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统计与概率解答题
第1课时　概率与统计的综合应用
统计与简单的概率问题　
【典例1】(2020·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
【思维点拨】
(1) 根据表格数据得到甲、乙A级品的频数分别为40，28，即可求得相应频率
(2) 根据所给数据分别求出甲、乙的平均利润
【规范解答】(1)由表格可得，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的频数为40，故频率为＝0.4，乙分厂加工出来的一件产品为A级品的频数为28，故频率为＝0.28，
故甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率估计值分别是0.4，0.28；4分
(2)由表格可知甲分厂加工四个等级的频率分别为0.4，0.2，0.2，0.2，
故其平均利润为(90－25)×0.4＋(50－25)×0.2＋(20－25)×0.2＋(－50－25)×0.2＝15(元)；
7分
同理乙分厂加工四个等级的频率分别为0.28，0.17，0.34，0.21，
故其平均利润为(90－20)×0.28＋(50－20)×0.17＋(20－20)×0.34＋(－50－20)×0.21＝10(元)；10分
因为15＞10，所以选择甲分厂承接更好．12分
易错点 求平均利润时忽视各个等级的频率，没有求加权平均数．
障碍点 用频率估计概率
学科素养 数据分析、数学运算、数学建模
评分细则 (1)中求对甲、乙两厂加工出来的一件产品为A级品的概率之一得2分．
求解统计与简单的概率问题的关注点
(1)依据题目中的所给信息，提炼出需要的信息．
(2)频率＝，用频率估计概率．
(3)此类问题中统计模型多是分层随机抽样、统计图表，概率模型多是古典概型、互斥事件的概率．
　
一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表(单位：辆)：
轿车A 轿车B 轿车C
舒适型 100 150 z
标准型 300 450 600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
(1)求z的值；
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率．
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分x的值如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数xi(1≤i≤8，i∈N)，设样本平均数为，求|xi－|≤0.5的概率．
【解析】(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得＝，所以n＝2 000，所以z＝2 000－(100＋300)－150－450－600＝400；
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，
由题意，得a＝2，
因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，
用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，
用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个．
事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个，故P(E)＝，即所求概率为.
(3)样本平均数＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)≈9，
设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，
则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，所以P(D)＝＝，即所求概率为.
统计与随机变量分布列的综合问题
【典例2】(2021·泰安一模)某市为了了解本市初中生周末运动时间，随机调查了3 000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)按照分层抽样，从[40，50)和[80，90)中随机抽取了9名学生．现从已抽取的9名学生中随机推荐3名学生参加体能测试．记推荐的3名学生来自[40，50)的人数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)由频率分布直方图可认为：周末运动时间t服从正态分布N(μ，σ2)，其中，μ为周末运动时间的平均数，σ近似为样本的标准差s，并已求得s≈14.6.可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取12名学生，记周末运动时间在(43.9，87.7]之外的人数为Y，求P(Y＝3)(精确到0.001).
参考数据1：当t～N(μ，σ2)时，P(μ－σ＜t≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜t≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ＜t≤μ＋3σ)≈0.997 3；
参考数据2：0.818 69≈0.165 1；0.181 43≈0.006 0.
【思维点拨】
(1) 由分层抽样得从中抽6人，[80，90)中抽3人，故随机变量X可取0，1，2，3.
(2) 求解P(t≤μ－σ或t＞μ＋2σ)，说明Y～B(12，0.181 4)
【规范解答】(1)根据分层抽样，从[40，50)中抽取6人，在[80，90)中抽取3人，(1分)
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(X＝3)＝ eq \f(CC,C) ＝，
则X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
(5分)
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
(6分)
易错点 弄错分层比，导致随机变量X取值错误．
障碍点 未读懂频率分布直方图中信息．
学科素养 数据分析、数学运算、数学建模
评分细则 每求对1个概率值给1分，不列分布列扣1分．
(2)μ＝＝35×0.01×10＋45×0.02×10＋55×0.03×10＋65×0.015×10＋75×0.015×10＋85×0.01×10＝58.5，
又因为43.9＝58.5－14.6＝μ－σ，87.7＝58.5＋2×14.6＝μ＋2σ，
所以P(43.9＜t≤87.7)＝P(μ－σ＜t≤μ＋2σ)＝＝0.818 6，
所以P(t≤43.9或t＞87.7)＝1－0.818 6＝0.181 4，(9分)
则Y～B(12，0.181 4)，所以P(Y＝3)＝C×0.181 43×0.818 69＝220×0.006 0×0.165 1≈0.218.12分
易错点 求错概率值．
障碍点 ①利用正态分布知识求周末运动时间在(43.9，87.7]之外的概率；
②所求概率服从二项分布．
学科素养 数据分析、数学运算、数学建模
评分细则 求对μ值给1分；用正态分布求概率正确，又判断出随机变量Y服从二项分布给1分．
　统计与随机变量分布列的综合问题的解题思路
(1)寻找问题中随机变量的统计意义．
(2)综合统计中相关图、表、数据，明确相关联的随机变量的分布特征．
(3)根据随机变量的分布特征进一步解决相关问题．
　
(2021·石家庄一模)“T2钻石联赛”是世界乒联推出的一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“FAST5模式”．在前24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为11分制，率先拿满11分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“FAST5”模式，“FAST5”模式为5分制的小局比赛，率先拿满5分的选手赢得该局.24分钟计时后开始的所有小局均采用“FAST5”模式．某位选手率先在7局比赛中拿下4局，比赛结束．现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局，且在11分制比赛中，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为；在“FAST5”模式，每局比赛双方获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立．
(1)求4局比赛决出胜负的概率；
(2)设在24分钟内，甲、乙比赛了3局，比赛结束时，甲乙总共进行的局数记为X，求X的分布列及数学期望．
【解析】(1)若24分钟内打满2局，最后可能甲/乙获胜，则P1＝×＋×＝；
若24分钟内打满3局，最后可能甲/乙获胜，则P2＝×＋×＝，
因此4局比赛决出胜负的概率为＋＝；
(2)由题意可知，X的可能取值为4，5，6，7，
所以P(X＝4)＝×＋×＝，
P(X＝5)＝C·×××＋××＋C·×××＋××＝，P(X＝6)＝C·××＋C·×·C·＋××＋C×××＋C·×·C·＋·×＝，
P(X＝7)＝×＋C·×·C·×＋C·×·C··＋·＋×＋C·××C·×＋C·×·C·×＋×＝，
所以X的分布列为：
X 4 5 6 7
P
所以X的数学期望为E(X)＝4×＋5×＋6×＋7×＝.
