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人教版数学七年级下册
第八章二元一次方程组方案问题训练1
已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案（即A、B两种型号的车各租几辆，有几种租车方案）．
新房装修后，甲居民购买家居用品的清单如下表，因污水导致部分信息无法识别，根据下表解决问题：
家居用品名称 单价（元） 数量（个） 金额（元）
挂钟 30 2 60
垃圾桶 15
塑料鞋架 40
艺术饰品 a 2 120
电热水壶 35 1 b
合计 8 310
（1）直接写出a=______，b=______；
（2）甲居民购买了垃圾桶，塑料鞋架各几个？
（3）若甲居民再次购买艺术饰品和垃圾桶两种家居用品，共花费150元，则有哪几种不同的购买方案？
某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划6月份生产安装600辆，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车．
（1）每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？
（2）如果工厂招聘n名新工人（0＜n＜10），使得招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成6月份（30天）的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
某中学库存若干套桌椅，准备修理．现有甲、乙两木工组，甲每天修理桌椅16套，乙每天修理桌椅24套，甲单独修完这些桌椅比乙单独修完多用20天，学校每天付甲组80元修理费，付乙组120元的修理费．
（1）甲、乙单独修完这批桌椅各需要多少天？
（2）在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天10元生活补助费，现有三种修理方案：①由甲单独修理；②由乙单独修理；③甲、乙合作同时修理你认为哪种方案省时又省钱？为什么？
疫情期间为满足市场需求，某厂家每天定量生产医用口罩50万个，N95口罩30万个，两种口罩的成本和售价如表所示：
成本（元/个） 售价（元/个）
医用口罩 0.6 1.2
N95口罩 3.5 4
（1）若该厂家将每天生产的口罩采用两种方案全部打包，并进行整包批发销售.
方案1：每包口罩含医用口罩5000个，N95口罩2500个；
方案2：每包口罩含医用口罩4000个，N95口罩3000个.
则每天按照方案1和方案2打包的口罩分别有多少包？
（2）为了支持防疫工作，从按照两种方案打包的口罩中分别抽取若干包口罩免费捐赠给疫情严重的地区.若该企业把捐赠后剩余的口罩全部售出后，每日仍可获利9万元，则从方案1和方案2中各抽取了多少包？
某校准备购进21套桌椅来筹建一间多功能数学实验室，现有两种桌椅可供选择：甲类桌椅是三角形桌，每桌可坐3人，乙类桌椅是五边形桌，每桌可坐5人．学校分两次进行采购，第一次采购甲、乙桌椅均是原价；第二次采购时，甲因原材料上涨提价了20%，乙因促销活动恰好降价20%；两次采购的数量和费用如表：
购买甲类桌椅（套） 购买乙类桌椅（套） 购买总费用（元）
第一次采购 6 5 1950
第二次采购 3 7 1716
（1）求第一次购买时，甲、乙类桌椅每套的购买价格；
（2）若该校每班有学生42人，问：该多功能数学实验室最多能同时容纳几个班级开展活动？
（3）某班42位同学需使用该实验室，为了合理分配学习资源，管理员规定每套桌椅必须坐满，且桌子的使用数量尽量少，请你设计人员分配方案．
已知：用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆型车和1辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题:
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）该物流公司有几种租车方案；列出所有方案。
（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
某牛奶加工厂现有牛奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶每吨可获利润500元，制成酸奶销售，每吨可获利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元．该工厂的生产能力是：如果制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片可加工2吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕，
为此该厂设计了两种可行方案：
方案一：尽可能多制成奶片，其余的直接销售鲜牛奶；
方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，你认为哪种方案获利较多，为什么
某通讯器材商场，计划用6万元从厂家购进若干部新型手机以满足市场需求，已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别是甲种型号手机1800元/部，乙种型号手机600元/部，丙种型号手机1200元/部，
（1）若商场同时购进两种不同型号的手机共40部，并恰好将钱用完，请你通过计算分析进货方案；
（2）在（1）的条件下，假如甲种型号手机可赚200元/部，乙种型号手机可赚100元/部，丙种型号手机120元/部，求赢利最多的进货方案.
