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专题五 解析几何高考小题
第1课时　直线与圆
直线方程
1．“a＝－3”是“直线l1：ax－(a＋1)y＋1＝0与直线l2：2x－ay－1＝0垂直”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】选A.由直线l1：ax－(a＋1)y＋1＝0与直线l2：2x－ay－1＝0垂直，可得2a＋a(a＋1)＝0，解得a＝0或a＝－3，所以“a＝－3”是“直线l1：ax－(a＋1)y＋1＝0与直线l2：2x－ay－1＝0垂直”的充分不必要条件．
2．(2021·鹰潭三模)过点(1，3)且平行于直线x＋2y＋3＝0的直线方程为____________．
【解析】设与直线x＋2y＋3＝0平行的直线方程为x＋2y＋c＝0，
把点(1，3)代入可得1＋2×3＋c＝0，c＝－7，
故所求的直线的方程为x＋2y－7＝0.
答案：x＋2y－7＝0
3．直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1对称的直线l2的方程为____________．
【解析】由
解得直线l1与l的交点坐标为(－2，－1)，
所以可设直线l2的方程为y＋1＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k－1＝0.
在直线l上任取一点(1，2)，由题设知点(1，2)到直线l1，l2的距离相等，由点到直线的距离公式得
＝，
解得k＝(k＝2舍去)，
所以直线l2的方程为x－2y＝0.
答案：x－2y＝0
4.直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为__________________．
【思维通关】
关键点 画出图形，弄清直线的变化情况
障碍点 直线的倾斜角与斜率的关系
易错点 分别求出临界直线的斜率，误认为斜率的范围为
【解析】如图，因为kAP＝＝1，
kBP＝＝－，
所以k∈(－∞，－]∪[1，＋∞).
答案：(－∞，－]∪[1，＋∞)
　(1)若将本题中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．
(2)若将本题中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围．
【解析】(1)因为P(－1，0)，A(2，1)，B(0，)，
所以kAP＝＝，kBP＝＝.
由图可知，直线l斜率的取值范围为.
(2)如图，直线PA的倾斜角为，
直线PB的倾斜角为π，由图象知l的倾斜角的范围为∪.
　直线方程及其应用的关注点
(1)倾斜角α与斜率k的关系
当α∈时，k∈[0，＋∞)，当α＝时，斜率k不存在，当α∈时，k∈(－∞，0).
(2)设直线的方程时要注意其适用条件，如设点斜式时，要注意斜率不存在的情况；设截距式时要注意截距为零的情况．
(3)已知直线的平行、垂直关系求参数值时，可以直接利用其系数的等价关系式求值，也要注意验证与x，y轴垂直的特殊情况．
圆的方程
1. (2021·张家口三模)“a＞0”是“点(0，1)在圆x2＋y2－2ax－2y＋a＋1＝0外”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】选B.将x2＋y2－2ax－2y＋a＋1＝0化为标准方程，得(x－a)2＋(y－1)2＝a2－a.当点(0，1)在圆x2＋y2－2ax－2y＋a＋1＝0外时，有解得a＞1.所以“a＞0”是“点(0，1)在圆x2＋y2－2ax－2y＋a＋1＝0外”的必要不充分条件．
2．(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选B.因为已知圆与两坐标轴都相切，所以可设圆心坐标为(a>0)，则半径为a，由此圆过点(2，1)得，2＋2＝a2，解得a＝1或5，所以圆心坐标为(1，1)或(5，5)，圆心到直线2x－y－3＝0的距离都是.
3．已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，则的最大值和最小值分别为__________．
【解析】可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－，所以的最大值为－2＋，最小值为－2－.
答案：－2＋，－2－
　本题条件不变，
求的最大值和最小值．
【解析】＝，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1，2)的距离为，所以的最大值为＋1，最小值为－1.
1．圆的方程的求法
(1)设圆的标准方程或一般方程，利用条件确定方程中的系数，即待定系数法；
(2)利用与圆相关的定理、性质确定圆的圆心和半径，写出圆的标准方程．
2．应用圆的方程求最值的策略
(1)根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
(2)利用平方关系，把圆上的动点坐标设为三角形式，用三角函数求最值．
直线(圆)与圆的位置关系
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1．(2021·泰安一模)已知直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0有公共点，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．[0，2) D．(－∞，2)
【解析】选A.依题意可知，直线与圆相交或相切．圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0即为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a.由≤，解得a≤0.
所以实数a的取值范围为(－∞，0].
2.已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
【思维通关】
关键点 确定圆M的圆心与半径
障碍点 如何由题意求出a的值
易错点 求a的值时，误认为＝2
【解析】选B.圆的标准方程为M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，则圆心为(0，a)，半径R＝a，
圆心到直线x＋y＝0的距离d＝，
因为圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，
所以2＝2＝2＝2，
即＝，即a2＝4，a＝2，
则圆心为M(0，2)，半径R＝2，
圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为N(1，1)，半径r＝1，则MN＝＝，
因为R＋r＝3，R－r＝1，
所以R－r＜MN＜R＋r，即两个圆相交．
3．(2020·浙江高考)设直线l：y＝kx＋b(k>0)，圆C1：x2＋y2＝1，C2：(x－4)2＋y2＝1，若直线l与C1，C2都相切，则k＝________；b＝________．
【解析】由题意作图如下：
易知直线l经过(2，0)，所以b＝－2k，l：y＝kx－2k，由直线与圆相切得，(0，0)到直线的距离为半径，d＝＝1，解得k＝，b＝.
答案：　
　关于直线(圆)与圆的位置关系
(1)熟练掌握与切线、弦长等问题相关的基础知识和方法；
(2)综合运用化归思想，将问题进行转化，再利用圆的性质解题；
(3)注意圆与其他圆锥曲线、三角等知识结合应用解题．
1．若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(121，＋∞)
C．[1，121] D．(1，121)
【解析】选C.x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36.
圆心距为d＝＝5，若两圆有公共点，则|6－|≤5≤6＋，所以1≤m≤121.
2．(2021·惠州一模)“a≥－3”是“直线y＝x＋1与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点”成立的________条件(　　)
A．充分不必要
B．充要
C．必要不充分
D．既不充分也不必要
【解析】选C.根据题意，圆(x－a)2＋y2＝2的圆心为(a，0)，半径r＝，
圆心到直线y＝x＋1的距离d＝，
若直线y＝x＋1与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则必有d≤，即≤，变形可得|a＋1|≤2，解可得－3≤a≤1，
即a的取值范围为[－3，1]，
因为[－3，1]?[－3，＋∞)，
故“a≥－3”是“直线y＝x＋1与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点”成立的必要不充分条件．
3．已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则圆C的面积为________．
【解析】圆C：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0，化为(x－a)2＋(y－1)2＝a2－1，且圆心C(a，1)，半径R＝.
因为直线y＝ax和圆C相交，△ABC为等边三角形，
所以圆心C到直线ax－y＝0的距离为R sin 60°＝×，即d＝＝.计算得出a2＝7.
所以圆C的面积为πR2＝π(7－1)＝6π.
答案：6π
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