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第三篇　考场技巧·思想引领
第1讲　解客观题的六种方法
数学客观题，包括单项选择题、多项选择题与填空题三个题型，共占80分，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，解答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．其中选择题要充分利用题干和选项两方面提供的信息，尽量缩短解题时间，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫．
题型特点 常用方法
(1)知识面广，切入点多，综合性较强；(2)概念性强，灵活性大，技巧性较强；(3)立意新颖，构思精巧，迷惑性较强． 解题的原则是“小”题“巧”解，“小”题“快”解，主要分直接法和间接法两大类．具体的方法有：直接法、特例法、数形结合法、排除法、构造法和估算法等．
直接法
直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的方法．
【典例1】(1)(2021·佛山二模)复数的虚部为(　　)
A．－1 B．1 C．－i D．i
【解析】选B.＝＝＝i，故其虚部为1.
(2)(2021·烟台二模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C的右支上，AF1与C交于点B，若F2A·F2B＝0，且|F2A|＝|F2B|，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选B.由F2A·F2B＝0且|F2A|＝|F2B|知：
△ABF2为等腰直角三角形且∠AF2B＝、∠BAF2＝，即|AB|＝|F2A|＝|F2B|，
因为
所以|AB|＝4a，故|F2A|＝|F2B|＝2a，
则|F1A|＝2(＋1)a，
而在△AF1F2中，|F1F2|2＝|F2A|2＋|F1A|2－
2|F2A||F1A|cos ∠BAF2，
所以4c2＝8a2＋4(3＋2)a2－8(＋1)a2，则c2＝3a2，
故e＝＝.
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直接法的使用范围及注意事项
(1)涉及概念、性质的辨析或简单的运算题目多采用直接法；
(2)在计算过程中，要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解选择题、填空题的关键．
　
(多选题)已知双曲线C：－＝1的离心率为，F1，F2分别为C的左右焦点，点P在C上，且＝6，则(　　)
A．b＝7 B．＝10
C．＝ D．∠F1PF2＝
【解析】选BCD.由题意有＝，
可得b＝3，可知选项A不正确，而c＝＝7，
因为c＝7>|PF2|＝6，所以点P在C的右支上，由双曲线的定义有：
|PF1|－|PF2|＝|PF1|－6＝2a＝4，解得|PF1|＝10，故选项B正确，
在△PF1F2中，有cos ∠POF1＋cos ∠POF2＝＋＝0，
解得|OP|＝，
cos ∠F1PF2＝＝－，
所以∠F1PF2＝，故选项C，D正确．
INCLUDEPICTURE "方法二j.TIF" INCLUDEPICTURE "方法二j.TIF" \* MERGEFORMAT 特例法
从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或特殊图形或特殊位置，进行判断．特例法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可以使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．
【典例2】(1)在矩形ABCD中，其中AB＝3，AD＝1，AB上的点E满足＋2＝0，F为AD上任意一点，则·＝(　　)
A．1 B．3
C．－1 D．－3
【解析】选D.(直接法)如图，
因为＋2＝0，
所以＝，
设＝λ， 则＝＋λ＝－＋λ，
所以·＝·(－＋λ)
＝－||2＋λ·＝－3＋0＝－3.
(特例法)该题中，“F为AD上任意一点”，且选项均为定值，不妨取点A为F.
因为＋2＝0，
所以＝.
故·＝·(－)＝－2
＝－×32＝－3.
(2)在△ABC中，内角A，B，C成等差数列，则sin2A＋sin2C－sinA sin C＝________．
【解析】(方法一：直接法)由内角A，B，C成等差数列，知：2B＝A＋C，而A＋B＋C＝π，
所以B＝，而由余弦定理知：
b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac，
结合正弦定理得：
sin2B＝sin2A＋sin2C－sinA sin C＝.
(方法二：特例法)该题中只有“内角A，B，C成等差数列”的限制条件，故可取特殊的三角形——等边三角形代入求值．
不妨取A＝B＝C＝，
则sin2A＋sin2C－sinA sin C＝sin2＋sin2－sinsin ＝.
(也可以取A＝，B＝，C＝代入求值．)
答案：
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特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：
第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；
第二，若在取定的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．
　设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于(　　)
A．20 B．15
C．9 D．6
【解析】选C.若四边形ABCD为矩形，建系如图，由＝3，＝2，知M(6，3)，N(4，4)，所以＝(6，3)，＝(2，－1)，所以·＝6×2＋3×(－1)＝9.
数形结合法
对于一些含有几何背景的问题，往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断解决相应的问题．如Veen图、三角函数线、函数图象以及方程的曲线等，都是常用的图形．
【典例3】已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　)
A．1 B．2
C． D．
【解析】选C.如图，设＝a，＝b，
则||＝||＝1，⊥，
设＝c，
则a－c＝，b－c＝，
(a－c)·(b－c)＝0，即·＝0.