已知3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货18吨．用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货10吨．某物流公司现有30货物，计划同时租用A型车a辆和B型车b辆，一次运完，且每辆车都满载货物．根据以上信息解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车载满货物一次分别可运货物多少吨？
（2）请帮助物流公司设计租车方案
（3）若A型车每辆车租金每次100元，B型车每辆车租金每次120元．请选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费．
某储运公司现有货物35吨，要全部运往灾区支援灾区重建工作.计划要同时租用A、B两种型号的货车，一次运送完全部物资，且每辆车均为满载.已知在货车满载的情况下，2辆A型货车和3辆B型货车一次共运货18吨；3辆A型货车和2辆B型货车一次共运货17吨.根据以上信息回答下列问题：
（1）一辆A型车和一辆B型车各能满载货物多少吨？
（2）储运公司要按计划完成本次货物运送，且每辆车都满载，则需要同时租用A、B两种型号的货车各几辆？请求出所有的租车方案.
已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车辆，B型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨
(2)请你帮该物流公司设计租车方案；
(3)若A型车每辆需租金100元／次，B型车每辆需租金120元／次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
为进一步实施惠民工程，方便市民出行，城区6条公交线路进行了优化调整，自6月1日起实行免费乘坐．为此，公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆．若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？
已知：用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可以运货11吨；用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可以运货19吨.某物流公司现在有33吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次性运完所有货物，且恰好每辆车都装满货物.问：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次分别可以运送货物多少吨？
（2）若A型车每辆需租金60元/次，B型车每辆需租金110元/次，请你帮物流公司设计一种最省钱的租车方案，并求出最少租车费.
2021年4月，习近平总书记赴广西考察调研的首站来到桂林市红军长征湘江战役纪念园，缅怀革命先烈．某校为传承红色基因，计划组织师生共500人赴纪念园开展教育活动．现有甲、乙两种型号的客车可租用，已知2辆甲型客车和1辆乙型客车可以满载师生130人，1辆甲型客车和2辆乙型客车可以满载师生140人．
（1）求甲、乙型两种客车每辆可分别满载多少人？
（2）若计划租用甲型客车a辆，乙型客车b辆，恰好能一次运送所有师生且每辆车都坐满，问共有哪几种租车方案？
武汉疫情，牵动全国人民的心。一方有难八方支援，射洪市政府筹集了物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：(假设每辆车均满载)
车型 甲 乙 丙
汽车运载量(吨/辆) 5 8 10
汽车运费(元/辆) 400 500 600
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节约运费，该市政府可以决定甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
（3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元．
某景点的门票价如表：
购票人数 1～50人 51～100人 100人以上
每人门票价 12元 10元 8元
某校九年级（9）（10）两个班共102人去游览该景点，其中（9）班人数较少，不到50人，（10）班人数较多，有50多人，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共应付1118元：两班各有学生多少人？请你为他们设计一个购票方案，最多能省多少钱？
参考答案
1.解：（1）设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨，y吨，
根据题意得：，
解得：．
答：1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨．
（2）由题意可得：3a+4b=31，
∴b=．
∵a，b均为正整数，
∴有、和三种情况．
故共有三种租车方案，分别为：
①A型车1辆，B型车7辆；
②A型车5辆，B型车4辆；
③A型车9辆，B型车1辆．
2.60 35
3.解：（1）设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车，
依题意，得：，
解得：．
答：每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车．
（2）∵工厂招聘n名新工人（0＜n＜10），招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成6月份（30天）的安装任务，
∴熟练工每天需要安装自行车数量为，
∴需抽调熟练工5-n名才能完成安装任务，
∵0＜n＜10，且5-n为整数，
∴n=2，4，6，8，
∴共有4种招聘方案．①招聘2名新工人，抽调4名熟练工；②招聘4名新工人，抽调3名熟练工；③招聘6名新工人，抽调2名熟练工；④招聘8名新工人，抽调1名熟练工．
4.解：（1）设甲、乙单独修理这批桌椅分别需要x天、y天，由题意，得：
，
解得，
答：甲、乙单独修理这批桌椅分别需要60天、40天；
（2）方案①的费用：（80＋10）×60＝5400（元）；
方案②的费用：（120＋10）×40＝5200（元）；
方案③的费用：（元），
综上，方案③既省时又省钱.
