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立体几何解答题
第1课时　空间中的平行与垂直
空间中的平行关系的判断与证明
【典例1】如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形，AB＝2，DE＝BF，BF∥DE，M为棱AE的中点．
求证：平面BMD∥平面EFC.
【思维点拨】
定目标 证明面面平行，可证线面平行；证线面平行，要找线线平行．
定关系 根据中点找中位线．
【证明】如图，连接AC，交BD于点N，
所以N为AC的中点，
连接MN，由M为棱AE的中点，则MN∥EC.
因为MN 平面EFC，EC 平面EFC，
所以MN∥平面EFC.
因为BF∥DE，BF＝DE，
所以四边形BDEF为平行四边形．
所以BD∥EF.
又BD 平面EFC，EF 平面EFC，
所以BD∥平面EFC，
又MN∩BD＝N，
所以平面BMD∥平面EFC.
1．证明线面平行问题的思路
(1)利用线面平行的判定定理证明．
(2)先证面面平行，再证线面平行．
2．判定面面平行的方法
(1)利用面面平行的判定定理．
(2)利用垂直于同一条直线的两平面平行．
　
如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．
(1)求证：MN∥平面BB1C1C；
(2)若D在棱BC上，DN∥平面ABB1A1，求的值.
【解析】(1)因为点M，N分别为线段A1B，AC1的中点，连接A1C，交AC1于点N，则N是A1C的中点，所以MN∥BC，
因为MN 平面BB1C1C，BC 平面BB1C1C，
所以MN∥平面BB1C1C；
(2)因为DN∥平面ABB1A1，DN 平面A1BC，
平面ABB1A1∩平面A1BC＝A1B，
所以DN∥A1B，
又N是线段A1C的中点，
所以D是线段BC的中点，
所以＝1.
空间中的垂直关系的判断与证明
【典例2】如图，在三棱锥P ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
(1)求证：PA⊥BD；
(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；
【思维点拨】
(1) 定目标：要证明PA⊥BD，需要证明PA⊥平面ABC
(2) 定目标：要证平面BDE⊥平面PAC，转证BD⊥平面PAC，即可找关系：AB＝BC
【证明】(1)因为PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，所以PA⊥平面ABC，
又BD 平面ABC，所以PA⊥BD.
(2)因为AB＝BC，AD＝DC，
所以AC⊥BD，又PA⊥BD，AC∩PA＝A，
所以BD⊥平面PAC，又BD 平面BDE，
所以平面BDE⊥平面PAC.
1．判定线面垂直的四种方法
(1)利用线面垂直的判定定理．
(2)利用“两平行线中的一条与已知平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．
(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．
(4)利用面面垂直的性质定理．
2．面面垂直证明的两种思路
(1)用面面垂直的判定定理．
(2)用面面垂直的定义．
　
如图，在四棱锥A BCDE中，BC⊥平面ABE，DE∥BC，DE＝3BC＝6，∠BAC＝45°，∠DAE＝∠ABE＝60°.
求证：平面ABC⊥平面ADE；
【证明】因为DE∥BC，BC⊥平面ABE，
所以DE⊥平面ABE.
又因为AE 平面ABE，所以DE⊥AE.
在Rt△ADE中，由∠DAE＝60°，DE＝6，得AE＝2.在Rt△ABC中，由∠BAC＝45°，BC＝2得AB＝2.在△ABE中，AE2＝AB2＋BE2－2AB·BE cos ∠ABE，解得BE＝4.
所以BE2＝AB2＋AE2，即AB⊥AE.
而BC⊥AE，AB，BC 平面ABC，AB∩BC＝B，
所以AE⊥平面ABC.
又因为AE 平面ADE，所以平面ABC⊥平面ADE.
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