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人教A版（2019）选择性必修第三册 7.1条件概率与全概率公式
一、单选题
1．已知盒子里有10个球（除颜色外其他属性都相同），其中4个红球，6个白球甲、乙两人依次不放回地摸取1个球，在甲摸到红球的情况下，乙摸到红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经后天八卦图（含乾 坤 巽 震 坎 离 艮 兑八卦），每一卦由三根线组成(表示一根阳线，表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，记事件“两卦的六根线中恰有两根阳线”，“有一卦恰有一根阳线”，则（ ）,
A． B． C． D．
4．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知道试题中有道代数题和道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第次抽到代数题的条件下，第次抽到几何题的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．某大学有两家餐厅，某同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率是；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率是；则该同学第2天去餐厅用餐的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．将三颗骰子各掷一次，设事件为“三个点数全不相同”，事件为“三个点数不全相同”，则概率的值为
A． B． C． D．
8．设A，B为两个事件，已知P(A)= ，P(B|A)= ，则P(AB)=（ ）
A． B． C． D．
9．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是（ ）
A．0.665 B．0.564 C．0.245 D．0.285
10．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关，某品牌的电视机的显像管开关了次还能继续使用的概率是，开关了次后还能继续使用的概率是，则已经开关了次的电视机显像管还能继续使用到次的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生表的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为________．
14．世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型病毒可能造成“持续人传人”．通俗点说就是存在A传B，B又传C，C又传D，这就是“持续人传人”．那么A、B、C就会被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.9，0.8，0.7，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，试计算，小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率有多大________．
15．2021年6月14日是中国的传统节日“端午节”，这天人们会吃粽子、赛龙舟．现有七个粽子，其中三个是腊肉馅，四个是豆沙馅，小明随机取两个，记事件A为“取到的两个为同一种馅”，事件B为“取到的两个都是豆沙馅”，则______．
16．从数字1，2，3，4中任取一个数，记为，再从1至中任取一个整数，记为，则取到的为数字2的概率是___________.
17．某小组有20名射手，其中一、二，三、四级射手分别有2，6，9，3名．若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85，0.64，0.45，0.32．若随机选一人参加比赛，则该小组在比赛中射中目标的概率为___________．
三、解答题
18．某种疾病能导致心肌受损害，若第一次患该病，则心肌受损害的概率为0.3，第一次患病心肌未受损害而第二次再患该病时，心肌受损害的概率为0.6，试求某人患病两次心肌未受损害的概率.
19．在①A与B相互独立，②，，③，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并求解问题：已知，______，求．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
20．已知，，，证明：.
21．青团是江南人家在清明节吃的一道传统点心，据考证青团之称大约始于唐代已有1000多年的历史.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的青团，已知甲箱中有5个蛋黄馅的青团和3个肉松馅的青团，乙箱中有4个蛋黄馅的青团和3个肉松馅的青团.
(1)若从甲箱中任取2个青团，求这2个青团都是肉松馅的概率；
(2)若先从甲箱中任取2个青团放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个青团，求取出的这个青团是蛋黄馅的概率.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
分别计算甲先摸到1个红球，乙再从剩下的9个球中摸1个球的种数和甲先摸到1个红球，乙再从剩下的3个红球中摸1个球的种数可得答案.
【详解】
甲先摸到1个红球，乙再从剩下的9个球中摸1个球，共有种，
其中甲先摸到1个红球，乙再从剩下的3个红球中摸1个球，共有种，
所以在甲摸到红球的情况下，乙摸到红球的概率为.
故选：A.
2．D
先求出男生甲被选中的概率，再求出男生乙和女生丙至少一个被选中的概率,根据条件概率的计算公式可求答案.
【详解】
男生甲被选中记作事件，男生乙和女生丙至少一个被选中记作事件，
则：，，
由条件概率公式可得：，
故选：D.
3．B
先根据已知条件分别求出和，再代入条件概率的公式即可.
【详解】
由八卦图可知，八卦中全为阳线和全为阴线的卦各有一个，
两阴一阳和两阳一阴的卦各有三个，而事件所包含的情况可分为两种，
即第一种是取到的两卦中一个为两阳一阴，另一个为全阴；
第二种是两卦中均为一阳两阴；而事件中只包含后者，
即：,
事件的概率，
所以
故选：B
本题考查了条件概率的计算，关键是计算出事件的概率，属于一般题.
4．C
根据条件概率的定义即可求得两事件同时发生的概率.
【详解】
解析：记“该地区下雨”为事件A，“刮风”为事件B，
则P(A)=，P(B)=，P(B|A)=，
所以P(AB)=P(A)P(B|A)=.
故选：C.
5．C
设事件“第次抽到代数题”，事件“第次抽到几何题”，分别求出、，利用条件概率公式即可求解.
【详解】
设事件“第次抽到代数题”，事件“第次抽到几何题”，
，
则，
所以在第次抽到代数题的条件下，第次抽到几何题的概率为.
故选：C.
