6.2平面向量的运算 同步练习(Word版含解析)

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6.2平面向量的运算 同步练习(Word版含解析)

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人教A版(2019)必修第二册 6.2 平面向量的运算
一、单选题
1.化简得( )
A. B.
C. D.
2.已知,,则下列结论中正确的个数为( )
①与同向共线的单位向量是
②与的夹角余弦值为
③向量在向量上的投影向量为

A.个 B.个 C.个 D.个
3.定义.若向量,向量为单位向量,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.若非零向量满足,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.若,,与的夹角为,则等于( )
A. B. C. D.
6.已知点为所在平面内一点,若动点满足,则点一定经过的( )
A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心
7.已知单位向量,满足,则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.如图,向量,,,则向量可以表示为( )
A. B.
C. D.
9.向量,满足,,,则在方向上的投影为( )
A.-1 B. C. D.1
10.已知边长为1的正方形,设,,,则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.下列说法中正确的是( )
A.;
B.若、非零向量且,则;
C.若且,则;
D.若,则有且只有一个实数,使得.
12.化简( )
A. B. C. D.
13.式子化简结果是( )
A. B. C. D.
14.己知,,与的夹角为,若向量满足,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
15.在△ABC中,若其面积为S,且=2S,则角A的大小为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
二、填空题
16.已知向量满足,则向量在向量上的投影为________.
17.若两个非零向量满足,则向量与的夹角为_____.
18.已知向量,,,则与的夹角为______.
三、解答题
19.在中,,,,点,在边上且,.
(1)若,求的长;
(2)若,求的值.
20.如图,点C是点B关于点A的对称点,点D是线段的一个靠近点B的三等分点,设.
(1)用向量与表示向量;
(2)若,求证:C,D,E三点共线.
21.已知,,.求:
(1);
(2).
22.如图,在△OAB中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取点D,使,DC与OA交点为E,设,用,表示向量,.
试卷第1页,共3页
试卷第1页,共3页
参考答案:
1.A
由向量的加减琺法则计算.
【详解】

故选:A.
2.C
根据单位向量、向量夹角的余弦值、投影以及向量垂直的定义逐个验证即可.
【详解】
解:,故①正确;
,故②错误;
向量在向量上的投影向量为,故③正确;
,故④正确;
故选:C.
3.B
设,则,由即得解.
【详解】
由题意知,.
设,则.
又,∴,∴.
故选:B
4.C
设与的夹角为,进而根据向量数量积的运算律和向量垂直时数量积为0得,进而得答案.
【详解】
解:根据题意,设与的夹角为,则,
若,则,
即,
又由,则,
故选:C.
5.B
利用平面向量数量积的定义可求得的值.
【详解】
由平面向量数量积的定义可得.
故选:B.
6.D
取的中点,由,得,从而可得与共线,得直线与直线重合,进而得结论
【详解】
解:取的中点,则,
因为,
所以,
所以与共线,即直线与直线重合,
所以直线一定过的重心,
故选:D
7.B
由已知得,进而两边平方得,故或(舍),故,进而得答案.
【详解】
由,得,两边平方,得,
即,整理得,
所以或
因为,所以,所以,
所以.
故选:B.
本题考查向量模的运算,考查方程思想与运算求解能力,是中档题.解题的关键在于根据已知将问题转化为关于的方程,进而得,最后结合向量模与二次函数性质求最值即可.
8.C
根据向量的加减运算法则可得,进而可得结果.
【详解】
依题意,即,
故选:C.
本题主要考查了向量的加减运算,属于基础题.
9.B
根据题条件,先求出,再由向量数量积的几何意义,即可求出结果.
【详解】
因为向量,满足,,,
所以,即,则,
所以在方向上的投影为.
故选:B.
10.B
根据向量加法的平行四边形法则,结合正方形的性质可得答案.
【详解】
因为是边长为1的正方形,,
所以
又,所以
故选:B
11.B
注意到零向量的符号应当是,可知A错误;对于B:利用向量的模的性质和数量积运算可以证明,可得B正确;考虑到的情况,得到C错误;考虑到,,可知D错误.
【详解】
左边是向量的加法,结果是零向量,用表示,故A错误;
由、非零向量且,
两边平方可得,
即,所以,故B正确;
当时也有且,故C错误;
若,,不存在实数,使得,故D错误.
故选:B.
12.B
根据向量加法法则即可计算.
【详解】
.
故选:B.
13.B
根据向量的线性运算法则,准确化简,即可求解.
【详解】

.
故选:B.
14.C
根据平面向量数量积运算性质及三角不等式计算判断.
【详解】
因为,,与的夹角为,
所以,,,
所以满足,
因为,
所以,
所以,
故选:C
15.A
由数量积的定义,结合条件即可求解.
【详解】
因为,而,所以,所以,故.
故选:A
16.
运用向量的平方即为模的平方,以及向量的投影概念,代入计算可得所求值.
【详解】
解:向量满足,
可得,,
即为,,
两式相减可得,
则向量在向量上的投影为.
故答案为:.
本题考查向量的性质:向量的平方即为模的平方,以及向量的投影概念,考查运算能力,属于基础题.
17.60°.
首先根据向量模的几何意义,画图表示,得到,再根据数形结合得到向量与的夹角.
【详解】
∵,如图,以,为邻边的平行四边形的对角线相等,
所以此平行四边形是矩形,∴,
如图,,,

由题意,,
∴,
即向量与向量的夹角为60°,
故答案为:60°.
本题考查向量加,减法的几何意义,重点考查数形结合分析问题的能力,属于基础题型.
18.##
首先求出,设向量与的夹角为,再根据计算可得;
【详解】
解:因为,所以,
设向量与的夹角为,因为,因为,所以.
故答案为:
19.(1);(2).
(1)先设,,根据题意,求出,,再由向量模的计算公式,即可得出结果;
(2)先由题意,得到,,再由向量数量积的运算法则,以及题中条件,得到,即可求出结果.
【详解】
(1)设,,
则,,因此,
所以,

(2)因为,所以,
同理可得,,
所以

∴,即,
同除以可得,.
本题主要考查用向量的方法求线段长,考查由向量数量积求参数,熟记平面向量基本定理,以及向量数量积的运算法则即可,属于常考题型.
20.(1),;(2)证明见解析.
(1)根据题意,利用向量的加法与减法的几何意义,得出,,即可用、表示;
(2)由,只需找到与的关系,即可得证.
【详解】
解:(1)∵,,
∴,
.
(2)证明:
,
∴与平行,
又∵与有共同点C,
∴,,三点共线.
本题考查了平面向量的加法与减法的几何意义以及向量共线的应用问题,属于基础题.
21.(1)3
(2)
利用平方法进行求解﹒
(1)
由,得,则,所以;
(2)
因为,所以.
22.,.
利用向量的加、减运算即可求解.
【详解】
∵AC=BA,∴A是BC的中点,
∴,.
∴.
答案第1页,共2页
答案第1页,共2页

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