所以⊥.
点C在以AB为直径的圆上，圆的直径长是||＝，|c|＝||，
||的最大值是圆的直径，长为.
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数形结合法解题技巧
正确把握各种式子中的变量与几何图形之间的对应关系，利用几何图形的直观性及相关结论求解结果．
1．设直线l：3x＋2y－6＝0，P(m，n)为直线l上动点，则(m－1)2＋n2的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选A.(m－1)2＋n2表示点P(m，n)到点A(1，0)距离的平方，
该距离的最小值为点A(1，0)到直线l的距离，即＝，
则(m－1)2＋n2的最小值为.
2．(2021·河南联考)已知函数f(x)＝若f(x)的图象上有且仅有2个不同的点关于直线y＝－的对称点在直线kx－y－3＝0上，则实数k的取值是________．
【解析】直线kx－y－3＝0关于直线y＝－对称的直线l的方程为kx＋y＝0，对应的函数为y＝－kx，其图象与函数y＝f(x)的图象有2个交点．
对于一次函数y＝－kx，当x＝0时，y＝0，由f(x)≠0知不符合题意．
当x≠0时，令－kx＝f(x)，可得－k＝，此时，
令g(x)＝＝
当x>0时，g(x)为增函数，g(x)∈R，
当x<0时，g(x)为先增再减函数，g(x)∈(－∞，－2].
结合图象，
直线y＝－k与函数y＝g(x)有2个交点，
因此，实数－k＝－2，即k＝2.
答案：2
排除法
排除法也叫筛选法、淘汰法，它是充分利用单选题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而确定正确选项．
【典例4】(1)(2021·郑州二模)函数f(x)＝sin x ln 在(－π，π)的图象大致为(　　)
(2)(2021·太原二模)已知函数y＝f(x)部分图象的大致形状如图所示，则y＝f(x)的解析式最可能是(　　)
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
【解析】(1)选A.根据题意，
函数f(x)＝sin x ln ，x∈(－π，π)，
f(－x)＝sin (－x)ln ＝sin x ln ＝f(x)，
则f(x)在区间(－π，π)上为偶函数，所以排除BC，
又由f＝sin ln ＝ln <0，所以排除D.
(2)选A.由图象可知，f(2)<0，f(－1)<0，
对于B，f(2)＝>0，故B不正确；
对于C，f(－1)＝＝>0，故C不正确；
对于D，f(2)＝>0，故D不正确．
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排除法解题要点
(1)从选项出发，先确定容易判断对错的选项，再研究其他选项；
(2)当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，它与特值(例)法、验证法等常结合使用．
1．函数f(x)＝cos x的图象可能是(　　)
【解析】选C.由f(－x)＝cos (－x)＝－cos x＝－f(x)知，
函数f(x)为奇函数，故排除B.
又f(x)＝cos x＝cos x，
当x∈(0，1)时，<0，cos x>0 f(x)<0.
故排除A，D.
2．甲、乙、丙三人从红、黄、蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，每人帽子的颜色互不相同，乙比戴蓝帽的人个头高，丙和戴红帽的人身高不同，戴红帽的人比甲个头小，则甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为(　　)
A．红、黄、蓝 B．黄、红、蓝
C．蓝、红、黄 D．蓝、黄、红
【解析】选B.丙和戴红帽的人身高不同，戴红帽的人比甲个头小，故戴红帽的人为乙，即乙比甲的个头小；乙比戴蓝帽的人个头高，故戴蓝帽的人是丙．
综上，甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为黄、红、蓝．
构造法
构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等模型转化为熟悉的问题求解．
【典例5】(1)已知函数f(x)＝ex－a－－1有两个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(e，＋∞) B．(，＋∞)
C． D．(1，＋∞)
【解析】选D.方法一(切线构造)：函数f(x)＝ex－a－－1有两个不同的零点，
则ex－a－1＝有两个解，
令g(x)＝ex－a－1，h(x)＝(x>0)，则g(x)与h(x)有2个交点，
h′(x)＝(x>0)，
当x>e时h′(x)<0，h(x)单调递减，
当00，h(x)单调递增，
由g′(x)＝ex－a(x>0)得g(x)单调递增，
图象如下，
当g(x)与h(x)相切时，设切点为，
h′(x0)＝ eq \f(1－ln x0,x) ＝g′(x0)＝ex0－a，
同时＝ex0－a－1，得＋1＝ eq \f(1－ln x0,x) ，
即x0ln x0＋x＝1－ln x0，
(x0＋1)ln x0＝－(x0＋1)(x0－1)，
又x0>0，ln x0＝1－x0，
所以x0＝1，此时1＝e1－a，所以a＝1，
当a>1时，可看作g(x)＝ex－1－1的图象向右平移，此时g(x)与h(x)必有2个交点，当a<1时，图象向左平移二者必然无交点，
综上a>1.
