资源简介

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线段最值
教学内容
1、一定两动；
2、两定一动；
3、两定两动；
4、一定一动．
教学过程
考点一:一定两动
诊断1-1．如图，已知∠B＝30°，线段BC＝2，点E，F分别是线段BC和射线BA上的动点，则CF+EF的最小值是　　　　．
【解答】解：作C关于直线AB的对称点D，过D作DE⊥BC交AB于F，
则此时，CF+EF的值最小，且CF+EF的最小值＝DE，
∵DG⊥AB，∴∠CGB＝90°，∵BC＝2，∠B＝30°，∴CG＝BC＝1，∴CD＝2，
∵∠DGF＝∠BEF＝90°，∠BFE＝∠DFG，∴∠D＝∠B＝30°，∴DE＝，
∴CF+EF的最小值是，故：．
诊断1-2．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝30°，OP＝8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为　　　　．
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴OC＝OD＝OP＝8cm，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD＝8．
∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝8，
故：8．
诊断1-3．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为　　　　．
【解答】解：如图：
取点C关于直线DA的对称点C′．以AB中点O为圆心，OA为半径画半圆．
连接OC′交DA于点P，交半圆O于点F，连AF．连BF并延长交DA于点E．
由以上作图可知，AF⊥EB于F．
PC+PF＝PC'′+EF＝C'F
由两点之间线段最短可知，此时PC+PF最小．
∵C'B'＝4，OB′＝6
∴C'O＝，
∴C'F＝2，
∴PC+PF的最小值为2﹣2，
故：2﹣2．
内化1-1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是　　　　．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点E作EQ⊥AC于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，此时PC+PQ＝EQ取最小值，如图所示．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，∴AB＝＝15．
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝∠EAD，
在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AE＝AC＝9．
∵EQ⊥AC，∠ACB＝90°，∴EQ∥BC，∴＝，即＝∴EQ＝．
故：．
内化1-2．如图，∠AOB＝α，点P是∠AOB内的一定点，点M、N分别在OA、OB上移动，当△PMN的周长最小时，∠MPN的值为　　　　．
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1、P2，交OA于M，交OB于N，则
OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，
根据轴对称的性质可得MP＝P1M，PN＝P2N，
∴△PMN的周长的最小值＝P1P2，
由轴对称的性质可得∠P1OP2＝2∠AOB＝2α，
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2α，
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2α，
故：180°﹣2α．
内化1-3．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝6，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则CP+PM的最小值是　　　　．
【解答】解：延长CD到C′，使C′D＝CD，
CP+PM＝C′P+PM，
当C′，P，M三点共线时，C′P+PM的值最小，
根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上，
圆外一点C′到圆上一点M距离的最小值C′M＝C′B﹣3，
∵BC＝CD＝8，
∴CC′＝16，
∴C′B＝＝＝8．
∴CP+PM的最小值是8﹣3．
故：8﹣3．
考点二:两定一动
将军饮马模型．
诊断1．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．则△APC周长的最小值为　　　　．
【解答】解：∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，∴BP＝CP，
∴△ACP的周长＝AP+PC+AC＝BP+AP+AC≥AB+AC，∴当A、B、P三点共线时，△ACP的周长最小，
∵AB＝6，BC＝7，AC＝4，∴△ACP的周长6+4＝10，∴△ACP的周长最小值为10，
故答案为10．
内化1-1．（2018 深圳二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝14，解得AD＝7，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝7+×4＝7+2＝9．
故选：C．
内化1-2．如图，P、G是菱形ABCD的边BC、DC的中点，K是菱形的对角线BD上的动点，若BD＝8，AC＝6，则KP+KG的最小值是　　　　．
【解答】解：∵BD＝8，AC＝6，
∴AB＝＝5
作点P关于BD的对称点P′，连接P′G交BD于K，此时KP+KG有最小值，最小值为P′G的长．
∵菱形ABCD关于BD对称，P、G是菱形ABCD的边BC、DC的中点
∴P′是AB的中点，
∴BP′∥CG，BP′＝CG，
∴四边形BCGP′是平行四边形，
∴P′G＝BC＝5，
∴KP+KG＝P′G＝5，即KP+KG的最小值为5．
故答案为5．
胡不归模型．
诊断2．（2020 南山区校级一模）如图， ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于（　　）
A． B．3 C．3 D．2+2
