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1 课时突破 三角函数及解三角形解答题
三角函数及解三角形的综合问题
三角函数的图象与性质的应用
【典例1】(2021·浙江高考)设函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R).
(1)求函数y＝的最小正周期；
(2)求函数y＝f(x)f在上的最大值．
【思维点拨】
(1) 定目标：求函数y的解析式，再由三角函数最小正周期公式即可得解找关系：由题意结合三角恒等变换进行化简将函数y的解析式化为最简形式
(2) 由三角恒等变换可得函数y的解析式，再由三角函数的性质即可得解．
【规范解答】(1)由辅助角公式得
f(x)＝sin x＋cos x＝sin ，…………………………2分
则y＝2＝2
＝2sin 2＝1－cos ＝1－sin 2x，
……………………………………4分
所以该函数的最小正周期T＝＝π；………………………………5分
(2)由题意，y＝ff＝sin (x＋)·sin x＝2sin sin x
＝2sin x·
＝sin 2x＋sin x cos x
＝·＋sin 2x
＝sin 2x－cos 2x＋＝sin ＋，
………………………………9分
由x∈可得2x－∈，
………………………………10分
所以当2x－＝即x＝时，
函数取得最大值1＋.………………………………12分
易错点 降幂公式和诱导公式运用容易出错
障碍点 利用辅助角公式进行化简
学科素养 数学运算、逻辑推理
评分细则 第(1)问求出函数y的解析式得4分，求得最小正周期得1分
第(2)问化简得y＝sin (2x－)＋得4分，求得函数最大值得2分
求解三角函数问题的两个思想
(1)整体思想：对于y＝A sin (ωx＋φ)的性质，可将ωx＋φ视为一个整体，设t＝ωx＋φ，解y＝A sin t，通过研究复合函数的性质求解目标．
(2)数形结合思想：结合函数的图象研究三角函数的性质．
　
(2021·福州模拟)在①函数f(x)＝sin (2ωx＋φ)的图象向右平移个单位长度得到g(x)的图象，g(x)图象关于原点对称；②向量m＝(sin ωx，cos 2ωx)，n＝，ω＞0，f(x)＝m·n；③函数f(x)＝cos ωx sin －(ω＞0)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知________，函数f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)若0＜θ＜，且sin θ＝，求f(θ)的值；
(2)求函数f(x)在上的单调递减区间．
【解析】方案一：选条件①
由题意可知，T＝＝π，所以ω＝1
所以f(x)＝sin (2x＋φ)，
所以g(x)＝sin ，
又函数g(x)图象关于原点对称，
所以φ＝kπ＋，k∈Z，
因为＜，所以φ＝，
所以f(x)＝sin ，
(1)因为0＜θ＜，sin θ＝，所以θ＝，
所以f(θ)＝f＝sin π＝；
(2)由＋2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z，
令k＝0，得≤x≤π，令k＝1，得π≤x≤π，
所以函数f(x)在上的单调递减区间为[，π]，.
方案二：选条件②
因为m＝(sin ωx，cos 2ωx)，n＝，
所以f(x)＝m·n＝sin ωx cos ωx＋cos 2ωx
＝＝sin ，
又T＝＝π，所以ω＝1，
所以f(x)＝sin ，
(1)因为0＜θ＜，sin θ＝，所以θ＝，
所以f(θ)＝f＝sin π＝；
(2)由＋2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z，
令k＝0，得≤x≤π，令k＝1，得π≤x≤π，
所以函数f(x)在上的单调递减区间为，.
方案三：选条件③
f(x)＝cos ωx sin －
＝cos ωx－
＝sin ωx cos x＋cos2ωx－
＝sin2ωx＋cos 2ωx
＝
＝sin ，
又T＝＝π，所以ω＝1，
所以f(x)＝sin ，
(1)因为0＜θ＜，sin θ＝，所以θ＝，
所以f(θ)＝f＝sin π＝；
(2)由＋2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z，
令k＝0，得≤x≤π，令k＝1，得π≤x≤π.
所以函数f(x)在上的单调递减区间为，.
　　　【加练备选】
已知函数f(x)＝4sin (x－)cos x＋.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若函数g(x)＝f(x)－m在上有两个不同的零点x1，x2，求实数m的取值范围，并计算tan (x1＋x2)的值．
【解析】(1)f(x)＝4sin (x－) cos x＋＝4(sin x－cos x)cos x＋
＝2sin x cos x－2cos2x＋
＝sin 2x－cos 2x＝2sin (2x－).
所以f(x)的最小正周期T＝π.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).
所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z).
(2)方程g(x)＝0等价于f(x)＝m，在平面直角坐标系中画出函数f(x)＝2sin (2x－)在上的图象，如图所示，由图象可知，
当且仅当m∈[，2)时，方程f(x)＝m有两个不同的解x1，x2，且x1＋x2＝2×＝，
故tan (x1＋x2)＝tan ＝－tan ＝－.