6．B
由题设，应用全概率公式可直接求得该同学第2天去餐厅用餐的概率.
【详解】
设 “第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，
由题意得：，，，
由全概率公式，得：，
因此，该同学第天去餐厅用餐的概率为.
故选：B.
7．D
根据条件概率的意义求解，先求出“三个点数不全相同”包含的所有情况数，在此范围内再求出“三个点数全不相同”包含的情况数，最后根据古典概型求解即可．
【详解】
由题意得表示在三个点数不全相同的条件下，三个点数全不相同的概率．
将三颗骰子各掷一次“三个点数不全相同”的情况有种，其中“三个点数全不相同”的情况有种，
所以所求概率为．
故选D．
条件概率的两种求法：
①利用定义，分别求和，得，这是通用的求条件概率的方法．
②借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即，得．
8．B
利用条件概率的概率公式计算可得；
【详解】
解：由条件概率的计算公式，可得：
故选：B
9．A
记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，则由P(AB)＝P(A)·P(B|A)可求.
【详解】
记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，
∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.
故选：A.
10．D
记事件电视机的显像管开关了次还能继续使用，记事件电视机的显像管开关了次后还能继续使用，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
记事件电视机的显像管开关了次还能继续使用，记事件电视机的显像管开关了次后还能继续使用，则，，
所以，已经开关了次的电视机显像管还能继续使用到次的概率为.
故选：D.
11．D
【详解】
设A＝“先取到的是女生表”，Bi＝“取到第i个地区的表”，i＝1,2,3，
∴P(A)＝(Bi)P(A|Bi)
＝×＋×＋×＝.
12．B
记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，由全概率公式可求得结果.
【详解】
记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，
，，，
由全概率公式可得.
故选：B.
关键点点睛：本题考查利用全概率公式计算事件的概率，解题的关键就是弄清第球与第球投进与否之间的关系，结合全概率公式进行计算.
13．0.4
根据概率的乘法公式可求得结果.
【详解】
记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B，
则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5．
所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4，即这个选手过关的概率为0.4．
故答案为：0.4
14．
求出小明与第一代、第二代、第三代传播者接触的概率，利用独立事件、互斥事件的概率公式求解即可．
【详解】
设事件，，为第一代、第二代、第三代传播者接触，
事件为小明被感染，由已知得：
（A），（B），（C），，，，
（D）（A）（B）（C）
．
小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率为0.83．
故答案为：0.83．
本题考查概率的求法，考查独立事件、互斥事件的概率公式以及条件概率的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．
根据题意，结合条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，可知．
故答案为：.
16．
先求出事件的条件概率，然后根据全概公式求出“取到的为数字2”的概率.
【详解】
解：设事件表示“取到的为数字1”，事件表示“取到的为数字2”，事件表示“取到的为数字3”，事件表示“取到的为数字4”，事件表示“取到的为数字2”.
则.
由条件概率易得，，，
由全概率公式，可得
.
故答案为：
17．0.5275##
设事件B：该小组在比赛中射中目标，事件：选i级射手参加比赛，由全概率公式有，从而可得答案.
【详解】
设事件B：该小组在比赛中射中目标，事件：选i级射手参加比赛，．
．
故答案为：0.5275
18．
【详解】
设表示“第一次患病心肌受损害”，
表示“第二次患病心肌受损害”，则所求概率为.
由题意可知，，.
又，
，
所以.
19．答案不唯一，见解析.
本题考察了相互独立事件概率计算公式，条件概率公式，对立事件问题，利用相关的公式求解即可.
【详解】
选择①，
由，得．因为A与B独立，所以．
选择②，
因为，所以，即，又，所以．
因为，所以，即，所以．
选择③，
因为，，所以，
又，，所以．
20．证明见解析.
根据得到，然后利用条件概率公式直接就可证明.
【详解】
因为，，所以，即 ,
所以，即.
21．(1)
(2)
（1）从甲箱中任取2个青团的事件数为，这2个青团都是肉松馅的事件数为，根据古典概率模型的概率计算公式即可求解；
（2）设事件A为“从乙箱中任取1个青团，取出的这个青团是蛋黄馅”，事件为“从甲箱中取出的2个青团都是蛋黄馅”，事件为“从甲箱中取出的2个青团为1个蛋黄馅1个肉松馅”，事件为“从甲箱中取出的2个青团都是肉松馅”，由互斥事件概率加法公式及条件概率计算公式有，从而可得答案.
(1)
解：从甲箱中任取2个青团的事件数为，这2个青团都是肉松馅的事件数为，所以这2个青团都是肉松馅的概率为.
(2)
解：设事件A为“从乙箱中任取1个青团，取出的这个青团是蛋黄馅”，事件为“从甲箱中取出的2个青团都是蛋黄馅”，事件为“从甲箱中取出的2个青团为1个蛋黄馅1个肉松馅”，事件为“从甲箱中取出的2个青团都是肉松馅”，则事件，，彼此互斥.
，，，，，，
所以，
所以取出的这个青团是蛋黄馅的概率为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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