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第三篇 第2讲　思想方法
(一)　函数与方程
题型特点 常用方法
函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决． 方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或者运用方程的性质进行分析、转化问题，以求得问题的解决．
函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求解，研究运动中的等量关系．
一、函数与方程思想在不等式中的应用
【典例1】已知函数f(x)＝ax2＋x＋2－4a(a≠0)，且对任意的x∈R，f(x)≥2x恒成立．
(1)若g(x)＝，x>0，求函数g(x)的最小值；
(2)若对任意的x∈[－1，1]，不等式f(x＋t)【解析】(1)因为对任意的x∈R，f(x)≥2x恒成立，
所以ax2－x＋2－4a≥0对x∈R恒成立，
所以
即解得a＝，所以f(x)＝x2＋x＋1；
因为g(x)＝＝x＋＋1，x>0，
又x＋≥2＝1(当且仅当＝，即x＝2时取等号)，
所以g(x)min＝1＋1＝2.
(2)由f(x＋t)即3x2＋(8t＋8)x＋4t2＋16t<0，
所以对任意的x∈[－1，1]，不等式3x2＋(8t＋8)x＋4t2＋16t<0恒成立．
令m(x)＝3x2＋(8t＋8)x＋4t2＋16t，
则
解得－所以实数t的取值范围为.
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函数与不等式的相互转化，把不等式问题转化为函数问题，借助函数的图象和性质可解决相关的问题．常涉及不等式恒成立、比较大小问题等，一般利用函数思想构造新函数，从而研究函数性质解决问题．
　已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0，b∈R)在区间[2，4]上有最小值1和最大值9，设f(x)＝.
(1)求a，b的值．
(2)若不等式f(3x)－k·3x≥0在x∈[－1，1]上有解，求实数k的取值范围．
【解析】(1)函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0，b∈R)
则对称轴x＝－＝1，
故函数g(x)在[2，4]上为单调增函数，
所以当 x＝2时，g(x)min＝1，
当 x＝4时，g(x)max＝9，
所以
解得
故a的值为1，b的值为0.
(2)由(1)得g(x)＝x2－2x＋1，
f(x)＝＝x＋－2，
因为不等式f(3x)－k·3x≥0在x∈[－1，1]上有解，
所以3x＋－2－k·3x≥0在x∈[－1，1]上有解，
设t＝，t∈，
所以t2－2t＋1≥k在上有解，
即(t2－2t＋1)max≥k，
设h(t)＝t2－2t＋1，t∈，
对称轴t＝1，则当t＝3时，h(t)max＝h(3)＝9－6＋1＝4，
所以实数k的取值范围是(－∞，4].
二、函数与方程思想在数列的应用
【典例2】已知数列{an}满足a1＝1，且点(an，an＋1－2n)在函数f(x)＝3x的图象上．
①求证：是等比数列，并求{an}的通项公式：
②若bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn>3n＋.
【解析】①由点(an，an＋1－2n)在函数f(x)＝3x的图象上，
可得an＋1＝2n＋3an，
所以＝＋1，即＝·＋，
也即＋1＝，
由a1＝1，所以＋1＝，
所以是首项和公比均为的等比数列，
则＋1＝，
所以an＝3n－2n.
②bn＝＝＝＝3＋>3＋，
所以，Sn>3n＋＋＋…＋＝3n＋＝3n＋2－2≥3n＋2－＝3n＋.
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数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式都具有函数关系，都可以看成关于n的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意识地寻找其函数关系，从而用函数思想或函数方法研究，解决问题，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平．
　已知f(x)＝x2－3x，数列{an}前n项和为Sn，且Sn＝f(n).
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若数列{bn}满足bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，且对于任意n∈N*，总存在x∈[4，6]，使得Tn>mf(x)成立，求实数m的取值范围．
【解析】(1)因为f(x)＝x2－3x，Sn＝f(n)，所以Sn＝n2－3n，
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2－3(n－1)，an＝Sn－Sn－1＝2n－4，
当n＝1时，a1＝S1＝－2，
也满足an＝2n－4，
故an＝2n－4.
