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考点二　复　　数
　1.复数的概念与复数的几何意义；
2．复数的基本运算与复数概念、几何意义等交汇考查．
1．(2021·宣城二模)若复数(4＋ai)(1＋i)(i为虚数单位，a∈R)为纯虚数，则a的值为(　　)
A．－4 B．3 C．4 D．5
【解析】选C.因为(4＋ai)(1＋i)＝4＋ai＋4i＋ai2＝4－a＋(a＋4)i，所以则a＝4.
　该题中：
(1)若复数(4＋ai)(1＋i)为实数呢？
(2)若复数(4＋ai)(1＋i)为虚数呢？
【解析】(1)若复数(4＋ai)(1＋i)为实数，则有a＋4＝0，解得a＝－4.
(2)若复数(4＋ai)(1＋i)为虚数，则a＋4≠0，解得a≠－4.
2．(2021·新高考Ⅰ卷)已知z＝2－i，则z(＋i)＝(　　)
A．6－2i B．4－2i C．6＋2i D．4＋2i
【解析】选C.z＝2－i，＝2＋i，＋i＝2＋2i，
z(＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i.
3．若复数z＝的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的值可以是(　　)
A．1 B．0 C．－1 D．－2
【解析】选D.依题意z＝＝
，
＝，
由于在复平面内对应的点在第二象限，
所以解得a＜－1，
故a的值可以是－2.
　该题中：
(1)若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数a的取值范围；
(2)复数z在复平面内对应的点能否在直线y＝x上？若能，求出a的值；若不能，说明理由．
【解析】由原题可知z＝.
(1)若复数z在复平面内对应的点在第二象限，则
解得－1＜a＜1.
(2)若复数z在复平面内对应的点在直线y＝x上，
则＝，显然该方程无解．
所以复数z在复平面内对应的点不可能在直线y＝x上.
4．(2021·烟台一模)若复数z＝，则|z|＝(　　)
A． B．2 C． D．
【解析】选D.z＝＝＝＝2＋i，故|z|＝＝.
5．(2021·新高考Ⅱ卷)在复平面内，复数对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】选A.因为＝＝＝＋i，所以复数对应的点位于第一象限．
6．(2021·潍坊一模)已知复数z＝cos θ＋isin θ(i为虚数单位)，则|z－1|的最大值为(　　)
A．1 B． C．2 D．4
【解析】选C.方法一：代数法
由题意知：|z－1|＝|cos θ－1＋isin θ|
＝＝，
所以当cos θ＝－1时，|z－1|的最大值为2.
方法二：数形结合法
因为|z|＝＝1，
所以复平面内与复数z对应的点Z在以坐标原点为圆心，半径r＝1的圆上，如图所示．
取点A(1，0).则|z－1|＝|ZA|.显然，|AO|＝1.
所以|ZA|的最大值为|AO|＋r＝2.
　(1)该题中，|z－(1＋i)|的最大值与最小值呢？
(2)该题中，|z＋2i|的最大值与最小值呢？
【解析】(1)记z1＝1＋i，在复平面内与复数z1对应的点为B(1，1)，由原题知，复平面内与复数z对应的点Z在以坐标原点为圆心，半径r＝1的圆上，
则|z－(1＋i)|＝|ZB|.
显然|BO|＝＝.
所以|ZB|的最小值为|BO|－r＝－1；
|ZB|的最大值为|BO|＋r＝＋1.
(2)记z2＝－2i，在复平面内与复数z2对应的点为C(0，－2)，
复平面内与复数z对应的点Z在以坐标原点为圆心，半径r＝1的圆上，
则|z＋2i|＝|z－(－2i)|＝|ZC|.
显然|CO|＝2.
所以|ZC|的最小值为|CO|－r＝2－1＝1；
|ZC|的最大值为|CO|＋r＝2＋1＝3.
7．(多选题)已知复数z＝，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是(　　)
A．z的模等于13
B．z在复平面内对应的点位于第四象限
C．z的共轭复数为－2－3i
D．若z(m＋4i)是纯虚数，则m＝－6
【解析】选BD.因为z＝＝2－3i，所以|z|＝，因此A项错误；复数z在复平面内对应的点为(2，－3)，位于第四象限，B项正确；z的共轭复数＝2＋3i，C项错误；因为z(m＋4i)＝(2－3i)(m＋4i)＝(2m＋12)＋(8－3m)i为纯虚数，所以2m＋12＝0，8－3m≠0，得m＝－6，故D项正确．
8．若虚数z同时满足下列两个条件：
①z＋是实数；
②z＋3的实部与虚部互为相反数．
则z＝________，|z|＝________．
【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋
＝＋i.
因为z＋是实数，所以b－＝0.
又因为b≠0，所以a2＋b2＝5.①
又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，
所以a＋3＋b＝0.②
由①②解得或
故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i，|z|＝.
答案：－1－2i或－2－i　
1．技法点拨
复数相关概念与运算技巧
(1)实数化：与复数的基本概念和性质有关的问题，抓住复数的实部和虚部，即可把复数问题转化为实数问题求解；
(2)法则化：复数的乘法实质就是多项式的乘法，然后根据虚数单位i的幂值，合并同类项即可；
复数的除法的本质就是分母实数化，利用复数与其共轭复数之积等于模的平方．
(3)几何化：求解复数模的最值问题，利用复数的几何意义转化为平面图形中的最值问题求解．
2．易错提醒
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部是实数b；注意区分虚数与纯虚数．如小题1.
(2)求复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，不要忘记开方．如小题4.
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