CF：CA，即2：（3+CF）＝CF：2，
整理得CF2+3CF﹣40＝0，解得CF＝3或CF＝﹣8（舍去），
∴BC＝CF+BF＝8，在Rt△ADC中，CD＝＝＝4，
∵∠CDH＝∠ABC＝45°，∴△CDH为等腰直角三角形，
∴CH＝DH＝CD＝×4＝2，
在Rt△AHC中，AH＝＝＝4，
∴AD＝AH﹣DH＝4﹣2＝2．
故答案为2．
训练2-1．（★）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AC为对角线，过点D作DF⊥AB，垂足为E，交CB延长线于点F，若AC＝CF，∠CAD＝∠CFD，DF﹣AD＝2，AB＝6，则ED的长为　　．
【解答】解：∵∠CAD＝∠CFD，∴点A，F，C，D四点共圆，
∴∠FAD+∠DCF＝180°，∠FAC＝∠FDC，
∵∠DCF＝90°，∴∠FAD＝90°，∵AC＝FC，∴∠FAC＝∠AFC，
∵DF⊥AB，∴∠ABF+∠BFE＝∠CDF+∠BFE＝90°，∴∠ABF＝∠CDF，∴∠AFB＝∠ABF，
∴AF＝AB＝6，∵DF﹣AD＝2，∴DF＝AD+2，∵DF2＝AF2+AD2，∴（2+AD）2＝62+AD2，
解得：AD＝8，∴DF＝10，∵∠FAD＝90°，AE⊥DF，∴△ADE∽△DAF，
∴＝，∴DE＝＝＝，故答案为：．
训练2-2．（★）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝6﹣2，点P是BC上一动点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，则线段DE的最小值为　　　　．
【解答】解：当AP⊥BC时，线段DE的值最小（因为四边形A、D、P、E四点共圆，PA是直径，∠BAC＝60是定值，所以直径AP最小时，∠DAE所对的弦最小）
如图1，∵PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，∴∠ADP＝∠AEP＝90°，
∴∠ADP+∠AEP＝180°，∴A、D、P、E四点共圆，且直径为AP，
在Rt△PBD中，∠B＝45°，∴△PBD是等腰直角三角形，∠APD＝45°，
∴△APD也是等腰直角三角形，∴∠PAD＝45°，∴∠PBD＝∠PAD＝45°，
∴∠AED＝45°，∴∠AED＝∠B＝45°，∵∠EAD＝∠CAB，∴△AED∽△ABC，
∴＝，设AD＝2x，则PD＝DB＝2x，AP＝2x，
如图1，取AP的中点O，连接EO，则AO＝OE＝OP＝x，
∵∠EAP＝∠BAC﹣∠PAD＝60°﹣45°＝15°，∴∠EOP＝2∠EAO＝30°，
过E作EM⊥AP于M，则EM＝x，cos30°＝，∴OM＝x ＝x，
∴AM＝x+x＝x，由勾股定理得：AE＝＝（+1）x，
∴＝，
∴ED＝．
则线段DE的最小值为；
故答案为：．
挑战过关
一．选择题（共2小题）
1．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．2 D．5
【解答】解：∵EF＝2，点G为EF的中点，∴DG＝1，∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，
作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，
此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；
∵AB＝2，AD＝3，∴AA′＝4，∴A′D＝5，∴A′G＝A′D﹣DG＝5﹣1＝4，
∴PA+PG的最小值为4，故选：B．
2．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上．AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E．连接BE，则BE的最小值是（　　）
A． B． C．﹣2 D．2﹣
【解答】解：如图，取AC的中点O′，连接BO′、BC．
∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝＝3，
在Rt△BCO′中，BO′＝＝，∵O′E+BE≥O′B，
∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E＝﹣2，
故选：C．
二．填空题（共3小题）
3．如图：正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD＝　　　　．
【解答】解：连接AF，∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF＝BE，，
在△ABE和△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BPE＝∠APF＝90°，
∵∠ADF＝90°，∴∠ADF+∠APF＝180°，∴A、P、F、D四点共圆，
∴∠AFD＝∠APD，∴tan∠APD＝tan∠AFD＝＝2，故答案为：2．
4．如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，长方形内有一个点P，连接AP，BP，CP，已知∠APB＝90°，CP＝CB，延长CP交AD于点E，则AE＝　　　　．