利用正弦定理余弦定理求三角形的边与角　
【典例2】(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BD sin ∠ABC＝a sin C.
(1)证明：BD＝b；
(2)若AD＝2DC，求cos ∠ABC.
【思维点拨】
(1) 根据正弦定理的边角关系有BD＝，结合已知即可证结论
(2) 根据余弦定理表示cos C，得到a，c的数量关系，结合已知条件及余弦定理求cos ∠ABC
【规范解答】(1)在△ABC中，＝　①，
因为BD sin ∠ABC＝a sin C，
所以＝　②，………………………………2分
联立①②得＝，即ac＝b·BD，
因为b2＝ac，所以BD＝b.………………………………4分
(2)若AD＝2DC，
在△ABC中，cos C＝　③，
在△BCD中，cos C＝　④，
因为③＝④，所以a2＋b2－c2
＝3，
整理得a2＋b2－c2＝3a2＋－3b2，
所以2a2－b2＋c2＝0，
因为b2＝ac，所以6a2－11ac＋3c2＝0，即(2a－3c)(3a－c)＝0，即a＝或a＝c，9分
若a＝，b2＝ac＝，
则cos ∠ABC＝＝
＝＝(舍)，
若a＝c，b2＝ac＝c2，
则cos ∠ABC＝＝
＝＝.………………………………11分
综上，cos ∠ABC＝.…………………………12分
易错点 根据余弦定理得a，c之间的关系容易出错
障碍点 三角形中余弦定理的应用
学科素养 数学运算、逻辑推理
评分细则 (1)利用正弦定理，结合已知证明结论BD＝b得4分；(2)根据余弦定理得到a，c的数量关系得5分；结合a，c的数量关系及余弦定理求cos ∠ABC得2分，最后的结论给1分
正弦、余弦定理的作用
(1)一是在已知三角形部分基本量的情况下求解其余基本量，基本思想是方程思想．
(2)二是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．
　
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝3，且A＝C＋，5c－4a＝15cos A，求c.
【解析】因为5c－4a＝15cos A，b＝3，
所以5c－4a＝5b cos A，
由正弦定理知，＝＝，
所以5sin C－4sin A＝5sin B cos A，
因为sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，所以5cos B sin A＝4sin A，
因为sin A＞0，
所以cos B＝，sin B＝＝，
因为A＝C＋，A＋B＋C＝π，
所以2C＝－B，
所以cos 2C＝cos (－B)＝sin B＝，
所以sin2C＝＝，
因为C∈(0，π)，
所以sin C＝，
由正弦定理得，c＝＝＝.
若把本题条件“5c－4a＝15cos A”改为“△ABC的面积S＝3”，其他条件不变，求c.
【解析】因为S＝ab sin C＝3，b＝3，
所以a sin C＝2，
因为A＝C＋，A＋B＋C＝π，所以B＝－2C，
由正弦定理得，a＝＝＝＝，
所以3sin C cos C＝2cos 2C，即3sin 2C＝4cos 2C，
因为，
所以0＜C＜，即0＜2C＜π，
所以sin 2C＞0，所以cos 2C＞0，
又sin22C＋cos22C＝1，所以cos 2C＝，
所以sin2C＝＝，所以sin C＝，
由正弦定理得，c＝＝＝＝＝.
若把本题条件“A＝C＋”改为“△ABC的面积S＝3”，其他条件不变，求c.
【解析】因为5c－4a＝15cos A，b＝3，
所以5c－4a＝5b cos A，
由正弦定理知，＝＝，
所以5sin C－4sin A＝5sin B cos A，
因为sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，
所以5cos B sin A＝4sin A，
因为sin A＞0，
所以cos B＝，sin B＝＝，
因为S＝ac sinB＝3，所以ac＝10(1)，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，
即9＝a2＋c2－20×，所以a2＋c2＝25(2)，
由(1)(2)解得，c＝或2.
　　　【加练备选】
(2020·新高考全国Ⅰ卷)在①ac＝，②c sin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，______？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】方案一：选条件①.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.
方案二：选条件②.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c，B＝C＝，A＝.
由②c sin A＝3，所以c＝b＝2，a＝6.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2.
方案三：选条件③.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
由③c＝b与b＝c矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
三角函数与解三角形知识的交汇
【典例3】已知函数f(x)＝sin ωx cos ωx－sin2ωx＋1(ω>0)的图象中相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间；
(2)已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，且满足a＝，f(A)＝1，求△ABC面积S的最大值．
【思维点拨】
(1) 逆用二倍角公式和降幂公式及辅助角公式把f(x)化简，结合相邻两条对称轴之间的距离为求ω，利用三角函数的性质求单调减区间
(2) 由f(A)＝1求得A，结合余弦定理和均值不等式求△ABC面积S的最大值
【解析】(1)f(x)＝sin 2ωx－＋1＝sin (2ωx＋)＋.因为函数f(x)的图象中相邻两条对称轴之间的距离为，所以T＝π，即＝π，所以ω＝1.所以f(x)＝sin ＋.