期望、方差的实际应用问题
【典例3】(2021·临沂一模)疫情工作领导小组会议作出部署，要求尽力扩大核酸检测范围，着力提升检测能力．根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为p(0＜p＜1).现有4例疑似病例，分别对其取样、检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则化验结果呈阳性．若混合样本呈阳性，则需将该组中备用的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再化验．现有以下三种方案：
方案一：4个样本逐个化验；
方案二：4个样本混合在一起化验；
方案三：4个样本均分为两组，分别混合在一起化验．
疫情初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”．
(1)若p＝，按方案一，求4例疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；
(2)若p＝，现将该4例疑似病例样本进行化验，试比较以上三个方案中哪个最“优”，并说明理由．
【思维点拨】
(1) 服从二项分布
(2) 分别求方案一、二、三的期望，比较大小．
【解析】(1)p＝，按方案一，4例疑似病例中恰有2例呈阳性的概率P＝C()2()2＝.
(2)方案一：逐个化验，化验次数为：4×1＝4，
方案二：化验次数为X，X的可能取值为1，5，P(X＝1)＝(1－)4＝，P(X＝5)＝1－＝，所以X的分布列如下：
X 1 5
P
方案二的数学期望为：
E(X)＝1×＋5×＝2.375 6.
方案三：由(1)知，每组两个样本化验时，
若呈阴性，则化验次数为1，概率为，
若呈阳性则化验次数为3，概率为1－＝，
方案三的化验次数记为Y，Y的可能取值为2，4，6，P(Y＝2)＝()2＝，
P(Y＝4)＝2××＝，
P(Y＝6)＝()2＝，所以Y的分布列为：
Y 2 4 6
P
方案三的期望为E(Y)＝2×＋4×＋6×＝2.76，
因为E(X)＜E(Y)＜4，所以方案二最“优”．
　利用期望与方差进行决策的思想方法
(1)利用随机变量的期望与方差可以帮助我们作出科学的决策；
(2)随机变量的期望的意义在于描述随机变量的平均程度；
(3)方差则描述了随机变量稳定与波动或者集中与分散的状况．品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关．
　
(2021·湖北十一校联考)高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下．
(1)如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球掉入5号球槽的概率；
(2)小红、小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入m号球槽得到的奖金为ξ元，其中ξ＝|16－4m|.小明改进了高尔顿板(如图2)，首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，…，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入n号球槽得到的奖金为η元，其中η＝(n－4)2.两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由．
【解析】(1)设这个小球掉入5号球槽为事件A.掉入5号球槽，需要向右4次向左2次，
所以P(A)＝C＝.
所以这个小球掉入5号球槽的概率为.
(2)小明的盈利多．理由如下：小红的收益计算如下：每一次游戏中，ξ的可能取值为0，4，8，12.
P(ξ＝0)＝P(m＝4)＝C＝，
P(ξ＝4)＝P(m＝3)＋P(m＝5)＝C＋C＝，P(ξ＝8)＝P(m＝2)＋P(m＝6)＝C＋C＝，
P(ξ＝12)＝P(m＝1)＋P(m＝7)
＝C＋C＝.
ξ 0 4 8 12
P
一次游戏付出的奖金E(ξ)＝0×＋4×＋8×＋12×＝，则小红的收益为6－＝.
小明的收益计算如下：每一次游戏中，η的可能取值为0，1，4，9.
P(η＝0)＝P(n＝4)＝C＝，
P(η＝1)＝P(n＝3)＋P(n＝5)
＝C＋C＝，
P(η＝4)＝P(n＝2)＝C＝，
P(η＝9)＝P(n＝1)＝＝.
所以η的分布列为：
η 0 1 4 9
P
一次游戏付出的奖金E(η)＝0×＋1×＋4×＋9×＝1，则小明的收益为4－1＝3.
因为3＞，所以小明的盈利多．
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