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人教A版（2019）选择性必修第一册 1.3 空间向量及其运算的坐标表示
一、单选题
1．在正方体中，与直线和都垂直，则直线与的关系是（ ）
A．异面 B．平行 C．垂直不相交 D．垂直且相交
2．已知向量，，且，其中，，则（ ）
A．4 B． C．2 D．
3．已知向量，，，则向量的坐标为（ ）.
A． B． C． D．
4．在空间直角坐标系中，已知，，则点B的坐标是
A． B．
C． D．
5．已知，，O为原点，则与的夹角是（ ）
A．0 B．π C． D．
6．已知空间三点，，，若向量与的夹角为60°，则实数（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．如图所示，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点在平面内，且，，则点的坐标为（ ）．
A．
B．
C．
D．
8．已知空间三点，，，若，且，则点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D． 或
9．已知直线的一个方向向量，且直线过和两点，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．对于任意空间向量 ，给出下列三个命题：①；②若，则为单位向量；③.其中真命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在底面上（包括边界）移动，且满足，则线段的长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．3
二、填空题
13．在z轴上求一点A，使它到点的距离为，则点A的坐标是___________.
14．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则与的夹角θ的大小是________．
15．已知点，则在上的投影向量的长度为________.
16．设向量，.其中.则与夹角的最大值为________.
三、解答题
17．求下列各题中两个向量夹角的大小：
(1)，；
(2)，，其中是单位正交基底．
18．求证：以A（4，1，9），B（10，–1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形．
19．已知空间三点，，．
(1)若，且，求点P的坐标；
(2)求以，为邻边的平行四边形的面积．
20．已知空间三点，，.
（1）求的值；
（2）若，求的值
21．如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标表示求出，再利用向量的坐标运算可得，根据共线定理即可判断.
【详解】
设正方体的棱长为1.
以为坐标原点，所在直线
分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则.
设，则，取.
，
.
故选：B
本题考查了空间向量垂直的坐标表示、空间向量的坐标表示、空间向量共线定理，属于基础题.
2．B
由可得，利用空间向量共线的坐标表示列方程可求得的值，进而可得的值.
【详解】
因为向量，，且，可得，
所以可得，所以，
故选：B.
3．A
根据空间向量线性运算的坐标表示计算，
【详解】
向量，，，
则向量，
故选：A.
本题考查空间向量线性运算的坐标表示，属于基础题．
4．C
根据空间向量的坐标运算即可求解.
【详解】
设，，
则，
而，
所以，解得，
所以，
故选：C.
本题考查了空间向量的坐标运算，属于基础题.
5．B
求出和，利用向量关系即可求出.
【详解】
因为，，则，，
则，
所以与的夹角是.
故选：B.
6．B
直接由空间向量的夹角公式计算即可
【详解】
，，，
，
由题意有
即，
整理得，
解得
故选：B
7．B
过点作，垂足为，然后在中求解.
【详解】
过点作，垂足为，
在中，，，，
得、，
所以，
所以，
所以点的坐标为，
故选：B．
8．C
设点坐标，由可解出坐标，再用空间向量模长公式即可.
【详解】
设，则，，
因为，所以，，，
所以，又，
解得或，所以或，
故选:C
9．D
求得直线的方向向量，利用共线求得的值，从而求得结果.
【详解】
∵和，，
∵直线的一个方向向量为，故设，
∴，即，，∴，
故选：D.
10．C
利用空间向量的坐标运算即可求解.
【详解】
因为，，
所以，
故选：C.
11．B
由空间向量平行的条件可判断①；根据向量的模的计算可判断②；由空间向量垂直的条件可判断③，从而可得选项.
【详解】
由可以推出，反之不一定成立，例：、，则，
故①不正确；
当时，，故②不正确；
当时，，即，反之也成立，故③正确.
所以正确命题的个数为：1.
故选：B.
12．D
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段的长度的最大值．
【详解】
解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
设P（a，b，0），则（0，0，2），E（1，2，0），（2，2，2），
＝（a 2，b 2， 2），＝（1，2， 2），
∵P⊥E，
，
∴a＋2b 2＝0，
∴点P的轨迹是一条线段，
，
由二次函数的性质可得当时，可取到最大值9，
∴线段P的长度的最大值为3．
故选：D．
本题考查线段长的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
13．或
设出点A坐标，利用空间两点间距离公式列出方程求解即可.
【详解】
设点A的坐标为，
依题意得，，解得或，
所以点A的坐标为或.
故答案为：或
14．120°
根据向量的坐标运算，求得与的坐标，再利用向量的夹角公式，准确运算，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，
则，
所以,
又因为，所以.
故答案为：
本题主要考查了空间向量的坐标运算，以及向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记空间向量的坐标运算，以及向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15．
计算，，根据投影公式得到答案.
【详解】
由已知得，
∴，又，
所以在上的投影向量的长度为.
故答案为：.
16．
由两向量中的已知坐标和未知坐标间的关系，得出两向量的终点的轨迹，运用向量的夹角公式求解.
【详解】
向量的终点都在以为圆心，1为半径的圆上；
向量的终点都在以为圆心，1为半径的圆上；
且为圆与圆的距离为1，
如图所示，两向量的夹角最大，为.
本题考查动点的轨迹和空间直角坐标系中向量的夹角，属于中档题.
17．(1)
(2)
（1）根据向量坐标夹角公式求解即可；
（2）先将向量，化为坐标形式，再利用坐标夹角公式求解．
(1)
由，得夹角为
(2)
由是单位正交基底，则，
，
所以，得夹角为
18．见证明
利用空间间两点的距离公式分别求AB,AC，BC，进而可得三角形的形状.
【详解】
A（4，1，9），B（10，–1，6），C（2，4，3），
AB==7，
AC==7，
BC==7，
∴AB2+AC2=BC2，AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形．
本题主要考查了空间中两点距离的求解，利用三角形的长度关系判断三角形的形状，属于基础题.
19．(1)或
(2)
（1）设．由，解得，即可求得点P的坐标；
（2）求出，，利用向量的夹角公式求得，进而求得，即可求出平行四边形的面积.
(1)
∵，∴可设．
又，∴．
又，∴，
∴，∴或．
设点P的坐标为，则，
∴或，解得或，
故所求点P的坐标为或．
(2)
由题中条件可知，，
∴，
∴，
∴以，为邻边的平行四边形的面积
．
20．（1）2；（2）.
（1）先根据点的坐标，分别求得向量，，再利用空间向量的数量积运算求解.
（2）根据，由求解.
【详解】
（1）因为，，
所以.
因为，，
所以，
所以.
（2）由（1）可知，，
所以，.
因为，
所以，
解得.
本题主要考查空间向量的数量积运算，属于中档题.
21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.
（Ⅰ）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出；
（Ⅱ）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；
（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】
依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），
可得、、、、
、、、、.
（Ⅰ）依题意，，，
从而，所以；
（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，
，．
设为平面的法向量，
则，即，
不妨设，可得．
，
．
所以，二面角的正弦值为；
（Ⅲ）依题意，．
由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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