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专题三　立体几何
考题统计 考情解读
年份 考卷 小题 大题 分值
2021 新高考全国Ⅰ卷 3,12 20 22 1.考查内容:主要考查空间几何体的表面积和体积的计算,空间平行和垂直关系的判定及性质,空间角的计算.2.考查方式:(1)小题:主要通过多面体的展开图、截面,几何体的折叠,外接球等问题考查多面体、球的表面积和体积;(2)大题: 命题第一问主要考查证明平行和垂直关系,第二问求空间角.3.学科素养:直观想象、逻辑推理、数学运算
新高考全国Ⅱ卷 5,10 19 22
2020 新高考全国Ⅰ卷 4,16 20 22
新高考全国Ⅱ卷 4,16 20 22
1．直观图
斜二测画法的直观图面积与原图形的面积的关系为S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图．
2．空间几何体的表面积与体积
(1)长方体、正方体的体对角线等于其外接球的直径；
(2)n面体的表面积为S，体积为V，则内切球的半径r＝；
(3)直三棱柱的外接球半径：R＝，其中r为底面三角形的外接圆半径，L为侧棱长，如果直三棱柱有内切球，则内切球半径：R′＝；
(4)面积射影定理：设平面α外的△ABC在平面α内的射影为△ABO，分别记△ABC与△ABO的面积为S和S′，记△ABC所在的平面与平面α所成的二面角为θ，则有： cos θ＝.
备注：当二面角的范围为时，cos θ＝－.
3．正四面体的常用结论
假设正四面体的边长为a，则有：
(1)h＝a，S表面积＝a2，V体积＝a3；
(2)外接球和内切球的球心重合，且球心在高对应的线段上，它是高的四等分点，球心到顶点的距离为外接球的半径R＝a，球心到底面的距离为内切球的半径r＝a，因此R∶r＝3∶1.
4．三角形的“心”
三棱锥P ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O：
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的外心；
(2)若PA，PB，PC与面ABC所成角相等，则点O是△ABC的外心；
(3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的垂心；
(4)若PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，则点O是△ABC的垂心；
(5)若P到△ABC的三边距离相等，则点O是△ABC的内心．
(6)若侧面与底面所成的二面角相等，则点O是△ABC的内心．
5．空间向量
(1)对空间任一点O，若＝x＋y(x＋y＝1)，则P，A，B三点共线．
(2)对空间任一点O，若＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，则P，A，B，C四点共面．
(3)平面的法向量的确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为
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