方法二(分离参数)：由题意，方程ex－a－－1＝0有两个不同的解，
即e－a＝有两个不同的解，
所以直线y＝e－a与g(x)＝的图象有两个交点．
g′(x)＝
＝.
记h(x)＝ln x＋x－1.显然该函数在(0，＋∞)上单调递增，且h(1)＝0，
所以0即g′(x)>0，函数单调递增；
所以x>1时，h(x)>0，
即g′(x)<0，函数单调递减．
所以g(x)≤g(1)＝＝.
又x→0时，g(x)→0；x→＋∞时，g(x)→0.
由直线y＝ea与g(x)＝的图象有两个交点，
可得e－a<＝e－1，即－a<－1，解得a>1.
方法三：由题意，方程ex－a－－1＝0有两个不同的解，
即ex－a＝＋1，也就是(xex)＝x＋ln x＝ln (xex).
设t＝xex(x>0)，
则方程为t＝ln t，
所以＝.由题意，该方程有两个不同的解．
设p(x)＝xex(x>0)，
则p′(x)＝(x＋1)ex(x>0)，
显然p′(x)>0，所以p(x)单调递增，
所以t＝p(x)>p(0)＝0.
记q(t)＝(t>0)，则q′(t)＝.
当00，函数单调递增；
当t>e时，q′(t)<0，函数单调递减．
所以q(t)≤q(e)＝＝.
又t→0时，q(t)→0；t→＋∞时，q(t)→0.
由方程＝有两个不同的解，可得0<<，
解得a>1.
(2)(2021·武汉三模)如图，在边长为2的正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点．若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则：
(1)三棱锥S EFG外接球的表面积为________；
(2)点G到平面SEF的距离为________．
【解析】(1)在正方形SG1G2G3中，SG1⊥EG1，SG3⊥FG3，EG2⊥FG2，
在三棱锥S EFG中，则SG⊥EG，SG⊥FG，
因为EG∩FG＝G，所以SG⊥平面EFG，且EG⊥FG，
将三棱锥S EFG补成长方体SABC GEDF，
所以，三棱锥S EFG外接球的直径为2R＝＝，
因此，三棱锥S EFG外接球的表面积为4πR2＝6π；
(2)S△EFG＝EG·FG＝×12＝，
VS－EFG＝S△EFG·SG＝，
SE＝SF＝＝，取EF的中点M，连接SM，则SM⊥EF，
SM＝＝，则S△SEF＝EF·SM＝，
设点G到平面SEF的距离为d，由VG SEF＝VS EFG，可得S△SEF·d＝，解得d＝.
答案：6π　
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构造法的解题策略
构造法解题的关键是根据已知条件和所求解问题构造出数学模型，从而简化推导与运算过程．
(1)认真审题，弄清已知和所求；
(2)联想对比所学知识；
(3)构造数学模型解决问题．
如(1)题可从不同角度构造相应的函数；(2)题则根据几何体的结构特征构造长方体．
　(2021·淄博二模)已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是(　　)
A．ln 2> B．ln 3<
C．ln π> D．<
【解析】选B.令f(x)＝ln x－，则f′(x)＝－，当00，当x>e时，f′(x)<0，所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，故fmax(x)＝f(e)＝ln e－＝0，则f(2)＝ln 2－<0得ln 2<，故A错；
f(3)＝ln 3－<0得ln 3<，故B正确；f(π)＝ln π－<0得ln π<，故C错；
对D项，令g(x)＝，则g′(x)＝，
当00，当x>e时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，则g(3)>g(π)，得>，化为>，故D错．
估算法
估算法就是不需要计算出准确数值，可根据变量变化的趋势或极值的取值情况估算出大致取值范围，从而解决相应问题的方法．
【典例6】
古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是(　　)
A．165 cm B．175 cm
C．185 cm D．190 cm
【解析】选B.头顶至脖子下端的长度为26 cm，可得咽喉至肚脐的长度小于42 cm，肚脐至足底的长度小于110 cm，则该人的身高小于178 cm，又由肚脐至足底的长度大于105 cm，可得头顶至肚脐的长度大于65 cm，则该人的身高大于170 cm，所以该人的身高在170～178 cm之间．
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估算法的应用技巧
(1)使用前提：针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有关的问题．常与特值(例)法结合起来使用．
(2)使用技巧：对于数值计算常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等，对于几何体问题，常进行分割、拼凑、位置估算．
　设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D ABC体积的最大值为(　　)
A．12 B．18
C．24 D．54
【解析】选B.等边三角形ABC的面积为9，显然球心不是此三角形的中心，所以三棱锥的体积最大时，三棱锥的高h应满足
h∈(4，8)，所以×9×4即12关闭Word文档返回原板块
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