5.解：（1）设每天按照方案1打包的口罩有x包，按照方案2打包的口罩有y包，
依题意，得：，
解得：．
答：每天按照方案1打包的口罩有60包，按照方案2打包的口罩有50包．
（2）设从方案1中抽取了m包，方案2中抽取了n包，
依题意，得：1.2×（500000-5000m-4000n）+4×（300000-2500m-3000n）-0.6×500000-3.5×300000=90000，
∴m=．
∵m，n均为正整数，
∴．
答：从方案1中抽取了12包，方案2中抽取了10包．
6.解：（1）设第一次购买时，甲类桌椅每套的购买价格为x元，乙类桌椅每套的购买价格为y元，
根据题意得：，
解得：，
答：第一次购买时，甲类桌椅每套的购买价格为150元，乙类桌椅每套的购买价格为210元，
（2）由题意得：甲类桌椅两次采购了9套，乙类采购了12套，
可容纳的总人数为3×9+5×12=87（人）
=2
答：该多功能数学实验室最多能同时容纳2个班级开展活动，
（3）若使用8张乙类桌子，则剩2名学生，甲类桌子坐不满，不合题意，
若使用7张乙类桌子，则剩7名学生，甲类桌子坐不满，不合题意，
若使用6张乙类桌子，则剩12名学生，甲类桌子正好坐满4张，符合题意，
答：应使用4张甲类桌子，6张乙类桌子．
7.解：（1）设每辆型车、型车都装满货物一次可以分别运货吨、吨，
依题意列方程组得：
，
解方程组，得：，
答：1辆型车装满货物一次可运3吨，1辆型车装满货物一次可运4吨．
（2）结合题意和（1）得：，
、都是正整数
或或
答：有3种租车方案：
方案一：型车9辆，型车1辆；
方案二：型车5辆，型车4辆；
方案三：型车1辆，型车7辆．
8.解：（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，
依题意列方程组得：
，
解方程组，得：，
答：1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨．
（2）结合题意和（1）得：3a+4b=31，
∴a=
∵a、b都是正整数
∴或或
答：有3种租车方案：
方案一：A型车9辆，B型车1辆；
方案二：A型车5辆，B型车4辆；
方案三：A型车1辆，B型车7辆．
（3）∵A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，
∴方案一需租金：9×100+1×120=1020（元）
方案二需租金：5×100+4×120=980（元）
方案三需租金：1×100+7×120=940（元）
∵1020＞980＞940
∴最省钱的租车方案是方案三：A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元．
9.解：
若选择方案一，所获利润：4×2×2 000+(9-8)×500=16500(元)；
若选择方案二，设4天内加工酸奶x吨，加工奶片y吨，于是有
解得，所以总利润等于1200×3+2000×6=15600(元).
∵16500＞15600，
∴选择第一种方案获利较多.