【解答】解：延长AP交CD于F，∵∠APB＝90°，∴∠FPB＝90°，∴∠CPF+∠CPB＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，BC＝AD＝3，
∴∠EAP+∠BAP＝∠ABP+∠BAP＝90°，∴∠EAP＝∠ABP，
∵CP＝CB＝3，∴∠CPB＝∠CBP，∴∠CPF＝∠ABP＝∠EAP，∵∠EPA＝∠CPF，
∴∠EAP＝∠APE，∴AE＝PE，
∵CD2+DE2＝CE2，
∴42+（3﹣AE）2＝（3+AE）2，
解得：AE＝，
故答案为：．
5．（2021 南山区校级三模）如图，正方形ABCD的边长是4，F点是BC边的中点，点O是CD边上的一个动点，以O点为圆心，OC为半径的圆与CD相交于H点，连接HF交圆O于E点，则线段DE的最小值为　　　　．
【解答】解：连接CE，∵CH是⊙O的直径，∴∠CEH＝90°，∴∠CEF＝180°﹣90°＝90°，
∴点E在以CF为直径的⊙M上，连接EM、DM，∵正方形ABCD的边长是4，F点是BC边的中点，
∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°，CF＝BC＝2，∴FM＝MC＝EM＝1，
在Rt△DMC中，DM＝＝＝，∵DE≥DM﹣EM，
∴当且仅当D、E、M三点共线时，线段DE取得最小值，∴线段DE的最小值为﹣1，
故答案为：﹣1．
三．解答题（共1小题）
6．（2019 宝安区二模）如图1，正△ABC中，点D为BC边的中点，将∠ACB绕点C顺时针旋转α角度（0°＜α＜60°）得∠A'CB'，点P为线段A′C上的一点，连接PD与B′C、AC分别交于点E、F，且∠PAC＝∠EDC．
（1）求证：AP＝2ED；
（2）猜想PA和PC的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，连接AD交B'C于点G，若AP＝2，PC＝4，求AG的长．
【解答】（1）证明：∵将∠ACB绕点C顺时针旋转α角度（0°＜α＜60°）得∠A'CB'，
∴∠DCE＝∠ACP，∵∠PAC＝∠EDC，∴△CDE∽△CAP，∴＝，
∵△ABC 是等边三角形，∴BC＝AC，∴点D为BC边的中点，
∴CD＝BC＝AC，∴＝＝，∴AP＝2ED；
（2）解：PA⊥PC，
理由：连接AD，如图1，
∵△ABC是等边三角形，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，
∵∠PAC＝∠EDC，∴A、D、C、P四点共圆，
∵∠ADC＝90°，∴AC是共圆的直径，∴∠APC＝90°，
∴PA⊥PC；
（3）解：如图2，∵AP＝2，PC＝4，∠APC＝90°，
∴AC＝＝2，
∴DC＝AC＝，AD＝AC＝
∵AP＝2ED，
∴ED＝1，
∵△CDE∽△CAP，
∴∠CED＝∠APC＝90°，
∴CE＝＝2，
∵∠EDG+∠EDC＝90°∠EDC+∠ECD＝90°，
∴∠EDG＝∠ECD，
∵∠CED＝∠DEG＝90°，
∴△EDG∽△ECD，
∴＝，
∴GD＝＝＝，
∴AG＝AD﹣GD＝﹣．
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隐圆
教学内容
1、定点定长；
2、定弦定角；
3、四点共圆．
模型一：定点定长
定点定长（圆的定义）
模型二：定弦定角
在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如：AB为定值，∠P为定角，则点P轨迹是一个圆．
模型三：四点共圆（同侧张角相等，异侧张角互补）
教学过程
考点一:定点定长
例1．如图，AB=OA=OB=OC，则∠ACB=　　　　．
训练1．如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD=　　　　．
例2-1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连结A′C，则A′C长度的最小值是　　　　．
例2-2．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P，Q分别是BC，AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是　　　　．
训练2-1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是　　　　．
训练2-2．如图，在Rt△ABC中，∠B=60°，BC=3，D为BC边上的三等分点，BD=2CD，E为AB边上一动点，将△DBE沿DE折叠到△DB′E的位置，连接AB′，则线段AB′的最小值为　　　　．
训练2-3．（2020 罗湖区一模）如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，交y轴于点A，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，连接BD分别交y轴和AC于E、F两点，连接AB．
（1）求证：AB＝AD；
（2）若BF＝4，DF＝6，求线段CD的长．
考点二：定弦定角
例1．（2021 罗湖区校级模拟）如图，E、F是正方形ABCD边AD上的两个动点且AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形ABCD的边长为4，则线段DH长度的最小值为　　　　．
