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专题7 与玻璃球相关的光的折射计算问题（能力篇）
1.（10分（2020东北三省四市二模）如图所示为一个半径为R的透明介质球体，M、N两点在一条直线上关于球心O对称，与球心的距离均为。一细束单色光从M点射向透明介质球体，从P点射人，穿过球体后到达N点。PA垂直于MN，且PA=R。设光在真空中传播的速度为c。求：
（i）介质球的折射率；
（ii）光从M点射出后到达N点所用时间。
2．（2020高考模拟1）如图所示，一单色细光束AB从真空中以入射角i＝45°，入射到折射率n＝的某透明球体的表面上B点。经研究发现光束在过球心O的平面内，从B点折射进入球内后，又经球的内表面只反射一次，再经球表面上的C点折射后，以光线CD射出球外，真空中的光速为3×108 m/s。则：
(1)光束在球内的传播速度是多少？
(2)出射光线CD相对入射光线AB方向改变的角度是多少？
3．（10分）（2020福建莆田质检）如图，真空中有一半径为的透明介质球，、为它的两条直径。光线平行于射到介质球上的点。
试判断光线进入介质球后，第一次再到达界面时能否发生全反射，并说明理由；
若与的距离，光线经介质球内表面一次反射后从点射出，求介质的折射率。
4.（4分）（2020江苏高考仿真模拟2）如图所示，折射率为n=2的玻璃球半径为R，O点为球心，现将玻璃球下端切掉一部分，形成一个球缺，球缺的高度为，现有一束与球缺横截面积相同的均匀光柱垂直于界面射入球缺。求：
①则该光在玻璃球缺里发生全反射的临界角C；
②光第一次能从球缺上方的界面射出的光柱面积S。
5. （2020全国I卷高考模拟9）如图所示，一透明球体置于空气中，球半径R＝10 cm，折射率n＝，MN是一条通过球心的直线，单色细光束AB平行于MN射向球体，B为入射点，AB与MN间距为5 cm，CD为出射光线。
(ⅰ)补全光路并求出光从B点传到C点的时间；
(ⅱ)求CD与MN所成的角α。
6.（2019成都摸底）（8分）某种透明材料制成的空心球体外径是内径的2倍，其过球心的某截面（纸面内）如图所示。一束单色光（纸面内）从外球面上A点入射，入射角为45°时，光束经折射后恰好与内球面相切。
（i）求该透明材料的折射率；
（ii）欲使光束从A点入射后，恰好在内球面上发生全反射，则应将入射角变为多少度？
7．(10分) （2019辽宁沈阳三模）如图是一个半径为R、球心为O的半球形透明玻璃体的截面图。在距离O点右侧1.5R处有一个竖直放置的幕布M N，OA为球体的一条水平轴线且与幕布MN垂直。
(i)某光源发出的细光线沿O A方向从O点射入半球形透明玻璃体并在幕布上形成二亮斑。现保持光线的传播方向不变让光源缓慢下移，当射入点位于O点正下方时，幕布上的亮斑突然消失，求该透明玻璃半球体折射率；
（ii）若将该光源置于O点左侧处的S点，其发出的一细光线沿与OA夹角方向射向该透明玻璃半球体，求光线由光源到达幕布所用时间。 (已知光在真空中传播速度为c，不考虑光线在透明玻璃内的二次反射) 。
8.（10分）（2019山东潍坊三模）如图，一玻璃工件的上半部是半径为R的半球体，O点为球心；下半部是半径为R、高为2R的圆柱体，圆柱体底面镀有反射膜。有一平行于中心轴OC的光线从半球面射入，该光线与OC之间的距离为0.6R．已知最后从半球面射出的光线恰好与入射光线平行（不考虑多次反射）。求该玻璃的折射率。
9.(2019广东七校调研)(10分)如图为一玻璃球过球心的横截面，玻璃球的半径为R，O为球心，AB为直径，来自B点的光线BM在M点射出，出射光线平行于AB，另一光线BN恰好在N点发生全反射，已知∠ABM＝30°，求：