(2)因为an＝2n－4，bn＝，
所以bn＝＝，b1＝－<0，b2＝0，
当n≥3时，bn>0，
故T1＝T2，为Tn的最小值，Tn的最小值为－，
因为对于任意n∈N*，总存在x∈[4，6]，
使得Tn>mf(x)成立，
所以－>[mf(x)]min，
因为x∈[4，6]，f(x)＝x2－3x＝－，
所以f(x)∈[4，18]，
当m≥0时，显然－>[mf(x)]min不成立；
当m<0时，－>[mf(x)]min，即－>18m，
解得m<－，
故实数m的取值范围为.
三、函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用
【典例3】(1)(2021湖南师大附中三模)已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝12，点M是线段BC上靠近点B的三等分点，点N在线段AM上，则·的最小值为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
【解析】选C.由∠ABC＝∠ACB＝45°，可知∠BAC＝90°.
以点A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示．
则A(0，0)，M(4，2)，C(0，6)，
设N，其中0≤x≤4，则
＝，＝，
故·＝x2＋x＝x2－3x.
令f(x)＝x2－3x，0≤x≤4，
则当x＝时，函数f(x)有最小值，
且f(x)min＝f＝－，
即·的最小值为－.
(2)(2021·合肥模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a(cos C＋sin C)＝b.
①求A；
②求cos2B＋cos2C的最小值．
【解析】①因为a(cosC＋sin C)＝b，
所以sin A(cos C＋sin C)＝sin B.
即sin A(cos C＋sin C)＝sin (A＋C)，
所以sin A cos C＋sin A sin C＝sin A cos C＋cos A sin C，
得sin A sin C＝cos A sin C，
因为00，
得sin A＝cos A.
又因为0所以A＝.
②因为A＝，所以B＋C＝，
因为cos2B＋cos2C＝＋＝1＋＝1＋cos .
因为0所以<2B＋<，
得－1≤cos <.
所以≤1＋cos (2B＋)<.
所以当A＝B＝C＝时，cos2B＋cos2C最小，最小值为.
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1．含参数的三角函数方程问题的两种处理思路：
(1)分离参数构造函数，将方程有解转化为求函数的值域；
(2)换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．
2．解决平面向量问题的常用方法：
对平面向量的模进行平方处理，把模的问题转化为数量积问题，再利用函数与方程思想进行分析与处理．
1．(2021·南通二模)如图，点C在半径为2的上运动，∠AOB＝.若＝m＋n，则m＋n的最大值为(　　)
A．1 B．
C． D．
【解析】选C.以O为原点，的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，
则有＝(2，0)，＝(1，).
设∠AOC＝α，则＝(2cosα，2sin α).
由题意可知
所以m＋n＝cos α＋sin α＝sin .
因为α∈，
所以α＋∈，
所以当α＋＝，即α＝时，m＋n最大，最大值为.
2．(2021·泰安三模)已知锐角△ABC的外接圆半径为1，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S且a2＝4S＋(c2－b2).
(1)求C；
(2)求的取值范围．
【解析】(1)由a2＝4S＋(c2－b2)
得：(a2＋b2－c2)＝4S
所以2ab cos C＝4×ab sin C即：cos C＝sin C
因为cos C≠0，所以tan C＝
又因为C∈(0，π)
所以C＝.
(2)因为△ABC的外接圆半径为1
所以＝2，即c＝2sin C＝
又因为＝＝，
所以a＝2sin A，b＝2sin B，
所以＝＝＝＝＝＝＋
又因为△ABC是锐角三角形
所以即
所以所以tan A>，0<<，0<<，
所以<<2.
四、函数与方程思想在解析几何中的应用
【典例4】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，点D是椭圆C上一点，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l过椭圆右焦点F2且与椭圆交于P，Q两点，直线AP，AQ与直线x＝4分别交于M，N.
①求证：M，N两点的纵坐标之积为定值；
②求△AMN面积的最小值．
【解析】(1)由题意，椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点D，且离心率为，
可得解得a2＝4，b2＝3，
所以椭圆C的方程为 ＋＝1.
(2)①设直线l的方程为x＝my＋1，
联立方程组
整理得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，可得y1＋y2＝，y1y2＝，
直线AP的方程为y＝(x＋2)，
令x＝4，可得yM＝，
同理可得yN＝，
所以yMyN＝＝＝＝＝－9.
②由S△AMN＝·6·|yM－yN|＝3≥3·2＝18，
当且仅当yM＝3，yN＝－3或yM＝－3，yN＝3时等号成立，
所以△AMN面积的最小值为18.
