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专题五 第2课时　圆锥曲线的方程与性质
圆锥曲线的定义及标准方程
1．(2021·烟台一模)已知F为抛物线C：y2＝8x的焦点，直线l与C交于A，B两点，若AB中点的横坐标为4，则|AF|＋|BF|＝(　　)
A．8 B．10 C．12 D．16
【解析】选C.F为抛物线C：y2＝8x的焦点(2，0)，准线方程x＝－2，由题设知线段AB的中点到准线的距离为：4＋2＝6，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知：|AB|＝|AF|＋|BF|＝d1＋d2＝2×6＝12.
2．(2021·滨州一模)如图，斜线段AB与平面α所成的角为，B为斜足．平面α上的动点P满足∠PAB＝，则点P的轨迹为(　　)
A．圆 B．椭圆
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
【解析】选B.用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．参考如图：此题中平面α上的动点P满足∠PAB＝，可理解为P在以AB为轴的圆锥的侧面上，再由斜线段AB与平面α所成的角为，可知P的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义，故可知动点P的轨迹是椭圆．
3.(2021·惠州一模)希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e＝1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线．现有方程m(x2＋y2＋2y＋1)＝(x－2y＋3)2表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为(　　)
A．(0，1) B．(1，＋∞)
C．(0，5) D．(5，＋∞)
【思维通关】
关键点 根据叙述，弄懂圆锥曲线的统一定义
障碍点 把所给方程变形为统一定义描述的形式，即到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e
易错点 方程变形错误
【解析】选C.方程m(x2＋y2＋2y＋1)＝(x－2y＋3)2，m＞0，即为m[x2＋(y＋1)2]＝(x－2y＋3)2，可得·＝|x－2y＋3|，
则＝，可得动点P(x，y)到定点(0，－1)和定直线x－2y＋3＝0的距离的比为常数，由双曲线的定义，可得＞1，
解得0＜m＜5.
　本题题意不变，若所给方程表示的曲线是椭圆，求m的取值范围．
【解析】方程m(x2＋y2＋2y＋1)＝(x－2y＋3)2，m＞0，即为m[x2＋(y＋1)2]＝(x－2y＋3)2，可得·＝|x－2y＋3|，
则＝，可得动点P(x，y)到定点(0，－1)和定直线x－2y＋3＝0的距离的比为常数，由椭圆的定义，可得0＜＜1，解得m＞5.
1．关于圆锥曲线定义的应用
对于椭圆、双曲线如果涉及曲线上的点与焦点的距离，一般要利用定义进行转化．对应抛物线涉及曲线上点到焦点的距离、到准线的距离时需要相互转化．
2．关于圆锥曲线方程的求法
定型 确定曲线类型
计算 利用待定系数法，根据条件求出系数a，b，c，p
圆锥曲线的几何性质
1．(2021·全国甲卷)点(3，0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为(　　)
A． B． C． D．
【解析】选A. 显然双曲线－＝1的一条渐近线方程为3x－4y＝0，所以点(3，0)到直线3x－4y＝0的距离为＝.
2．(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选C.B点坐标为(0，b)，由题意知，以B为圆心，2b为半径的圆与椭圆至多只有一个交点，
即至多有一个解，
消去x得y2－2by＋a2－3b2＝0，
令Δ＝0，即(a2－2b2)2＝0，得e＝，
所以e∈.
3.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率等于2，F1，F2分别是C的左、右焦点，A为C的右顶点，P在C的渐近线上，且PF1⊥PF2，若△PAF1的面积为3a，则C的虚轴长等于(　　)
A． B．2
C．2 D．4
【思维通关】
关键点 根据题设建立关于a，b，c的方程组
障碍点 不能确定点P的坐标，进而无法使用条件“△PAF1的面积为3a”
易错点 求点P的坐标
【解析】选D.双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率等于2，e＝＝2，…①
F1，F2分别是C的左、右焦点，
双曲线一三象限的渐近线的斜率为：＝＝＝，…②
A为C的右顶点，P在C的渐近线上，
且PF1⊥PF2，所以P(a，b)，
由于△PAF1的面积为3a，
所以(a＋c)·b＝3a，…③
解①②③可得b＝2，所以C的虚轴长等于4.
4．(2021·新高考I卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为__________.
【解析】由已知可设P，
所以kOP＝2，kPQ＝－，
因此直线PQ的方程为：y－p＝－，
令y＝0得x＝，因此|FQ|＝－＝2p＝6，则p＝3，
所以C的准线方程为x＝－＝－.