(i)玻璃的折射率；
(ii)球心O到BN的距离。
10．（10分）（2018湖北华大新高考联盟测评）玻璃球体的半径为R，折射率为n，P为经过球心的轴线上的一点，且，如图所示，若从P点向右发出的任意一条光线经球面折射后，其反向延长线均聚焦于Q点（未画出），则P、Q称为齐明点。试求齐明点Q点的位置。
（2）Q点在CP的延长线上，距C点nR，考查光的折射。
11.如图16-11所示,用折射率n=的玻璃做成一个外径为R的半球形空心球壳.一束与O'O平行的平行光射向此半球的外表面.若让一个半径为R的圆形遮光板的圆心过O'O轴,并且垂直该轴放置,则球壳内部恰好没有光线射入.问:
(1)临界光线射入球壳时的折射角r为多大
(2)球壳的内径R'为多少
图16-11
图专题7 与玻璃球相关的光的折射计算问题（能力篇）
1.（10分（2020东北三省四市二模）如图所示为一个半径为R的透明介质球体，M、N两点在一条直线上关于球心O对称，与球心的距离均为。一细束单色光从M点射向透明介质球体，从P点射人，穿过球体后到达N点。PA垂直于MN，且PA=R。设光在真空中传播的速度为c。求：
（i）介质球的折射率；
（ii）光从M点射出后到达N点所用时间。
【命题意图】本题考查了折射定律、光的传播时间计算及其相关知识点，意在考查综合运用知识的能力、应用数学知识解决物理问题的能力，体现的核心素养是科学思维能力。
【解题思路】
（2）（ⅰ）根据球的对称性，球内的折射光线平行MN，光路如图所示。设入射角为β，折射角为θ。由已知条件可得：
sinθ=PA/R= 0.6 ………………①（2分）
由数学知识可得以下结论：
AO2=R2－PA2， 解得：AO=4R/5
所以 AO=AM α =θ
β＝θ＋α=2θ ………………②（1分）
sinβ= sin 2θ = 2 sinθcosθ= ……………………③（1分）
n = = ……………………④（2分）
（ⅱ）光在介质球中的传播速度为v = = c ……………………⑤（1分）
光在空气中传播的时间为t1 = ……………………⑥（1分）
光在介质球中传播时间为t2 = ……………………⑦（1分）
总时间t = + = ……………………⑧（1分）
2．（2020高考模拟1）如图所示，一单色细光束AB从真空中以入射角i＝45°，入射到折射率n＝的某透明球体的表面上B点。经研究发现光束在过球心O的平面内，从B点折射进入球内后，又经球的内表面只反射一次，再经球表面上的C点折射后，以光线CD射出球外，真空中的光速为3×108 m/s。则：
(1)光束在球内的传播速度是多少？
(2)出射光线CD相对入射光线AB方向改变的角度是多少？
【参考答案】　(1)1.5×108 m/s　(2)150
【名师解析】　(1)根据公式n＝
光束在球内的传播速度
v＝＝1.5×108 m/s。
(2)作出光路图如图，由折射定律得n＝
由几何关系及对称性得＝2r－i
由以上各式解得α＝30°
出射光线CD相对入射光线AB方向改变的角度为β＝180°－α＝150°。
3．（10分）（2020福建莆田质检）如图，真空中有一半径为的透明介质球，、为它的两条直径。光线平行于射到介质球上的点。
试判断光线进入介质球后，第一次再到达界面时能否发生全反射，并说明理由；
若与的距离，光线经介质球内表面一次反射后从点射出，求介质的折射率。
【参考答案】（ⅰ）不会发生全反射；
（ⅱ）介质的折射率是。
【名师解析】（ⅰ）如图，在点，根据折射定律得：
由几何关系可知：
设临界角为，则
由上述各式解得：，不会发生全反射；
（ⅱ）如图根据对称性，由几何关系可知：
