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考点六　排列、组合与二项式定理
　1.排列数、组合数的简单应用；
2．求二项展开式中的指定项；
3．求二项展开式的系数和．
1．(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　)
A．60种 B．120种
C．240种 D．480种
【解析】选C.先分组有 eq \f(CCCC,A) ＝10种，再排序10A＝240种．
2．(2020·新高考全国Ⅰ卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　)
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
【解析】选C.甲场馆安排1名有C种方法，乙场馆安排2名有C种方法，丙场馆安排3名有C种方法，所以由分步乘法计数原理得不同的安排方法共有CCC＝60种．
3．(2020·新高考全国Ⅱ卷)要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有(　　)
A．2种 B．3种
C．6种 D．8种
【解析】选C.第一步，将3名学生分成两个组，有CC＝3种分法
第二步，将2组学生安排到2个村，有A＝2种安排方法
所以，不同的安排方法共有3×2＝6种．
4．(2021·晋中三模)(x＋y)4(x－y)4的展开式中x4y4的系数为(　　)
A．－6 B．－4 C．4 D．6
【解析】选D.因为(x＋y)4(x－y)4＝(x2－y2)4，
所以其展开式中x4y4的系数为C(－1)2＝6.
5．(2021·芜湖二模)已知(x－m)(x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，其中m为常数，若a4＝30，则a0＝(　　)
A．－32 B．32 C．64 D．－64
【解析】选A.由多项式乘法知，第一个因式中x乘以(x＋2)5展开式中的x3项得一个x4项，第一个因式中的常数－m乘以(x＋2)5展开式中的x4项得另一个x4项，两项合并同类项所得项的系数即为a4，所以a4＝C×22－m×C×2＝30，解得m＝1，再令x＝0，得a0＝－25＝－32.
6．(2021·绍兴三模)已知(x＋2)6＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a6(x＋1)6，则a3＝__________；a0＋a2＋a4＋a6＝________．
【解析】因为(x＋2)6＝[1＋(x＋1)]6＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a6(x＋1)6，所以a3＝C＝20，令x＋1＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝26＝64，
令x＋1＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a6＝0，
由两式得a0＋a2＋a4＋a6＝32.
答案：20　32
7．“车走直、马走日、炮打隔子、象飞田、小卒过河赛大车”，这是中国象棋中的部分下棋规则．其中“马走日”是指马走“日”字的对角线，如棋盘中，马从点A处走出一步，只能到点B或点C或点D或点E.设马从点A出发，必须经过点M，N(点M，N不考虑先后顺序)到达点P，则至少需走的步数为(　　)
A．4 B.5 C.6 D.7
【解析】选C.由题图可知，从N到Р只需1步，从M到N至少需走2步，从A到M至少需走3步，从A到N至少需走3步．所以要使得从点A经过点M，N到点Р所走的步数最少，只需从点A先到点M，再到点N，最后到点P，这样走的步数为6.
8．将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，每所大学至少保送一人．
(1)有________种不同的保送方法；
(2)若甲不能被保送到北大，有________种不同的保送方法．
【解析】方法一：(1)5名学生可分成2，2，1和3，1，1两种形式，当5名学生分成2，2，1时，共有CCA＝90种方法；当5名学生分成3，1，1时，共有CA＝60种方法．根据分类加法计数原理知共有90＋60＝150种保送方法．
(2)先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2，2，1或3，1，1，所以有 eq \f(CCC,A) ＋ eq \f(CCC,A) ＝25(种)分组方法．因为甲不能被保送到北大，所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有4种方法，所以不同的保送方案共有25×4＝100(种).
答案：(1)150　(2)100
方法二：(1)先分类，再分步
由题中条件把5个人保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学，有{3，1，1}，{1，3，1}，{1，1，3}，{2，2，1}，{2，1，2}，{1，2，2}共6类．
第1类{3，1，1}共CCC＝20种方法；
第2类{1，3，1}共CCC＝20种方法；
第3类{1，1，3}共CCC＝20种方法；
第4类{2，2，1}共CCC＝30种方法；
第5类{2，1，2}共CCC＝30种方法；
第6类{1，2，2}共CCC＝30种方法．
故共有20＋20＋20＋30＋30＋30＝150种保送方法．
(2)可用间接法．甲被保送到北大，即甲已经被保送到北大，还有4人，有{2，1，1}，{0，3，1}，{0，1，3}，{1，2，1}，{1，1，2}，{0，2，2}共6类．
第1类{2，1，1}共CCC＝12种方法；
第2类{0，3，1}共CC＝4种方法；
第3类{0，1，3}共CC＝4种方法；
第4类{1，2，1}共CCC＝12种方法；
第5类{1，1，2}共CCC＝12种方法；
第6类{0，2，2}共CC＝6种方法．
共计12＋4＋4＋12＋12＋6＝50种方法，故甲不能被保送到北大有150－50种方法．
1．技法点拨
(1)求解排列组合问题的基本思路与方法：
①基本思路：先选后排，即先选出元素，然后再进行排列．
②基本方法：相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊元素与特殊位置优先法、至多至少问题分类讨论或转化为对立事件求解等．
(2)求二项展开式中的项的方法：
求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝Can－kbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0，1，2，…，n).
①第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项．
②常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程．
③有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．
2．易错提醒
(1)“至少至多型”的排列组合问题，需要进行分类求解或转化为对立事件求解；
(2)分组问题要注意区分平均分组与非平均分组．
(3)求二项展开式的系数和时要根据展开式的特征灵活赋值．
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