训练1-1．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是　　　　．
训练1-2．（2021 罗湖区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为　　　　．
训练1-3．如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D是AC上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值是　　　　．
例2．如图示，A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点C在y轴上，且∠ACB=45°，则点C的坐标为　　　　．
训练2-1．如图，△ABC为等边三角形，AB=2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为　　　　．
训练2-2．（2018 宝安区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，P为y轴上的一个动点，已知A（﹣2，0）、C（0，），且抛物线的对称轴是直线．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）连接PA、PB，P点运动到何处时，使得∠APB=60°，请求出P点坐标．
考点三：四点共圆
例1．（2019年宝安区二模）如图，正方形ABCD中，BC=6，点E为BC的中点，点P为边CD上一动点，连接AP，过点P作AP的垂线交BC于点M，N为线段AP上一点，且PN=PM，连接MN，取MN的中点H，连接EH，则EH的最小值是　　　　．
训练1-1．（2018秋 福田区期末）如图，点E是矩形ABCD的一边AD的中点，BF⊥CE于F，连接AF，若AB=4，AD=6，则sin∠AFE=　　　　．
训练1-2．如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为　　　　．
训练1-3．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是BC边上一动点，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于E．若AC=6，BC=8，则的最大值为　　　　．
例2．（★）在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABC=45°，点E为对角线BD的中点，连接AE并延长交线段BC于点F，AE=，BF=3，则AD的长为　　　　．
训练2-1．（★）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AC为对角线，过点D作DF⊥AB，垂足为E，交CB延长线于点F，若AC＝CF，∠CAD＝∠CFD，DF﹣AD＝2，AB＝6，则ED的长为　　　　．
训练2-2．（★）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝6﹣2，点P是BC上一动点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，则线段DE的最小值为　　　　．
挑战过关
一．选择题（共2小题）
1．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．2 D．5
2．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上．AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E．连接BE，则BE的最小值是（　　）
A． B． C．﹣2 D．2﹣
二．填空题（共3小题）
3．如图：正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD＝　　　　．
4．如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，长方形内有一个点P，连接AP，BP，CP，已知∠APB＝90°，CP＝CB，延长CP交AD于点E，则AE＝　　　　．
5．（2021 南山区校级三模）如图，正方形ABCD的边长是4，F点是BC边的中点，点O是CD边上的一个动点，以O点为圆心，OC为半径的圆与CD相交于H点，连接HF交圆O于E点，则线段DE的最小值为　　　　．
三．解答题（共1小题）
6．（2019 宝安区二模）如图1，正△ABC中，点D为BC边的中点，将∠ACB绕点C顺时针旋转α角度（0°＜α＜60°）得∠A'CB'，点P为线段A′C上的一点，连接PD与B′C、AC分别交于点E、F，且∠PAC＝∠EDC．
（1）求证：AP＝2ED；
（2）猜想PA和PC的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，连接AD交B'C于点G，若AP＝2，PC＝4，求AG的长．
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