，得
由几何知识有
根据折射定律得：
联立解得
4.（4分）（2020江苏高考仿真模拟2）如图所示，折射率为n=2的玻璃球半径为R，O点为球心，现将玻璃球下端切掉一部分，形成一个球缺，球缺的高度为，现有一束与球缺横截面积相同的均匀光柱垂直于界面射入球缺。求：
①则该光在玻璃球缺里发生全反射的临界角C；
②光第一次能从球缺上方的界面射出的光柱面积S。
【参考答案】300，。
【名师解析】①作出如图所示的光路图，当（1分），
解得发生全发射的临界角为（1分）。
②由几何关系可知（1分），
故光第一次能从球缺上方的界面射出的光柱面积为（1分）。
5. （2020全国I卷高考模拟9）如图所示，一透明球体置于空气中，球半径R＝10 cm，折射率n＝，MN是一条通过球心的直线，单色细光束AB平行于MN射向球体，B为入射点，AB与MN间距为5 cm，CD为出射光线。
(ⅰ)补全光路并求出光从B点传到C点的时间；
(ⅱ)求CD与MN所成的角α。
【名师解析】 (ⅰ)连接BC，光路图如图所示；在B点光线的入射角、折射角分别标为i、r，
sin i＝＝，所以i＝45°。
由折射率定律，在B点有n＝
可得sin r＝
故r＝30°。
又BC＝2Rcos r，v＝
所以t＝＝＝×10－9 s。
(ⅱ)由几何关系可知∠COP＝15°，∠OCP＝135°，所以α＝30°。
【参考答案】(ⅰ)光路图见解析　×10－9 s　(ⅱ)30°
6.（2019成都摸底）（8分）某种透明材料制成的空心球体外径是内径的2倍，其过球心的某截面（纸面内）如图所示。一束单色光（纸面内）从外球面上A点入射，入射角为45°时，光束经折射后恰好与内球面相切。
（i）求该透明材料的折射率；
（ii）欲使光束从A点入射后，恰好在内球面上发生全反射，则应将入射角变为多少度？
【命题意图】此题考查折射定律、全反射及其相关知识点。
【解题思路】（i）如答图2，设光束经折射后到达内球面上B点在A点，由题意知，入射角i＝45°，折射角r＝∠BAO
由几何关系有：sinr＝＝0.5（1分）
由折射定律有：n＝（2分）
代入数据解得：n＝（1分）
（ii）如答图3，设在A点的入射角为i'时，光束经折射后到达内球面上C点，并在C点恰发生全反射，则光束在内球面上的入射角∠ACD恰等于临界角C
由sinC＝
代入数据得：∠ACD＝C＝45°
由正弦定理有
AO＝2R，CO＝R
解得：sin∠CAO＝
由折射定律有：n＝
解得：sini'＝0.5，即此时的入射角i'＝30°
（其他合理解法，参照给分）
7．(10分) （2019辽宁沈阳三模）如图是一个半径为R、球心为O的半球形透明玻璃体的截面图。在距离O点右侧1.5R处有一个竖直放置的幕布M N，OA为球体的一条水平轴线且与幕布MN垂直。
(i)某光源发出的细光线沿O A方向从O点射入半球形透明玻璃体并在幕布上形成二亮斑。现保持光线的传播方向不变让光源缓慢下移，当射入点位于O点正下方时，幕布上的亮斑突然消失，求该透明玻璃半球体折射率；
（ii）若将该光源置于O点左侧处的S点，其发出的一细光线沿与OA夹角方向射向该透明玻璃半球体，求光线由光源到达幕布所用时间。 (已知光在真空中传播速度为c，不考虑光线在透明玻璃内的二次反射) 。
【命题意图】本题考查折射定律、光速、光的传播时间计算及其相关知识点。
【解题思路】
（ⅰ）如图1所示，根据几何关系有：
① (1分)
细光束在B点水平入射，在D点发生全反射，根据折射定律：
则 ②(2分)
（ⅱ）作光路图如图2所示。由几何关系可得
lOB＝tanθ＝
由折射定律可得 ③（1分）
解得α＝30°
在△OBC中， ④(2分)
计算可得 β=30° ⑤(1分)
