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第2课时　三角恒等变换与解三角形
利用三角恒等变换求值
1．(2021·新高考I卷)若tan θ＝－2，则＝(　　)
A．－ B．－ C． D．
【解析】选C.由tan θ＝－2，得sin2θ＝，
sinθcos θ＝－，
故＝
＝ sin2θ＋sin θcos θ＝.
2.若sin (－α)＝，则sin (＋2α)＝(　　)
A． B． C． D．
【思维通关】
关键点 利用诱导公式对sin (＋2α)进行变形是关键
障碍点 公式变形和二倍角的应用
易错点 利用诱导公式将sin (＋2α)变形为cos (－2α)容易出错
【解析】选D.由题意，根据诱导公式可得sin (＋2α)＝cos ＝cos (－2α)，又由余弦的倍角公式，可得cos (－2α)＝1－2sin2(－α)＝1－2×()2＝，即sin(＋2α)＝.
若把本题条件改为sin (－α)＝，则2cos2(＋)－1＝(　　)
A． B．－ C． D．－
【解析】选A.2cos2(＋)－1＝cos(＋α)＝cos (－＋α)＝sin (－α)＝.
3．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
【解析】选A.方法一：因为sin α＋cos α＝，所以sin 2α＝－，又α为第二象限角且sin α＋cos α＝＞0，所以2kπ＋＜α＜2kπ＋(k∈Z)，所以4kπ＋π＜2α＜4kπ＋(k∈Z)，所以2α为第三象限角，所以cos 2α＝－＝－.
方法二：因为sin α＋cos α＝，所以sin 2α＝－，因为α为第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin α－cos α＝＝＝＝，
由解得
所以cos 2α＝2cos2α－1＝－.
4．(2021·长春二模)已知cos α＝，cos (α＋β)＝－，且α，β∈(0，)，则cos (α－β)＝(　　)
A．－ B． C．－ D．
【解析】选D.因为α∈(0，)，所以2α∈(0，π).
因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝－，
所以sin2α＝＝，而α，β∈(0，)，所以α＋β∈(0，π)，
所以sin (α＋β)＝＝，
所以cos (α－β)＝cos [2α－(α＋β)]
＝cos 2αcos (α＋β)＋sin 2αsin (α＋β)
＝(－)×(－)＋×＝.
给值求值问题的求解思路
(1)化简所求式子．
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
利用三角恒等变换求角
1．(2021·乌鲁木齐二调)已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈(－，)，则α＋β＝(　　)
A． B．或－
C．－或 D．－
【解析】选D.由题意得tan α＋tan β＝－3＜0，
tan αtan β＝4＞0，所以tan (α＋β)＝＝，且tan α＜0，tan β＜0.又由α，β∈(－，)，得α，β∈(－，0)，
所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－.
2．设α∈(0，)，β∈(0，)，且tan α＝，则(　　)
A．3α－β＝ B．2α－β＝
C．3α＋β＝ D．2α＋β＝
【解析】选B.由tan α＝，得＝，
即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，
所以sin (α－β)＝cos α＝sin (－α).因为α∈(0，)，β∈(0，)，
所以α－β∈(－，)，－α∈(0，)，由sin (α－β)＝sin (－α)，
得α－β＝－α，所以2α－β＝.
3.(2021·银川模拟)已知cos (2α－β)＝－，sin (α－2β)＝，0＜β＜＜α＜，则α＋β＝________．
【思维通关】
关键点 角α＋β用(2α－β)和(α－2β)表示
障碍点 根据0＜β＜＜α＜判断2α－β及α－2β的范围
易错点 利用求α＋β的正弦值来判断角α＋β的值容易出错
【解析】因为0<β<<α<，
所以<2α<π，－<－β<0所以<2α－β<π.
又因为cos (2α－β)＝－，
所以sin (2α－β)＝.因为0<β<<α<，
所以－<－2β<0，所以－<α－2β<.
又因为sin (α－2β)＝，
所以cos (α－2β)＝.所以cos (α＋β)＝cos [(2α－β)－(α－2β)]＝cos (2α－β)cos (α－2β)＋sin (2α－β)sin (α－2β)＝－×＋×＝.又因为＜α＋β＜，所以α＋β＝.
答案：
4．已知cos α＝，cos (α－β)＝，且0<β<α<，则β＝________．
【解析】因为0<β<α<，所以0<α－β<.
又因为cos (α－β)＝，
所以sin (α－β)＝＝.
因为cosα＝，0<α<，所以sin α＝.
所以cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos α·cos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝×＋×＝.
因为0<β<，所以β＝.
