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2课时突破　三角函数及解三角形高考小题
第1课时　三角函数的图象与性质
三角函数的定义、诱导公式及
同角三角函数的基本关系式
1．已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】选B.由已知得(sin θ－cos θ)2>1，
即1－2sin θcos θ>1，sin θcos θ<0，
又sin θ>cos θ，所以sin θ>0>cos θ，
所以角θ的终边在第二象限．
2．已知a＝tan (－)，b＝cos ()，c＝sin (－)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．a>c>b
【解析】选B.由已知，得a＝tan (－π－)＝－tan ＝－，b＝cos (6π－)＝cos ＝，c＝sin (－8π－)＝－sin ＝－，
因而b>a>c.
3.(2021·成都二模)设点O为坐标原点，角θ1，θ2，θ3，…，θ60的始边与x轴非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边上分别有一点P1，P2，P3，…，P60，若OPk＝(sin(30°－k°)，sin(60°＋k°))(1≤k≤60，k∈N*)，则cos θ1＋cos θ2＋cos θ3＋…＋cos θ60＝(　　)
A．－ B．－ C． D．
【思维通关】
关键点 利用三角函数的诱导公式化简sin(60°＋k°)
障碍点 利用三角函数的定义对cos θk＝sin(30°－k°)进行转化
易错点 诱导公式应用错误
【解析】选A.因为＝(sin(30°－k°)，sin(60°＋k°))(1≤k≤60，k∈N*)，所以Pk(sin(30°－k°)，sin(60°＋k°))是射线OPk上的点，sin (60°＋k°)＝
sin [90°－(30°－k°)]＝cos(30°－k°)，
sin2(30°－k°)＋cos2(30°－k°)＝1，
所以cosθk＝sin(30°－k°)，
所以cos θ1＋cos θ2＋cos θ3＋…＋cos θ60＝sin 29°＋sin 28°＋…＋sin 0°＋sin(－1°)＋…＋sin(－30°)＝sin 29°＋sin 28°＋…＋sin 1°＋0－sin 1°－…－sin 29°－
sin 30°＝－.
4．已知3sin α·tan α＋8＝0，α∈(，π)，则tan α＝________．
【解析】因为3sin α·tan α＋8＝0，α∈(，π)，
所以＋8＝0，
整理可得3 cos2α－8cosα－3＝0，
解得cos α＝－或cos α＝3(舍去).
所以sin α＝＝.
所以tan α＝＝－2.
答案：－2
若本题的条件改为“＝2，α∈(，π)”，则tan α＝________．
【解析】因为＝2，所以sin α＝2＋2cos α.
两边平方，得sin2α＝4＋8cos α＋4cos2α，
即1－cos2α＝4＋8cos α＋4cos2α，
整理得，5cos2α＋8cos α＋3＝0，
解得cos α＝－1或cos α＝－.
当cos α＝－1时，1＋cos α＝0，无意义；
当cos α＝－时，sin α＝，
所以tan α＝＝－.
答案：－
　利用诱导公式进行化简求值的步骤
利用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．
提醒：“奇变偶不变，符号看象限”．
三角函数的图象
1．(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin (x－)的图象，则f(x)＝(　　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
【解析】选B.逆向：y＝sin
y＝sin
y＝sin .
2．(2021·全国乙卷)函数f(x)＝sin ＋cos 的最小正周期和最大值分别是(　　)
A．3π和 B．3π和2
C．6π和 D．6π和2
【解析】选C.由f(x)＝sin ＋cos 可得f(x)＝sin ，
故周期为T＝＝＝6π，最大值为.
3.(多选题)(2020·新高考全国Ⅱ卷)下图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图像，则sin (ωx＋φ)＝(　　)
A．sin (x＋)
B．sin (－2x)
C．cos (2x＋)
D．cos (－2x)
【思维通关】
关键点 根据图象上的特殊点求出函数解析式
障碍点 确定ω和φ的值
易错点 求φ值容易出错
【解析】选BC.由函数图象可知：＝π－＝，则ω＝＝＝2，所以不选A，
当x＝＝时，y＝－1
所以2×＋φ＝＋2kπ，
解得：φ＝2kπ＋π，
即函数的解析式为：y＝sin ＝
sin (2x＋＋)＝cos ＝sin .
而cos ＝－cos (－2x).
4．将函数f(x)＝2sin (2x＋)的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数解析式为(　　)
A．y＝2sin (2x＋)
B．y＝2sin (2x＋)
C．y＝2sin (2x－)
D．y＝2sin (2x－)
【解析】选D.由函数f(x)＝2sin (2x＋)得周期T＝＝π.将函数f(x)＝2sin (2x＋)的图象向右平移个周期，即将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得y＝f(x－)＝2sin [2(x－)＋]＝2sin (2x－).
