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瓜豆原理
教学内容
1、距离确定动点直线轨迹；
2、角度确定动点直线轨迹；
3、圆轨迹．
教学过程
考点一:距离确定动点直线轨迹
例1．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是　　．
训练1-1．（2019秋 宝安区期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，将线段AP绕点A逆时针旋转90°，得到线段AQ，当点P从当（﹣3，0）运动到点（1，0）时，点Q运动的路径长为　4　．
训练1-2．如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M为AB中点，D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED、ME，则点D在运动过程中ME的最小值为　2　．
考点二:角度确定动点直线轨迹
例1．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，则OE的最小值是为　　．
训练1-1．（2019年宝安区二模）如图，正方形ABCD中，BC=6，点E为BC的中点，点P为边CD上一动点，连接AP，过点P作AP的垂线交BC于点M，N为线段AP上一点，且PN=PM，连接MN，取MN的中点H，连接EH，则EH的最小值是　　．
训练1-2．（2020 宝安区二模）如图1，在平面直角坐标系中，等边△ABC的边BC在x轴上，A（0，3），B（﹣，0），点M（m，0）为x轴上的一个动点，连接AM，将AM绕点A逆时针旋转60°得到AN．
（1）当M点在B点的左方时，连接CN，求证：△BAM≌△CAN；
（2）如图3，是否存在点M，使得点N恰好在抛物线y＝﹣2x2+4x+3上，如果存在，请求出m的值，如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵将AM绕点A逆时针旋转60°得到AN，∴AM＝AN，∠MAN＝60°＝∠BAC，
即∠CAN+∠BAN＝∠MAB+∠BAN，∴∠CAN＝∠MAB，∴△BAM≌△CAN（SAS）；
（2）如图2，过点C作CE∥AB交y轴于点E，由（1），（2）可知点N在直线CE上，CE与抛物线交于点N1，N2，
∴∠ABC＝∠OCE＝60°，OC＝OB＝，∴OE＝3，∴E（0，﹣3），
设直线CE的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，
∴直线CE的解析式为y＝x﹣3，∴，
解得：，，∴N1（2，3），N2（﹣，﹣），
若AM绕点A逆时针旋转60°得到AN1时，M（m，0），∴AM＝AN1＝2，
∵AB＝2，AN1∥x轴，∴点M与点C重合，即m＝，
若AM绕点A逆时针旋转60°得到AN2时，M（m，0），
∵C（，0），∴CN2＝＝3，
由（1）可知BM2＝CN2＝3，∴OM2＝OB+BM2＝＝4，
∴m＝﹣4．
综合以上可得，m＝或﹣4．
考点三:圆轨迹
例1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是　3.5　．
训练1-1．如图，点P（3，4），⊙P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是　1.5　．
训练1-2．正△ABC的边长为4，⊙A的半径为2，D是⊙A上动点，E为CD中点，则BE的最大值为　　．
训练1-3．（2020 福田区校级月考）如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为　　．
挑战过关
一．选择题（共2小题）
1．（2021春 罗湖区校级期末）如图，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，AB＝1，扇形AOC的圆心角为60°，点D为上一动点，P为BD的中点，当点D从点A运动至点C，则点P的运动路径长为（　C　）
A．1 B． C． D．
2．如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（　D　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
二．填空题（共3小题）
3．（2021 罗湖区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角形APQ，当点P从点（﹣2，0）运动到点（2，0）时，点Q运动的路径长为　4　．
4．已知边长为6的等边△ABC中，E是高AD所在直线上的一个动点，连接BE，将线段BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接DF，则在点E运动的过程中，当线段DF长度的最小值时，DE的长度为　　．
5．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，连接OP，OP的最小值为　　．
三．解答题（共1小题）
6．若AC＝4，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接AP．
（1）如图1，取点B，使△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将点P绕点A顺时针旋转90°得到AP′．
①点P'的轨迹是　　（填“线段”或者“圆”）；
②CP′的最小值是　　；
（2）如图2，以AP为边作等边△APQ（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求CQ的最大值．
（3）如图3，将点A绕点P逆时针旋转90°，得到点M，连接PM，则CM的最小值为　　　　．
【解答】解：（1）①连接CP、BP'，如图1所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴AC＝AB，由旋转的性质得：AP＝AP'，∠PAP'＝90°，
