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考点五　不　等　式
　1.能够利用不等式的性质判断命题的真假；
2．掌握一元二次不等式的解法以及含参数的不等式的解法；
3．掌握基本不等式的应用条件，能够利用基本不等式求最值问题．
1．若实数a>b，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．>1 B．ab<
C．＋≥2 D．<
【解析】选B.对于A，当a＝－1，b＝－2时，满足a>b，此时＝<1，故A不一定成立；
对于B，因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0，所以a2＋b2>2ab，即ab<，
所以ab<一定成立，故B一定成立；
对于C，当a＝1，b＝－1时，满足a>b，此时＋＝－1－1＝－2<2，故C不一定成立；
对于D，当a＝1，b＝－1时，满足a>b，此时＝＝1，故D不一定成立．
2．设正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法不成立的是(　　)
A．＋有最小值4
B．有最大值
C．＋有最大值
D．a2＋b2有最小值
【解析】选B.因为a>0，b>0且a＋b＝1，所以ab≤()2＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，即ab的最大值为.
＋＝＝≥4，当且仅当a＝b＝时等号成立，A成立；
＝ab≤，B错误，符合题意；
＋＝≤＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，C成立；
a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，D成立．
3．(2021·重庆二模)若对任意的x∈[－1，2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3] B．(－∞，0]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
【解析】选A.法一(函数法)：令f(x)＝x2－2x＋a，则由题意，
得
解得a≤－3.
法二(分离常数法)：当x∈[－1，2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立，则由题意，得a≤(－x2＋2x)min(x∈[－1，2]).而－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则当x＝－1时，(－x2＋2x)min＝－3，所以a≤－3.
　若将本题改为“若存在x∈[－1，2]，使得x2－2x＋a≤0(a为常数)”，试求a的取值范围．
【解析】由题意知a≤－x2＋2x在x∈[－1，2]时有解．
则a≤(－x2＋2x)max，x∈[－1，2]，
又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，x∈[－1，2]，
所以a≤1，即a的取值范围是(－∞，1].
4．(多选题)(2021·长沙三模)若a＞b＞0，则以下几个命题正确的是(　　)
A．＜ B．lg ＜
C．a＋＞b＋ D．－＞
【解析】选AC.因为a＞b＞0，所以－＝＜0，则＜，因此A正确；因为a＞b＞0，所以lg ＞lg ＝，因此B不正确；因为a＞b＞0，所以－＝(a－b)＞0，因此C正确；因为a＞b＞0，所以可取a＝2，b＝1，则－＝－1＜＝1＝，因此D不正确．
5．(多选题)(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　)
A．a2＋b2≥ B．2a－b>
C．log2a＋log2b≥－2 D．＋≤
【解析】选ABD.因为a＋b＝1，所以由2(a2＋b2)≥(a＋b)2(当且仅当a＝b时，等号成立)，得a2＋b2≥，故A项正确；由题意可得0，故B项正确；因为a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，所以ab≤，所以log2a＋log2b≤log2＝－2，故C项错误；由2(a＋b)≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，得＋≤，故D项正确．
6．(一题多解)(2020·江苏高考)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是______．
【解析】法一：因为5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，
所以y≠0，所以x2＝，
则x2＋y2＝＋y2≥2＝，
当且仅当＝y2时，即y2＝，
x2＝时，x2＋y2的最小值是.
法二：4＝(5x2＋y2)·4y2≤＝(x2＋y2)2，故x2＋y2≥，当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即x2＝，y2＝时，取等号．
所以(x2＋y2)min＝.
答案：
7．数学里有一种证明方法叫做Proofs Without Words，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无须文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示的图形，在等腰直角三角形△ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD＝a，BD＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)
A．≥(a>0，b>0)
B．≤(a>0，b>0)
C．≤(a>0，b>0)
D．a2＋b2≥2(a>0，b>0)
【解析】选B.由题图可知，OC＝AB＝，OD＝|OB－BD|＝|－b|＝||，
在Rt△OCD中，CD＝＝，
显然OC≤CD，即≤.
8．若x＞0，y＞0，x＋2y＝1，则的最大值为________.
【解析】＝＋＝(x＋2y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当即x＝y＝时取等号，
所以＝.
答案：
1．技法点拨
利用基本不等式求最值的类型及方法
(1)若已满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式求解；
(2)若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑进行恒等变形，构造满足条件的形式，常用的方法有：“1”的变换、对不等式进行分拆、组合、添加项等．
(3)多次使用基本不等式求最值，此时要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．若等号不成立，就需利用函数单调性求解．
2．易错提醒
(1)利用不等式性质进行变形时，需要注意变形的等价性．
(2)利用均值不等式求解最值需要注意自变量的取值范围，检验等号成立的条件．
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