【解答】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，
∵AB∥CD，∴∠EDP＝∠DAB＝60°，∴sin∠EDP＝＝，∴EP＝PD
∴PB+PD＝PB+PE∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，
∵sin∠A＝＝，∴BE＝3，故选：C．
内化2-1．（2021春 罗湖区校级期末）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为AC中点，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是　　　　．
【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DH⊥AB于点H，则CD+DH≥CF，
∵△ABC是等边三角形，AB＝10，∴∠A＝∠ABC＝60°，AB＝AC＝10
∴CF＝AC sinA＝10×＝5，∵点E为AC中点，∴∠ABE＝＝30°，
∴DH＝，∴CD+BD＝CD+DH≥CF，∴CD+BD≥5，
∴CD+BD的最小值是5，
故答案为：5．
内化2-2．（2022 南山区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若AC＝2，点D是AB的中点，P为边CD上一动点，则AP+CP的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．2
【解答】解：过C作CE⊥AB于E，过点P作PF⊥EC于F，
∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
∴CD＝AB＝AD，
∵∠CAB＝30°，
∴∠B＝60°，
∴△BCD为正三角形，
∴∠DCE＝30°，
∴PF＝CP，
∴AP+CP＝AP+PF≥AE，
∵∠CAB＝30°，AC＝2，
∴CE＝AC＝1，
∴AE＝＝，
∴AP+CP的最小值为．
故选：C．
考点三:两定两动
两动点同时动．
诊断1-1．如图，当四边形PABN的周长最小时，a的值为　　　　，周长最小为　　　　．
【解答】解：作B关于x轴的对称点C，连接CN，作平行四边形PNCD
∵AB、PN为定值
∴PA+BN最小即可
∵BN＝CN＝PD
∴只要AP+PD最小
作直线AD交x轴于Q，当P与Q重合时，AP+PD＝AD最小
∵A（1，3）、B（4，1），
∴C（4，﹣1），
∴D（2，﹣1）
∴直线AD为：y＝﹣4x+7当y＝0时，x＝，
∴Q为（，0）
∵P、Q重合
∴a＝，
故选：A．
诊断1-2．如图，已知A（3，1），B（1，0），PQ是直线y＝x上的一条动线段且PQ＝（Q在P的下方），当AP+PQ+QB取最小值时，点Q坐标为　　　　，最小值为　　　　．
【解答】解：作点B关于直线y＝x的对称点B'（0，1），过点A作直线MN，并沿MN向下平移单位后得A'（2，0）
连接A'B'交直线y＝x于点Q
如图
理由如下：∵AA'＝PQ＝，AA'∥PQ，
∴四边形APQA'是平行四边形．
∴AP＝A'Q．
∵AP+PQ+QB＝B'Q+A'Q+PQ且PQ＝．
∴当A'Q+B'Q值最小时，AP+PQ+QB值最小．
根据两点之间线段最短，即A'，Q，B'三点共线时A'Q+B'Q值最小．
∵B'（0，1），A'（2，0），
∴直线A'B'的解析式y＝﹣x+1．
∴x＝﹣x+1．即x＝，
∴Q点坐标（，）．
故答案是：（，）．
内化1-1．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足PQ＝2，则四边形APQB周长的最小值为　　　　．
【解答】解：四边形APQB周长＝AP+PQ+QB+AB，
∴AB＝5，BC＝4，PQ＝2，
∴四边形APQB周长＝AP+PQ+QB+AB＝7+AP+BQ，
要使四边形APQB周长的周长最小，只要AP+BQ最小即可；
在AB上截取AM＝PQ，F是BC的中点，所以点B关于EF的对称点是C点，连接CM与EF交于点Q，
则CM即为AP+BQ的最小值；∴BQ＝CQ，∴MB＝3，BC＝4，∴MC＝5，
∴四边形APQB周长＝AP+PQ+QB+AB＝7+AP+BQ＝12；
故：12．
内化1-2．如图，正方形ABCD的边长为3，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝，连接AE、AF，则AE+AF的最小值为　　　　．
【解答】解：如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小．
∵AH＝EF，AH∥EF，∴四边形EFHA是平行四边形，∴EA＝FH，
∵FA＝FC，∴AE+AF＝FH+CF＝CH，
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，
在Rt△CAH中，CH＝＝2，
∴AE+AF的最小值2，
故：2．
两动点分别动．
诊断2-1．如图，∠AOB＝45°，点M、点C在射线OA上，点P、点D在射线OB上，且OC＝2，OD＝，则CP+PM+DM的最小值是　　　　．
【解答】解：如图，作点C关于OB的对称点C′，作点D关于OA的对称点D′，连接OC′，PC′，D′M，OD′，C′D′，则OC′＝OC＝2，OD′＝OD＝3，CP＝C′P，DM＝D′M，∠C′OD＝∠COD＝∠COD′＝45°，∴CP+PM+MD＝C′P+PM+D′M≥C′D′，当仅当C′，P，M，D′四点共线时，CP+PM+MD最小为C′D′，作C′T⊥D′O于点T，则C′T＝OT＝，∴D′T＝4，
∴C′D′＝，∴CP+PM+DM的最小值是．故答案为：．
诊断2-2．如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标是（12，3），B点的坐标是（2，7），在x，y轴上分别有一点P和Q，若有四边形PABQ的周长最小，周长最小值是　　　　．
【解答】解：如图所示：四边形PABQ的周长最短，
∵A点的坐标是（12，3），B点的坐标是（2，7），
∴AB＝＝2，A′（12，﹣3），B′（﹣2，7），
故A′B′＝＝2，
则四边形PABQ的周长最短的值为：2+2．
内化2-1．已知∠AOB＝30°，点P、Q分别是边OA、OB上的定点，OP＝3，OQ＝5，点M、N是分别是边OA、OB上的动点，则折线P﹣N﹣M﹣Q长度的最小值是　　　　．
【解答】解：作P关于OB的对称点P′，作Q关于OA的对称点Q′，
连接P′Q′，即为折线P﹣N﹣M﹣Q长度的最小值．根据轴对称的定义可知：∠NOP′＝∠AOB＝30°，∠OPP′＝60°，∴△OPP′为等边三角形，△OQQ′为等边三角形，∴∠P′OQ′＝90°，
