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第二篇 专题六　
第1课时　函数的图象与性质
函数及其表示
1．函数f(x)＝－的定义域是(　　)
A．[－3，－1)∪(－1，3]
B．[－2，－1)∪(－1，3]
C．(－2，－1)∪(－1，3]
D．(－2，3]
【解析】选C.要使函数f(x)＝－有意义，只需，解得，
即－2＜x≤3，且x≠－1，
所以函数f(x)的定义域是(－2，－1)∪(－1，3].
2．已知函数f(x)＝则f的值是(　　)
A．0 B．1 C． D．－
【解析】选C.因为f(x)＝且0＜＜1，＞1，
所以f＝f()＝log2＝.
3．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为(　　)
A．－ B．－1或2
C．1 D．－3或1
【解析】选A.由题意得f(1)＝20＝1，即f(a)＝－1，
又f(x)＝2x－1>0恒成立，
所以a－＝－1，即a＝－.
4．(2021·呼和浩特联考)已知函数f(x)＝
则f(6)＝________．
【解析】因为函数f(x)＝
所以f(6)＝f(3)＝f(0)＝20＝1.
答案：1
若本题中的条件不变，则f(x)的值域是________．
【解析】因为当x，x－3，x－3×2，…，x－3(n－1)为正数时，f(x)＝f(x－3)＝f(x－6)＝……＝f(x－3n)，直至x－3n≤0，又因为，当x≤0时0<2x≤1，所以f(x)的值域是(0，1].
答案：(0，1]
1．函数的定义域问题
给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合；探求抽象函数的定义域要把握一个原则：f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同．
2．分段函数问题常见类型及解题策略
(1)求函数值：必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则；
(2)求函数最值：先求出每个区间上的最值，然后依据“大中取大小中取小”的原则求值域；
(3)求参数：“分段处理”，即采用代入法列出各区间上的方程，求解即可；
(4)解不等式：常依据分段函数的单调性或结合函数图象求解，注意函数的定义域．
函数的性质及其应用　 INCLUDEPICTURE "重难突破J.TIF" INCLUDEPICTURE "重难突破J.TIF" \* MERGEFORMAT
1．已知函数f(x)＝ax－ln (ex＋1)(a∈R)为偶函数，则实数a的值为(　　)
A．1 B．2 C． D．3
【解析】选C.方法一：(定义法)由f(－x)＝f(x)得：－ax－ln ＝ax－ln (ex＋1)，化简得：
ln (ex＋1)－ln ＝2ax，即x＝2ax，故a＝.
方法二：(特值法)由f(－1)＝f(1)得：
－a－ln ＝a－ln (e＋1)，解得a＝，
当a＝时，f(x)＝－ln (e＋e－)
经检验f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数．
2．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则(　　)
A．f(－3)B．f(－3)C．f(20.6)D．f(20.6)【解析】选C.因为f(x)为R上的偶函数，
所以f(－3)＝f(3)，f(－log313)＝f(log313)，
因为20.6<2＝log39所以f(20.6)所以f(20.6)3.函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2(x1x1f(x2)，记a＝f(2)，b＝f(1)，c＝－f(－3)，则a，b，c之间的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．a>c>b
【思维通关】
关键点 对x2f(x1)>x1f(x2)的变形
障碍点 由a，b，c的不等式以及x2f(x1)>x1f(x2)，联想到构造函数g(x)
易错点 函数g(x)单调性的判断
【解析】选B.因为对任意两个正数x1，x2(x1x1f(x2)，所以>，得函数g(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，
又c＝－f(－3)＝f(3)，
所以g(1)>g(2)>g(3)，即b>a>c.
4.(2021·平凉一模)设函数f(x)＝log2(x2＋1)－，则使得f>f(3x－1)成立的x的取值范围是________．
【思维通关】
关键点 判断函数f(x)的单调性
障碍点 想到函数f(x)的奇偶性
易错点 3x－1应该取绝对值
【解析】由题得函数的定义域为R.f(－x)＝log2[(－x)2＋1]－＝f(x)，所以函数是偶函数．当x>0时，y＝log2(1＋x2)，y＝－都是增函数，所以f(x)＝log2(x2＋1)－是增函数，所以函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数．因为f>f(3x－1)，所以>|3x－1|，所以答案：
函数性质的应用
函数性质 应用指南
单调性 (1)比较大小；(2)求函数最值；(3)解不等式；(4)证明方程根的唯一性
周期性 利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解
对称性 ①f(x)图象关于x＝a对称 f(a＋x)＝f(a－x) f(2a－x)＝f(x).②f(a＋x)＋f(b－x)＝2c f(x)图象关于点对称．
1．若函数f(x)＝sin x ln (＋x)是偶函数，则实数a＝(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．
【解析】选C.方法一：根据题意，函数f(x)＝sin x ln (＋x)且f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，即sin (－x)ln (－x)＝sin x·ln (＋x)，变形可得ln a＝0，则a＝1.
方法二：根据题意可知g(x)＝ln (＋x)为奇函数，所以g(0)＝ln ＝0，所以a＝1.
