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考点四　充要条件与量词
　1.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义；
2．理解全称量词和存在量词的意义；
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
1．(2021·成都三模)命题p“ x∈(0，＋∞)，sin x＞x”的否定 p为(　　)
A． x0∈(0，＋∞)，sin x0＞x0
B． x0∈(0，＋∞)，sin x0≤x0
C． x0∈(－∞，0]，sin x0＞x0
D． x0∈(－∞，0]，sin x0≥x0
【解析】选B.因为命题p“ x∈(0，＋∞)，sin x＞x”是全称命题，所以其否定是特称命题，即 p： x0∈(0，＋∞)，sin x0≤x0.
2．下列命题为真命题的是(　　)
A． x∈R，x2－|x|＋1≤0
B． x∈R，－1≤≤1
C． x0∈R，(ln x0)2≤0
D． x0∈R，sin x0＝3
【解析】选C.对于A：因为x2－|x|＋1＝＋>0恒成立，
所以 x∈R，x2－|x|＋1≤0是假命题；
对于B：当x＝时，＝2，
所以 x∈R，－1≤≤1是假命题；
对于C：当x＝1时，ln x＝0，
所以 x0∈R，(ln x0)2≤0是真命题；
对于D：因为－1≤sin x≤1，
所以 x0∈R，sin x0＝3是假命题．
3．(2021·绍兴三模)已知空间中两平面α，β，两直线m，l，且α∩β＝m，l β，则“l⊥m”是“l⊥α”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】选B.若α，β不垂直时，l⊥m无法得到l⊥α，充分性不成立；
当l⊥α时，因为α∩β＝m，所以m α，由线面垂直性质知l⊥m，必要性成立；
则“l⊥m”是“l⊥α”的必要不充分条件．
4．(2021·长沙二模)若集合A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{x|－2＜x＜a}，则“A∩B≠ ”的充要条件是(　　)
A．a＞－2 B．a≤－2
C．a＞－1 D．a≥－1
【解析】选C.由x2－x－2＜0知－1＜x＜2，即A＝{x|－1＜x＜2}．
又B＝{x|－2＜x＜a}及A∩B≠ 知a＞－1.
5．(2021·福州三模)已知a∈R，p：a2＋3a＋2≤0；q：关于x的方程x2＋2x＋log2a＝0有实数根，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】选D.由题意，p：a2＋3a＋2≤0 (a＋1)(a＋2)≤0 －2≤a≤－1；q：方程x2＋2x＋log2a＝0有实数根等价于判别式Δ＝22－4log2a≥0，即0＜a≤2.
因此，p是q的既不充分也不必要条件．
6．(多选题)下列命题正确的是(　　)
A．“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件
B．命题“ x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“ x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”
C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件
D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的充分不必要条件
【解析】选AB.若＜1，则a＞1或a＜0，则“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件，故A正确；根据特称命题的否定为全称命题，得“ x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“ x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”，故B正确；当x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，当x2＋y2≥4时却不一定有x≥2且y≥2，如x＝5，y＝0，因此“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；因为“ab＝0”是“a＝0”的必要不充分条件，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D错误．
7．(2021·石家庄二模)已知P＝{x|－2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．
【解析】由x∈P是x∈S的必要条件，知S P.
又S为非空集合，则所以0≤m≤3.
即所求m的取值范围是[0，3].
答案：[0，3]
　把本题中的“必要条件”改为“充分条件”，求m的取值范围．
【解析】由x∈P是x∈S的充分条件，知P S，
则
解得m≥9，
即所求m的取值范围是[9，＋∞).
8．已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断，有下列四个命题：
甲：f(x)是奇函数；
乙：f(x)的图象关于直线x＝1对称；
丙：f(x)在区间[－1，1]上单调递减；
丁：函数f(x)的周期为2.
如果只有一个假命题，则该命题是(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解题指南】由函数的奇偶性、周期性、对称性之间的相互关系可知，甲、乙、丁三者中必有一个错误，结合连续函数单调性的特征可知，丙、丁互相矛盾，进而可得结果．
【解析】选D.由连续函数f(x)的特征知：由于区间[－1，1]的宽度为2，所以f(x)在区间[－1，1]上单调递减与函数f(x)的周期为2相互矛盾，
即丙、丁中有一个为假命题；
若甲、乙成立，即f(－x)＝－f(x)，f(x＋1)＝f(1－x)，则f(x＋2)＝f(x＋1＋1)＝f[1－(1＋x)]＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，
即丁为假命题．
由于只有一个假命题，则可得该命题是丁．
9．(多选题)下列说法正确的是(　　)
A．“x＝”是“tan x＝1”的充分不必要条件
B．定义在[a，b]上的偶函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b的最大值为30
C．命题“ x0∈R，x0＋≥2”的否定是“ x∈R，x＋＞2”
D．函数y＝sin x＋cos x＋无零点
【解析】选AB.由x＝，得tan x＝1，但由tan x＝1推不出x＝，所以“x＝”是“tan x＝1”的充分不必要条件，所以A是正确的；若定义在[a，b]上的函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b是偶函数，则得则f(x)＝x2＋5，在[－5，5]上的最大值为30，所以B是正确的；命题“ x0∈R，x0＋≥2”的否定是“ x∈R，x＋＜2”，所以C是错误的；当x＝时，y＝sin x＋cos x＋＝0，故D是错误的．
1．技法点拨
(1)格式化：含量词的命题的否定，要牢记其否定的格式；
(2)等价转化：
①定义转化：利用定义转化为两个简单命题“若p，则q”与“若q，则p”的真假判断；
②集合转化：转化为与p，q对应的两个集合之间的关系进行判断．
2．易错提醒
(1)含量词的命题的否定，要注意量词的改写；
(2)充分条件、必要条件以及充要条件的判断要注意两种不同的说法：“甲是乙的________条件”与“甲的一个________条件是乙．”
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