答案：x＝－
性质 应用指南
研究圆锥曲线的性质 厘清圆锥曲线中a，b，c，e，p的关系是关键
离心率 根据条件建立关于a，b，c之间的方程，结合其自身的关系消元，构造方程求离心率
双曲线的渐近线方程 利用公式e＝，建立离心率与渐近线斜率的关系，知道一个可以求另一个
圆锥曲线的综合交汇问题
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1.(2021·枣庄二模)已知椭圆C与双曲线x2－y2＝1有相同的左焦点F1、右焦点F2，点P是两曲线的一个交点，且PF1·PF2＝0.过F2作倾斜角为45°的直线交C于A，B两点(点A在x轴的上方)，且＝λAF2，则λ的值为(　　)
A．3＋ B．3＋
C．2＋ D．2＋
【思维通关】
关键点 由题设求出椭圆方程
障碍点 点P是两曲线的公共点
易错点 混淆椭圆与双曲线中a，b，c的关系
【解析】选A.设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，双曲线的方程为x2－y2＝1的焦点为F1(－，0)，F2(，0)，可得a2－b2＝2，
由PF1·PF2＝0，可得PF1⊥PF2，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则m＋n＝2a，|m－n|＝2，
且m2＋n2＝|F1F2|2＝(2)2＝8，
所以mn＝2，
则4a2＝m2＋n2＋2mn＝8＋4＝12，
即a＝，b＝1，
则椭圆的方程为＋y2＝1，
过F2作倾斜角为45°的直线的方程为y＝x－，
联立可得x2－2x＋1＝0，
解得x1＝，x2＝，
交点为A(，)，B(，)，|AB|＝，|AF2|＝，
所以λ＝＝3＋.
2．(2021·聊城一模)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，若A，F，B三点共线，且·＝－3，则p＝________．
【解析】由题可知，直线AB的斜率不为0，
故可设直线方程为x＝my＋，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得y1y2＝－p2，x1x2＝＝，
因为·＝－3，所以x1x2＋y1y2＝－3，
即p2＝4，所以p＝2(负值舍去).
答案：2
3．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，以原点O为圆心、C的焦距为半径的圆交x轴于A，B两点，P是圆O与C的一个公共点．若|PA|＝|PB|，则C的离心率为________．
【解析】如图，由题意可得，圆O的方程为x2＋y2＝4c2，与x轴的交点分别为A(－2c，0)，B(2c，0)，
则|AB|＝4c，△APB为直角三角形，又|PA|＝|PB|，所以tan ∠ABP＝＝，即∠ABP＝60°，连接OP，△OBP为等边三角形，
过P作PQ⊥AB，可得Q为OB的中点，
因为|OB|＝2c，所以|OQ|＝c，|PQ|＝c，因此P的坐标为(c，c)，将P点坐标代入双曲线方程，可得－＝1，即－＝1，
化简得：e4－5e2＋1＝0，解得e2＝，
又e＞1，得e＝.
答案：
1．圆锥曲线及圆之间的综合问题
解决圆锥曲线之间、圆锥曲线与圆之间的综合问题时，关键是抓住两种曲线之间的联系，再结合其自身的几何性质解题．
2．圆锥曲线与其他知识点之间的交汇问题
圆锥曲线与向量、三角函数、基本不等式等交汇，综合考查圆锥曲线的几何性质的应用，一般是利用圆锥曲线的几何性质转化条件，再利用其他的知识点解题，或者是其他的知识点转化为条件，再利用圆锥曲线的几何性质解题．
1．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(－，2)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
【解析】选C.由题意双曲线的渐近线方程为y＝±x，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(－，2)，可得＝，
因为抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－，双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，所以c＝，所以a2＋b2＝c2＝7，所以a＝，b＝2，
所以双曲线的方程为－＝1.
2．(2021·青岛一模)2021年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象．已知抛物线Z：x2＝4y的焦点为F，圆F：x2＋(y－1)2＝4与抛物线Z在第一象限的交点为P(m，)，直线l：x＝t(0＜t＜m)与抛物线Z的交点为A，直线l与圆F在第一象限的交点为B，则m＝______；△FAB周长的取值范围为______．
【解析】联立方程
解得或
又因为点P在第一象限，
所以P(2，1)，即m＝2；
由题意可知抛物线Z的焦点和圆F的圆心是同一个点(0，1)，所以|FB|＝2，|AF|＝yA＋1，|AB|＝yB－yA，所以△ABF的周长为2＋yA＋1＋yB－yA＝yB＋3，
因为0＜t＜m＝2，所以1＜yB＜3，
所以△ABF的周长取值范围是(4，6).
答案：2　(4，6)
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