∴∠PAC＝∠P'AB，在△ABP'和△ACP中，，∴△ABP'≌△ACP（SAS），
∴BP'＝CP＝2，即点P'到点B的距离等于定长，∴点P'的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆；
故答案为：圆；
②∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝4，∴BC＝AC＝4，
当点P'在线段BC上时，CP'最小＝BC﹣BP'＝4﹣2；故答案为：4﹣2；
（2）以AC为边长作等边△ACD，连接DQ、CP，如图2所示：
∵△APQ和△ACD是等边三角形，∴AP＝AQ，AC＝AD＝CD＝4，∠PAQ＝∠CAD＝60°，
∴∠DAQ＝∠CAP，在△ADQ和△ACP中，，∴△ADQ≌△ACP（SAS），
∴DQ＝CP＝2，当C、D、Q三点共线时，CQ有最大值＝CD+DQ＝4+2＝6；
（3）如图3所示：M点的轨迹是以MM'为直径的一个圆O'，则PM＝PA＝2，PM'＝PA＝4+2＝6，
则CO'是梯形PMM'P'的中位线，∴CO'＝（2+6）＝4，连接MM'''，则∠MM'''M'＝90°，
∴P'M'''＝PM＝2，MM'''＝PP'＝4，∴M'M'''＝6﹣2＝4＝MM'''，
∴△MM'M'''是等腰直角三角形，∴MM'＝∴MM'''＝4，∴O'M''＝2，
∴CM＝CO'﹣O'M''＝4﹣2；
故答案为：4﹣2．
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瓜豆原理
教学内容
1、距离确定动点直线轨迹；
2、角度确定动点直线轨迹；
3、圆轨迹．
教学过程
考点一:距离确定动点直线轨迹
例1．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是　　　　．
训练1-1．（2019秋 宝安区期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，将线段AP绕点A逆时针旋转90°，得到线段AQ，当点P从当（﹣3，0）运动到点（1，0）时，点Q运动的路径长为　　　　．
训练1-2．如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M为AB中点，D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED、ME，则点D在运动过程中ME的最小值为　　　　．
考点二:角度确定动点直线轨迹
例1．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，则OE的最小值是为　　　　．
训练1-1．（2019年宝安区二模）如图，正方形ABCD中，BC=6，点E为BC的中点，点P为边CD上一动点，连接AP，过点P作AP的垂线交BC于点M，N为线段AP上一点，且PN=PM，连接MN，取MN的中点H，连接EH，则EH的最小值是　　　　．
训练1-2．（2020 宝安区二模）如图1，在平面直角坐标系中，等边△ABC的边BC在x轴上，A（0，3），B（﹣，0），点M（m，0）为x轴上的一个动点，连接AM，将AM绕点A逆时针旋转60°得到AN．
（1）当M点在B点的左方时，连接CN，求证：△BAM≌△CAN；
（2）如图3，是否存在点M，使得点N恰好在抛物线y＝﹣2x2+4x+3上，如果存在，请求出m的值，如果不存在，请说明理由．
考点三:圆轨迹
例1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是　　　　．
训练1-1．如图，点P（3，4），⊙P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是　　　　．
训练1-2．正△ABC的边长为4，⊙A的半径为2，D是⊙A上动点，E为CD中点，则BE的最大值为　　　　．
训练1-3．（2020 福田区校级月考）如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为　　　　．
挑战过关
一．选择题（共2小题）
1．（2021春 罗湖区校级期末）如图，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，AB＝1，扇形AOC的圆心角为60°，点D为上一动点，P为BD的中点，当点D从点A运动至点C，则点P的运动路径长为（　　）
A．1 B． C． D．
2．如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
二．填空题（共3小题）
3．（2021 罗湖区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角形APQ，当点P从点（﹣2，0）运动到点（2，0）时，点Q运动的路径长为　　　　．
4．已知边长为6的等边△ABC中，E是高AD所在直线上的一个动点，连接BE，将线段BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接DF，则在点E运动的过程中，当线段DF长度的最小值时，DE的长度为　　　　．
5．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，连接OP，OP的最小值为　　　　．
三．解答题（共1小题）
6．若AC＝4，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接AP．
（1）如图1，取点B，使△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将点P绕点A顺时针旋转90°得到AP′．
①点P'的轨迹是　　（填“线段”或者“圆”）；
②CP′的最小值是　　；
（2）如图2，以AP为边作等边△APQ（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求CQ的最大值．
（3）如图3，将点A绕点P逆时针旋转90°，得到点M，连接PM，则CM的最小值为　　　　．
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