∴在Rt△P′OQ′中，P′Q′＝＝．故答案为．
内化2-2．如图，点A（a，2）、B（﹣2，b）都在双曲线上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是，则k的值为　　　　．
【解答】解：作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，所以C点坐标为（a，﹣2），D点坐标为（2，b），
连接CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形PABQ的周长最小，
把C点的坐标代入y＝x+1.5得到：﹣2＝a+1.5，
解得a＝﹣，
则k＝2a＝﹣7．
故选：A．
考点四:一定一动
诊断．（2020 福田区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最小值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：如图连接PC，在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，
∵将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，∴A′B′＝AB＝4，
∵P是A′B′的中点，∴PC＝A′B′＝2，∵M是BC的中点，∴CM＝BM＝1，
又∵PM≥PC﹣CM，即PM≥1，∴PM的最小值为1（此时P、C、M共线）．
故选：A．
内化1-1．（2021 深圳二模）如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为　　　　．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，
∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，∴△CAB∽△CP′O，
∴，∴，
∴OP′＝，
∴则PQ的最小值为2OP′＝，
内化1-2．（2021 南山区校级二模）如图，O是线段AB的中点，OD＝AB＝2，将线段DB绕D点逆时针旋转90°，得线段DC，连接BC，AC，则线段AC的最大值是　　　　．
【解答】解：以BO为直角边在BO上方作等腰直角三角形BOF，如图，连接CF、AF，
∴BF＝OB，∠OBF＝45°，
∵将线段DB绕D点逆时针旋转90°，
∴DB＝DC，∠CDB＝90°，
∴CB＝BD，∠OBF＝∠CBD＝45°，
则＝，且∠OBD＝∠FBC，
∴△OBD∽△FBC．
∴＝，
∴CF＝2，
∴C点运动的轨迹是以F为圆心，CF＝2为半径的圆．
∵AC≤AF+FC，AF＝4，FC＝2
∴AC最大值为4+2＝6，
故答案为6．
挑战过关
一．选择题（共1小题）
1．（2016 龙岗区二模）如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点．若GH的长为10cm，求△PAB的周长为（　　）
A．5cm B．10cm C．20cm D．15cm
【解答】解：连接PG、PH，如图，∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，
∴OM垂直平分PG，ON垂直平分PH，∴AP＝AG，BP＝BH，
∴△PAB的周长＝AP+AB+BP＝AG+AB+BH＝GH＝10cm．
故选：B．
二．填空题（共4小题）
2．（2020春 宝安区校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝30，点E，F分别是AB，BC边上的两个动点，且EF＝12，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH、GH，则GH+CH的最小值为　　　　．
【解答】解：由已知，点G在以B圆心，6为半径的圆在与长方形重合的弧上运动．
作C关于AD的对称点C′，连接C′B，交AD于H，交以D为圆心，以6为半径的圆于G，
由两点之间线段最短，此时C′B的值最小
最小值为＝＝50，
则GH+CH的最小值＝50﹣6＝44，
故答案为：44．
3．（2021 深圳四模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为　　　　．
【解答】解：如图所示：在AB上取点F′，使AF′＝AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．
在Rt△ABC中，依据勾股定理可知BA＝10．CH＝，
∵EF+CE＝EF′+EC，∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为，
故答案为：
4．（2021 南山区三模）如图，平行四边形ABCD中，∠A为锐角且tanA＝，AB＝3，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于　　　　．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥AD交AD的延长线于E，过点B作BH⊥AE于H．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC∥BD，∴∠EDP＝∠A，
∴tan∠EDP＝tanA＝，∴sin∠EDP＝，sinA＝，∴PE＝DP，BH＝AB＝，
∴PB+PD＝PB+PE≥BH，∴BP+PE的最小值为，
即PB+PD的最小值为．
故答案为：．
5．（2015 深圳一模）如图，点A（a，1）、B（﹣1，b）都在双曲线y＝﹣（x＜0）上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式为　　　　　　　　．
【解答】解：分别把点A（a，1）、B（﹣1，b）代入双曲线y＝﹣得a＝﹣2，b＝2，则点A的坐标为（﹣2，1）、B点坐标为（﹣1，2），
作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，所以C点坐标为（﹣2，﹣1），D点坐标为（1，2），
连接CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形PABQ的周长最小，
设直线CD的解析式为y＝kx+b，
把C（﹣2，﹣1），D（1，2）分别代入，解得，
所以直线CD的解析式为y＝x+1．
故答案为：y＝x+1．
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线段最值