2．已知函数f(x)＝，实数a，b满足不等式f(2a＋b)＋f(4－3b)>0，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．b－a<2 B．a＋2b>2
C．b－a>2 D．a＋2b<2
【解析】选C.由题意得f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，
故函数f(x)为奇函数．
又f(x)＝－＝－＝－1＋，
故函数f(x)在R上单调递减．
因为f(2a＋b)＋f(4－3b)>0，
所以f(2a＋b)>－f(4－3b)＝f(3b－4)，
所以2a＋b<3b－4，所以b－a>2.
3．(2021·新高考II卷)设函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数， f(2x＋1)为奇函数，则(　　)
A．f＝0 B．f(－1)＝0
C．f(2)＝0 D．f(4)＝0
【解析】选B.因为函数f(x＋2)为偶函数，
则f(2＋x)＝f(2－x)，可得f(x＋3)＝f(1－x)，
因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以f(1－x)＝－f(x＋1)，
所以，f(x＋3)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x)＝f(x＋4)，
故函数f(x)是以4为周期的周期函数，
因为函数F(x)＝f(2x＋1)为奇函数，
则F(0)＝f(1)＝0，
故f(－1)＝－f(1)＝0，其他三个选项未知．
4．已知函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有<0成立，则a的取值范围是________．
【解析】<0 f(x)是减函数 a∈.
答案：
函数的图象及其应用
1．(2019·全国Ⅲ卷)函数y＝在[－6，6]上的图象大致为(　　)
【解析】选B.因为y＝f(x)＝，
所以f(－x)＝＝－＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，排除选项C.
又因为f(4)＝≈＝8，
根据图象进行判断，可知选项B符合题意．
2．如图可能是下列哪个函数的图象(　　)
A．y＝
B．y＝
C．y＝x2ln |x－1|
D．y＝tan x·ln (x＋1)
【解析】选C.由图象可知，y＝tan x·ln (x＋1)在上单调递增，故可排除D；当x＝时，A，B选项中的y＞0，C选项中的y＜0.
3.若函数f(x)＝(x－1)3－与g(x)＝－x＋m的图象交点的横坐标之和为2，则m的值为________．
【思维通关】
关键点 分析函数f(x)的图象特点
障碍点 得到函数f(x)的图象关于(1，0)对称
易错点 结合对称性求参数m的值
【解析】因为y＝(x－1)3，y＝－的图象均关于点(1，0)对称，所以函数f(x)＝(x－1)3－的图象关于点(1，0)对称，且在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递增，因为函数f(x)＝(x－1)3－与g(x)＝－x＋m的图象交点的横坐标之和为2，所以直线y＝－x＋m经过点(1，0)，所以m＝1.
答案：1
4．如图，圆O的半径为1，A，B是圆上的定点，OB⊥OA，P是圆上的动点，点P关于直线OB的对称点为P′，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，将|－|表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为(　　)
【解析】选A.设PP′的中点为M，则|－|＝||＝2||，当x∈时，在Rt△OMP中，|OP|＝1，∠OPM＝∠POA＝x，
所以cos x＝，所以|PM|＝cos x，|－|＝2cos x，
即f(x)＝2cos x，x∈.
从四个选项可知，只有选项A正确．
　巧用函数的性质识图八技
(1)定→定点、定义域．
(2)奇→奇偶性．
(3)极→极值点个数．
(4)零→零点个数．
(5)渐→渐近线．
(6)趋→函数值变化趋势．
(7)单→单调性．
(8)符→函数值符号
1．已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数的解析式可能是(　　)
A.y＝x ln x B．y＝x ln x－x＋1
C．y＝ln x＋－1 D．y＝－＋x－1
【解析】选D.对于选项A，当x＝2时，2ln 2＝ln 4>ln e＝1，由图象可知选项A不符合题意；
对于选项B，当x＝e时，eln e－e＋1＝1，由图象可知选项B不符合题意；
对于选项C，当x＝e时，ln e＋－1＝<1，
由图象可知选项C不符合题意．
2．已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于点(1，2)对称
B．函数f(x)在(－∞，1)上是增函数
C．函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴
D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称
【解析】选A.因为f(x)＝＝＋2，
所以函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，排除B；
画出函数f(x)的大致图象如图所示，
结合图象排除C，D.因为f(x)＋f(2－x)＝＋＝＋＝4，所以函数f(x)的图象关于点(1，2)对称．
3．(2021·苏州八校一模)我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从图标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是(　　)
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
【解析】选B.首先该函数是偶函数，排除A，其次该函数x≠±1，排除D，最后该函数过点(0，1)，排除C，综上选B.
4．如图，把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A(0，1)，一动点M从点A开始逆时针绕圆运动一周，记＝x，直线AM与x轴交于点N(t，0)，则函数t＝f(x)的图象大致为(　　)
【解析】选D.当x由0→时，t从－∞→0，且单调递增，当x由→1时，t从0→＋∞，且单调递增，所以排除A，B，C.
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