答案：
　已知三角函数值求角的解题步骤
(1)根据条件确定所求角的范围．
(2)确定待求角的某种三角函数值，为防止增解，最好选取在上述范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
INCLUDEPICTURE "考向三J.TIF" INCLUDEPICTURE "考向三J.TIF" \* MERGEFORMAT 利用正弦定理、余弦定理解三角形　 INCLUDEPICTURE "重难突破J.TIF" INCLUDEPICTURE "重难突破J.TIF" \* MERGEFORMAT
1.(2021·洛阳三模)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c cos B＋b cos C＝，且b2＋c2－a2＝bc，则三角形ABC的外接圆半径的长为　　(　　)
A． B． C．2 D．1
【思维通关】
关键点 余弦定理的应用
障碍点 容易忘记利用公式＝2R求半径
易错点 根据b2＋c2－a2＝bc求角A
【解析】选D.把余弦定理代入c cos B＋b cos C＝，得a＝，由b2＋c2－a2＝bc得2bc cos A＝bc，所以cos A＝，所以A＝，
所以＝＝2R.所以R＝1.
2.(2021·朝阳二模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝(　　)
A．1或2 B．2
C． D．1
【思维通关】
关键点 正弦定理、余弦定理的应用
障碍点 求得c＝2或c＝1未检验c＝1是否符合题意
易错点 求得cos A后求角A容易出错
【解析】选B.因为B＝2A，a＝1，b＝，所以由正弦定理＝，得＝＝＝，所以cos A＝.
又由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
即1＝3＋c2－3c，解得c＝2或c＝1(经检验不合题意，舍去)，所以c＝2.
3．(2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)(　　)
A．346 B．373 C．446 D．473
【解析】选B.作CM⊥BB′，BN⊥AA′，CQ⊥AA′，其中M，N，Q为相应的垂足，
由题意得，BM＝100，∠BCM＝15°，∠ABN＝45°，即CM＝＝B′C′，
所以BN＝B′A′＝＝
＝＝100＋100≈273，
所以AN＝BN＝273，AQ＝AA′－CC′＝AN＋QN＝AN＋(BB′－CC′)＝273＋100＝373.
4.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos C＝3a cos B－c cos B，·＝2，则△ABC的面积为________．
【思维通关】
关键点 正弦定理、三角恒等变换公式及向量数量积公式的应用
障碍点 由·转化为边的关系
易错点 不能正确逆用三角恒等变换公式
【解析】因为b cos C＝3a cos B－c cos B，
由正弦定理得sin B cos C＝3sin A cos B－sin C cos B，即sin B cos C＋sin C cos B＝3sin A cos B，
所以sin (B＋C)＝3sin A cos B.
又sin (B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，
所以sin A＝3sin A cos B，
又sin A≠0，解得cos B＝，
所以sin B＝＝＝.
由·＝2，可得ca cos B＝2，解得ac＝6.
所以S△ABC＝ac·sin B＝×6×＝2.
答案：2
　　　【加练备选】
1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos B＝a cos C＋c cos A，则B＝________．
【解析】方法一：由2b cos B＝a cos C＋c cos A及正弦定理，得2sin B cos B＝sin A cos C＋sin C cos A．
所以2sin B cos B＝sin (A＋C).
又A＋B＋C＝π，所以A＋C＝π－B.
所以2sin B cos B＝sin(π－B)＝sin B.
又sin B≠0，所以cos B＝.所以B＝.
方法二：因为在△ABC中，a cos C＋c cos A＝b，
所以条件等式变为2b cos B＝b，所以cos B＝.
又0＜B＜π，所以B＝.
答案：
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝______．
【解析】在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，所以sin A＝，sin C＝，所以sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C
＝×＋×＝.
又因为＝，
所以b＝＝＝.
答案：
1．正、余弦定理的适用条件
(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．
(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．
注意：应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．
2．三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用含该角的公式．
(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－，则＝(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
【解析】选A.因为a sin A－b sin B＝4c sin C，所以由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，所以＝6.
2．(2021·晋城二模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　)
A． B． C． D．
【解析】选B.因为a＝2，c＝，
所以由正弦定理可知，＝，
故sin A＝sin C．又B＝π－(A＋C)，
故sin B＋sin A(sin C－cos C)
＝sin (A＋C)＋sin A sin C－sin A cos C
＝sin A cos C＋cos A sin C＋sin A sin C－sin A cos C＝(sin A＋cos A)sin C＝0.
又C为△ABC的内角，故sin C≠0，
则sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1.
又A∈(0，π)，所以A＝.
从而sin C＝sin A＝×＝.
由A＝知C为锐角，故C＝.
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin C＋c sin B＝4a sin B sin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
【解析】由b sin C＋c sin B＝4a sin B sin C，得
sin B sin C＋sin C sin B＝4sin A sin B sin C，
因为sin B sin C≠0，所以sin A＝.
因为b2＋c2－a2＝8，cos A＝，
所以bc＝，
所以S△ABC＝bc sin A＝××＝.
答案：
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