本题条件不变，将函数f(x)的图象平移后所得图象再向右平移θ(θ＞0)个单位长度，可得函数g(x)的图象．若y＝g(x)的图象关于y轴对称，则θ的最小值为________．
【解析】由y＝2sin (2x－)得g(x)＝2sin (2x－2θ－).
又y＝g(x)的图象关于y轴对称，则－2θ－＝kπ＋，k∈Z，
所以θ＝－－.
又θ＞0，所以k＜－，
即当k＝－1时，θmin＝.
答案：
1．由“图”定“式”找“对应”的方法
由三角函数的图象求解析式y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图．
(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝.
(2)T定ω：由周期的求解公式T＝，可得ω＝.
(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”．
2．关于三角函数的图象变换的方法
沿x轴 沿y轴
平移变换 由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移 由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移
伸缩变换 由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍 由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍
三角函数的性质　 INCLUDEPICTURE "重难突破J.TIF" INCLUDEPICTURE "重难突破J.TIF" \* MERGEFORMAT
1.(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin (x－)单调递增的区间是(　　)
A． B．
C． D．
【思维通关】
关键点 根据函数解析式研究函数的性质，熟悉一些常见三角曲线的性质
障碍点 利用整体思想研究三角函数的单调性和赋值法
易错点 三角函数单调性的范围出现错误
【解析】选A.当x－∈时，函数单调递增，即x∈，k∈Z，故A正确．
2.已知函数f(x)＝sin ωx的图象关于点(，0)对称，且f(x)在上为增函数，则ω＝(　　)
A． B．3 C． D．6
【思维通关】
关键点 解答本题需要熟悉正弦函数的性质
障碍点 根据函数f(x)＝sin ωx的图象关于点(，0)对称，不能正确列出π＝kπ(k∈Z)
易错点 f(x)在上为增函数，根据性质不能列出关于ω的不等式关系
【解析】选A.因为函数f(x)＝sin ωx的图象关于(，0)对称，
所以π＝kπ(k∈Z)，即ω＝k(k∈Z).①
又函数f(x)＝sin ωx在区间上是增函数，
所以≤且ω>0，所以0<ω≤2.②
由①②得ω＝.
3．若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]上是减函数，则a的最大值是(　　)
A． B． C． D．π
【解析】选C.方法一：因为f(x)＝cos x－sin x＝－sin ，
所以当x－∈，即x∈[－，]时，y＝sin (x－)单调递增，
f(x)＝－sin (x－)单调递减，
所以是f(x)在原点附近的单调减区间，结合条件得[0，a] ，
所以a≤，即amax＝.
方法二：f′(x)＝－sin x－cos x＝－sin (x＋).于是，由题设得f′(x)≤0，即sin (x＋)≥0在区间[0，a]上恒成立．
当x∈[0，a]时，x＋∈(，a＋)，
所以a＋≤π，即a≤，
故所求a的最大值是.
1．求三角函数单调区间的方法
(1)代换法：求形如y＝A sin (ωx＋φ)(或y＝A cos (ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，得y＝A sin z(或y＝A cos z)，然后由复合函数的单调性求得．
(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．
2．判断对称中心与对称轴的方法
利用函数y＝A sin (ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．
1．已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
【解析】选B.因为f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos 2x－＋2＝cos 2x＋，
所以f(x)的最小正周期为π，最大值为4.
2．若函数f(x)＝sin (2x＋θ)＋cos (2x＋θ)(0<θ<π)的图象关于(，0)中心对称，则函数f(x)在上的最小值是(　　)
A．－1 B．－ C．－ D．－
【解析】选B.f(x)＝2sin (2x＋θ＋)，又图象关于(，0)中心对称，所以2×＋θ＋＝kπ(k∈Z)，
所以θ＝kπ－(k∈Z)，又0<θ<π，所以θ＝，
所以f(x)＝－2sin 2x，因为x∈，
所以2x∈，f(x)∈[－，2]，
所以f(x)的最小值是－.
3．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)＋cos (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则(　　)
A．f(x)在(0，)上单调递减
B．f(x)在(，)上单调递增
C．f(x)在(0，)上单调递增
D．f(x)在(，)上单调递减
【解析】选D.因为f(x)＝sin (ωx＋φ)＋cos (ωx＋φ)＝2sin (ωx＋φ＋)的最小正周期为π，所以＝π，所以ω＝2.因为f(－x)＝f(x)，所以直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，所以2×＋φ＋＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝－＋kπ，k∈Z，因为|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝2sin (2x＋).当x∈(0，)时，2x＋∈(，)，f(x)先增后减，当x∈(，)时，2x＋∈(，)，f(x)单调递减．
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