10.解：
（1）设甲种型号手机x部，乙种手机y部，丙种手机z部．
根据题意得：．解得．
．解得．
．解得．
答：有两种购买方案：甲种型号手机30部，乙种手机10部；或甲种型号手机20部，丙种手机20部；
（2）方案一盈利：200×30+100×10=7000（元）
方案二盈利：200×20+120×20=6400（元）
所以购买甲种型号手机30部，乙种手机10部所获盈利较大．
11.解：（1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，
依题意，得：，
解得：
（2）结合题意和上一问得：4a+3b＝30
∴
因为a，b都是正整数，
∴或
有两种租车方案：
方案一：A型车6辆，B型车2辆；
方案二：A型车3辆，B型车6辆；
（3）A型车每辆车租金每次100元，B型车每辆车租金每次120元，
方案一：6×100+2×120＝840；
方案二：3×100+6×120＝1020；
∵1020＞840
∴方案一最省钱，费用为840元.
12.解：（1）设一辆A型车和一辆B型车分别能满载货物x吨、y吨,
根据题意，得,
解得,
经检验，方程组的解符合题意,
所以一辆A型车和一辆B型车分别能满载货物3吨、4吨;
（2）设储运公司要同时租用A、B两种型号的货车分别为m辆和n辆,
根据题意，得3m+4n=35,
正整数解为,
租车方案1:1辆A型车和8辆B型车；
方案2：5辆A型车和5辆B型车；
方案3：9辆A型车和2辆B型车.
13.解：（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，
依题意列方程组得，
解方程组，得，
答：1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨．
（2）结合题意和（1）得3a+4b=31，
∴a=，
∵a，b都是正整数，
∴或或，
答：有3种租车方案，即
方案一，A型车9辆，B型车1辆；
方案二，A型车5辆，B型车4辆；
方案三，A型车1辆，B型车7辆．
（3）∵A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，
∴方案一需租金9×100+1×120=1020（元），
方案二需租金5×100+4×120=980（元），
方案三需租金1×100+7×120=940（元），
∵1020＞980＞940，
∴最省钱的租车方案是方案三，A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元．
14.解：（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得，
解得．
答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．
（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10-a）辆，由题意得，
解得：6≤a≤8，
所以a=6，7，8；
则（10-a）=4，3，2；
三种方案：①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆；②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆；③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆；
（3）①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：100×6+150×4=1200万元；
②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：100×7+150×3=1150万元；
③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：100×8+150×2=1100万元；
故购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．
15.解：（1）设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次分别可以运送货物x吨，y吨，
解得，
答：1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次分别可以运送货物2吨，5吨；
（2）设A型车租a辆，B型车租b辆，
2a+5b=33
∴a，b是正整数，
，
方案一: （元）；
方案二：（元）；
方案三：（元）；
答：最省钱的租车方案是方案三: A型车租4辆，B型车租5辆,费用是790元.
16.解：（1）设甲型客车每辆可满载x人，乙型客车每辆可满载y人，
依题意得：，
解得：．
答：甲型客车每辆可满载40人，乙型客车每辆可满载50人．
（2）依题意得：40a+50b=500，
∴b=10-a．
又∵a，b均为非负整数，
∴或或，
∴该校共有3种租车方案，
方案1：租用乙型客车10辆；
方案2：租用甲型客车5辆，乙型客车6辆；
方案3：租用甲型客车10辆，乙型客车2辆．
17.解： （1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，
得：，
解得，
答：需甲车型8辆，需乙车型10辆；
（2）设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，
得：，
①×10-②得5x+2y＝40，
所以x，
因x，y是非负整数，且不大于16，得y＝0，5，10，15，
由z是非负整数，解得，，，
有三种运送方案：
①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；
②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆；
③甲车型8辆，乙车型0辆，丙车型8辆；
（3）三种方案的运费分别是：
①400×6+500×5+600×5＝7900；
②400×4+500×10+600×2＝7800．
③400×8+600×8＝8000．
答：甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆运费最省，最少运费是7800元．
18.解：设九年级（9）班有x人，九年级（10）班有y人，
根据题意得：，
解得：，
1118-102×8=302（元）．
即九年级（9）班有49人，九年级（10）班有53人，
购票方案：两班联合起来作为一个团体购票，则可以节省：1118-102×8=302（元），
即联合起来购票能省302元钱．
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