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z).
所以函数f(x)的单调递减区间为[＋kπ，＋kπ](k∈Z).
(2)由f(A)＝1得sin ＝.
因为2A＋∈(，)，所以2A＋＝，得A＝.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
即()2＝b2＋c2－2bc cos ，
所以bc＋3＝b2＋c2≥2bc，解得bc≤3，
当且仅当b＝c时等号成立．
所以S＝bc sin A≤×3×＝.
所以△ABC的面积S的最大值为.
　解三角形与三角函数交汇问题的一般步骤
　
将函数f(x)＝sin x＋cos x图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象．
(1)求函数g(x)的解析式及单调递增区间；
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin (－B)cos (＋B)＝，c＝g()，b＝2，求△ABC的面积．
【解析】(1)函数f(x)＝sin x＋cos x＝2sin (x＋)图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，
得到函数g(x)＝2sin (2x＋)的图象．
令－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
整理得－＋kπ≤x≤kπ＋(k∈Z)，
故函数g(x)的解析式为g(x)＝2sin ，其单调递增区间为：
(k∈Z).
(2)c＝g()＝2sin (＋)＝2，
由sin (－B)cos (＋B)＝，
整理得cos (＋B)＝±，由于B∈(0，π)，
所以＋B∈(，)，
①当cos (＋B)＝时，解得B＝，
由余弦定理：b2＝a2＋c2－2ac cos B，
解得a＝＋，
所以S△ABC＝×2×(＋)×sin ＝.
②当cos (＋B)＝－时，解得B＝.
由勾股定理解得a＝＝2，
所以S△ABC＝×2×2＝2.
综上，△ABC的面积为或2.
　　　【加练备选】
已知函数f(x)＝sin2ωx－sin2(ωx－)(x∈R，ω为常数且＜ω＜1)，函数f(x)的图象关于直线x＝π对称．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，f(A)＝，求△ABC面积的最大值．
【解析】(1)f(x)＝－cos2ωx－[－cos (2ωx－)]
＝cos (2ωx－)－cos 2ωx
＝－cos 2ωx＋sin 2ωx
＝sin (2ωx－).
令2ωx－＝＋kπ，k∈Z，
解得x＝＋，k∈Z.
所以f(x)的对称轴为x＝＋，k∈Z.
令＋＝π，k∈Z，
解得ω＝，k∈Z.
因为＜ω＜1，所以取k＝1，ω＝，
所以f(x)＝sin (x－).
所以f(x)的最小正周期T＝＝.
(2)因为f(A)＝sin (A－)＝，
所以sin (A－)＝.
又0所以A＝.
由余弦定理得，cos A＝＝＝，
所以b2＋c2＝bc＋1≥2bc，当且仅当b＝c时，等号成立．
所以bc≤1.
所以S△ABC＝bc sin A＝bc≤，
所以△ABC面积的最大值是.
正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用
【典例4】如图所示，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到点A的距离分别为20 km和50 km.某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；
(2)求静止目标P到海防警戒线AC的距离．
【思维点拨】
(1) 在△PAB中，利用余弦定理求cos ∠PAB，在△PAC中，利用余弦定理求cos ∠PAC，再根据cos ∠PAB＝cos ∠PAC求解
(2) 作PD⊥AC于点D，构造直角△ADP，利用三角函数的定义求解
【解析】(1)依题意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.
在△PAB中，AB＝20，cos ∠PAB＝
＝＝.
同理，在△PAC中，AC＝50，
cos ∠PAC＝＝＝.
因为cos ∠PAB＝cos ∠PAC，
所以＝，
解得x＝31.
(2)作PD⊥AC于点D，在△ADP中，
由cos ∠PAD＝，得sin ∠PAD＝＝，
所以PD＝PA sin∠PAD＝31×＝4(km).
故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4 km.
　解三角形实际应用问题的步骤
　
在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 nmile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
【解析】如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，
则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°，
解得x＝2.
故AC＝28，BC＝20.
根据正弦定理得＝，
所以sin α＝＝.
所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.
　　　【加练备选】
已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一座发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100 m和BN＝200 m，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100 m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．
【解析】在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，所以PM＝100.
连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，PQ＝100，
所以△PQM为等边三角形，
所以QM＝100.
在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.
在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200，
所以BQ＝100，cos θ＝.
在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQ cos θ＝(100)2，所以BA＝100.
即两发射塔顶A，B之间的距离是100 m．
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