根据折射定律： ⑥(1分)
解得 γ＝60°
光线第一次从玻璃半球体水平出射，即出射光线CD方向与OA平行向右。
在玻璃半球体中传播的距离lBC＝lOB，C点到幕布的距离为l=1.5R-Rsin30°=R
由折射率与光速关系得： ⑦(1分)
解得
⑧(1分)
8.（10分）（2019山东潍坊三模）如图，一玻璃工件的上半部是半径为R的半球体，O点为球心；下半部是半径为R、高为2R的圆柱体，圆柱体底面镀有反射膜。有一平行于中心轴OC的光线从半球面射入，该光线与OC之间的距离为0.6R．已知最后从半球面射出的光线恰好与入射光线平行（不考虑多次反射）。求该玻璃的折射率。
【思路分析】根据题意和光的折射规律画出光路图，由几何关系确定入射角的正弦值与折射角的正弦值，再由折射定律求玻璃的折射率；
【名师解析】由题意，结合光路的对称性与光路可逆可知，与入射光相对于OC轴对称的出射光线一定与入射光线平行，所以从半球面射入的光线经折射后，将在圆柱体底面中心C点反射，如图：
设光线在半球处的入射角为i，折射光线的折射角为r，则：
sini＝nsinr…①
由正弦定理得：＝…②
由几何关系可知，入射点的法线与OC之间的夹角也等于i，该光线与OC之间的距离：L＝0.6R
则：sini＝…③
由②③得：sinr＝
由①③④得：n＝≈1.43
答：该玻璃的折射率为1.43。
9.(2019广东七校调研)(10分)如图为一玻璃球过球心的横截面，玻璃球的半径为R，O为球心，AB为直径，来自B点的光线BM在M点射出，出射光线平行于AB，另一光线BN恰好在N点发生全反射，已知∠ABM＝30°，求：
(i)玻璃的折射率；
(ii)球心O到BN的距离。
【命题意图】本题考查折射定律和全反射及其相关知识点。
【解题思路】(i)设光线BM在M点的入射角为i，折射角为r，由几何知识可知i＝30°，r＝60°，（2分）
根据折射定律知 n＝ （2分）
得n＝ （2分）
(ii)光线BN恰好在N点发生全反射，则∠BNO为临界角C，
则sin C＝ （2分）
设球心到BN的距离为d，由几何知识可知d＝Rsin C （1分）
得d＝R （1分）
10．（10分）（2018湖北华大新高考联盟测评）玻璃球体的半径为R，折射率为n，P为经过球心的轴线上的一点，且，如图所示，若从P点向右发出的任意一条光线经球面折射后，其反向延长线均聚焦于Q点（未画出），则P、Q称为齐明点。试求齐明点Q点的位置。
（2）Q点在CP的延长线上，距C点nR，考查光的折射。
【名师解析】从P点向球面任意作一条光线PA，与轴线夹角为，设光线在球面上的入射角为i，折射角为r，光路如图。
由折射定律（2分）
在PCA中，由正弦定理：
即（2分）
解得：r＝（2分）
AQ为折射光线的反向延长线，有QAC∽APC
所以：，即：（2分）
解得：＝nR（2分）
11.如图16-11所示,用折射率n=的玻璃做成一个外径为R的半球形空心球壳.一束与O'O平行的平行光射向此半球的外表面.若让一个半径为R的圆形遮光板的圆心过O'O轴,并且垂直该轴放置,则球壳内部恰好没有光线射入.问:
(1)临界光线射入球壳时的折射角r为多大
(2)球壳的内径R'为多少
图16-11
【参考答案】.(1)30°　(2)R
【名师解析】 (1)设入射角为i,由几何知识得
sin i==
设折射角为r,由折射定律得n=
解得r=30°.
(2)设临界角为C,对临界光线,有
sin C=
解得C=45°
在如图所示的△Oab中,由正弦定理得
=
解得R'=R.
图

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