教学内容
1、一定两动；
2、两定一动；
3、两定两动；
4、一定一动．
教学过程
考点一:一定两动
诊断1-1．如图，已知∠B＝30°，线段BC＝2，点E，F分别是线段BC和射线BA上的动点，则CF+EF的最小值是　　　　．
诊断1-2．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝30°，OP＝8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为　　　　．
诊断1-3．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为　　　　．
内化1-1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是　　　　．
内化1-2．如图，∠AOB＝α，点P是∠AOB内的一定点，点M、N分别在OA、OB上移动，当△PMN的周长最小时，∠MPN的值为　　　　．
内化1-3．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝6，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则CP+PM的最小值是　　　　．
考点二:两定一动
将军饮马模型．
诊断1．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．则△APC周长的最小值为　　　　．
内化1-1．（2018 深圳二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
内化1-2．如图，P、G是菱形ABCD的边BC、DC的中点，K是菱形的对角线BD上的动点，若BD＝8，AC＝6，则KP+KG的最小值是　　　　．
胡不归模型．
诊断2．（2020 南山区校级一模）如图， ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于（　　）
A． B．3 C．3 D．2+2
内化2-1．（2021春 罗湖区校级期末）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为AC中点，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是　　　　．
内化2-2．（2022 南山区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若AC＝2，点D是AB的中点，P为边CD上一动点，则AP+CP的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．2
考点三:两定两动
两动点同时动．
诊断1-1．如图，当四边形PABN的周长最小时，a的值为　　　　，周长最小为　　　　．
诊断1-2．如图，已知A（3，1），B（1，0），PQ是直线y＝x上的一条动线段且PQ＝（Q在P的下方），当AP+PQ+QB取最小值时，点Q坐标为　　　　，最小值为　　　　．
内化1-1．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足PQ＝2，则四边形APQB周长的最小值为　　　　．
内化1-2．如图，正方形ABCD的边长为3，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝，连接AE、AF，则AE+AF的最小值为　　　　．
两动点分别动．
诊断2-1．如图，∠AOB＝45°，点M、点C在射线OA上，点P、点D在射线OB上，且OC＝2，OD＝，则CP+PM+DM的最小值是　　　　．
诊断2-2．如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标是（12，3），B点的坐标是（2，7），在x，y轴上分别有一点P和Q，若有四边形PABQ的周长最小，周长最小值是　　　　．
内化2-1．已知∠AOB＝30°，点P、Q分别是边OA、OB上的定点，OP＝3，OQ＝5，点M、N是分别是边OA、OB上的动点，则折线P﹣N﹣M﹣Q长度的最小值是　　　　．
内化2-2．如图，点A（a，2）、B（﹣2，b）都在双曲线上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是，则k的值为　　　　．
考点四:一定一动
诊断．（2020 福田区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最小值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
内化1-1．（2021 深圳二模）如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为　　　　．
内化1-2．（2021 南山区校级二模）如图，O是线段AB的中点，OD＝AB＝2，将线段DB绕D点逆时针旋转90°，得线段DC，连接BC，AC，则线段AC的最大值是　　　　．
挑战过关
一．选择题（共1小题）
1．（2016 龙岗区二模）如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点．若GH的长为10cm，求△PAB的周长为（　　）
A．5cm B．10cm C．20cm D．15cm
二．填空题（共4小题）
2．（2020春 宝安区校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝30，点E，F分别是AB，BC边上的两个动点，且EF＝12，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH、GH，则GH+CH的最小值为　　　　．
3．（2021 深圳四模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为　　　　．
4．（2021 南山区三模）如图，平行四边形ABCD中，∠A为锐角且tanA＝，AB＝3，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于　　　　．
5．（2015 深圳一模）如图，点A（a，1）、B（﹣1，b）都在双曲线y＝﹣（x＜0）上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式为　　　　　　　　．
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