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5.1.2 导数的概念及其几何意义
【学习目标】
1. 经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景．
2.了解导函数的概念，理解导数的几何意义．
【自主学习】
知识点：
一、导数
1、平均变化率
对于函数，自变量x从x0变化到x0+△x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0+△x)。这时，x的变化量为△x，y的变化量为△y=f(x0+△x)—f(x0)。我们把比值，即=______________叫做函数从x0到x0+△x的平均变化率。
2、导数的概念：
如果当△x→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在x=x0处可导，并把这个确定的值叫做在x=x0处的导数（也称为瞬时変化率），记作_________或_________，即______________________________8ikm_____________________
3、求函数在处的导数的步骤：
①求函数的增量△y＝_________________________
②求函数的平均变化率＝_________________________
③取极限，得导数＝__________________
4、注意事项：
①△x是自变量x在x0处的改变量，所以△x可正可负但≠0，△y是函数值的改变量，可以为0；
②函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变量与自变量改变量之比的极限，因此，它是一个常数而不是变量。
③函数在x0处可导，是指△x→0时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。
④的不同表达方式：
二、导数的几何意义
1、函数在x0处的导数的几何意义是曲线在点P（x0，f（x0））处的切线的________。也就是说，曲线在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率是_______________，相应的，切线方程为________________________________________
2、当x＝x0时，是一个唯一确定的数，当x变化时，y=就是x的函数，我们称它为y=f（x）的导函数（简称导数），的导函数有时也记作，
即＝＝
3、理解导数的几何意义应注意：
（1）利用导数求曲线的切线方程：
①求出函数在x0处的导数；
②利用直线方程的点斜式得切线方程为y－y0＝（x－x0）
（2）若曲线点P（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直。
（3）显然>0，切线的倾斜角为锐角；<0，切线的倾斜角为钝角；＝0，切线与x轴平行。
【合作探究】
探究一 求函数的平均变化率
例1.已知函数，求它在下列区间上的平均变化率
（1）[1,3] (2)[-4,-2] (3)
探究二 利用导数的定义求函数的导数
例2.（1）求函数在处的导数
（2）求函数的导数
探究三 导数定义式的理解与应用
例3.设函数处可导，则等于（ ）
A. B. C. D.
变：若，则等于（ ）
A.3 B.4 C.12 D.
探究四 导数几何意义的应用
已知曲线
求曲线C在横坐标为的点处的切线方程
求曲线C过点切线方程
延伸：本例中切线与曲线C是否还有其他的公共点？
【课堂小结】
【当堂检测】
1.函数在区间上的平均变化率为3，则实数m的值为（ ）
A.3 B.2 C.1 D.4
2.若函数，则的值等于（ ）
A. B.1 C.-1 D.
3.函数处的瞬时变化率是
4.曲线在点（1,0）处的切线的倾斜角等于
5.已知函数
（1）求函数在区间[3,4]上的平均变化率
（2）求函数的图像在点处的切线方程

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