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解决解析几何中的范围与最值问题的关键是抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助函数的性质解决问题，这是解决面积、线段长、最值与范围问题的基本方法．
　(2021·德阳三模)已知平面上的动点E(x，y)及两定点A(－2，0)，B(2，0)，直线EA，EB的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－，设动点E的轨迹为曲线R.
(1)求曲线R的方程；
(2)过点P(－1，0)的直线l与曲线R交于C，D两点．记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1－S2|的最大值．
【解析】(1)由题意知x≠±2，且k1＝，k2＝
则·＝－
整理得，曲线R的方程为＋＝1(y≠0).
(2)当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1
此时△ABD与△ABC面积相等，|S1－S2|＝0
当直线l的斜率存在时，
设直线方程为y＝k(x＋1)(k≠0)
C(x1，y1)，D(x2，y2)
联立方程，得
消去y，得：(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.
Δ>0，且x1＋x2＝－，x1x2＝，
此时|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y2＋y1|＝2|k(x2＋1)＋k(x1＋1)|＝2|k(x2＋x1)＋2k|＝
因为k≠0，
上式＝≤＝＝
所以|S1－S2|的最大值为.
(二)　分类与整合
题型特点 常用方法
分类与整合的思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础问题，通过“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略，使用分类与整合思想应注意以下几点：1.分类时要不重不漏；2.标准要统一，层次要分明；3.能不分类的要尽量避免，绝不无原则的讨论． 1.由数学概念而引起的分类讨论；2.由数学运算要求而引起的分类讨论；3.由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论；4.由图形的不确定性而引起的分类讨论；5.由参数的变化而引起的分类讨论．
分类与整合的思想是将一个较复杂的数学问题分解为若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的策略．
一、由概念、法则、公式引起的分类讨论
【典例1】已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和Sn满足an＋1＝Sn＋1(n∈N*).
(1)求Sn；
(2)记 bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)当n≥2时，an＝Sn－1＋1，
所以an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，即an＋1＝2an(n≥2)，
在an＋1＝Sn＋1中，令n＝1，可得a2＝a1＋1.
因为a1＝1，
所以a2＝2a1，
所以{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
其通项公式为an＝2n－1，
所以Sn＝an＋1－1＝2n－1.
(2)因为bn＝＝－＝－，
所以Tn＝＋＋…＋(－)，＝1－.
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解决由概念、法则、公式引起的分类与整合问题的步骤
第一步：确定需分类的目标和对象，即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标．
第二步：根据公式、定理确定分类标准，运用公式、定理对分类对象进行区分．
第三步：分类解决“分目标”问题，对分类出来的“分目标”分别进行处理．
第四步：汇总“分目标”，将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．
　已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)过A(0，4)，B(，－2)两点，直线l交椭圆G于M，N两点．
(1)求椭圆G的标准方程；
(2)若直线l过椭圆G的右焦点F，是否存在常数t，使得t·＋·为定值，若存在，求t的值及定值；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)由已知得b＝4且＋＝1，解得a2＝20，
所以 椭圆方程为＋＝1.
(2)①当直线l的斜率存在时，设直线l为y＝k(x－2)代入G得(4＋5k2)x2－20k2x＋20k2－80＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
Δ>0，x1＋x2＝，x1x2＝，
y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝
t·＋·＝t(x1，y1)·(x2，y2)＋(x1－2，y1)·(x2－2，y2)＝t(x1x2＋y1y2)＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝t＋t＋－2＋4＋＝
若t·＋·为定值，故＝
解得t＝－，定值为－
②当直线l斜率不存在时，M，
N，
所以＝，＝，
＝，＝，·＝4－＝－，·＝－，
当t＝－时，t·＋·＝－
综上所述，存在常数t＝－，
使得t·＋·为定值－.
二、由参数的取值范围引起的分类讨论
【典例2】已知函数f(x)＝ln x＋ax2－x，g(x)＝ln x－ex＋＋1.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1)函数f(x)＝ln x＋ax2－x的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＋2ax－1＝.
①当a＝0时，f′(x)＝，若0则f′(x)>0；若x>1，则f′(x)<0.
此时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)；
②当a<0时，Δ＝1－8a>0，令f′(x)＝0，
可得x＝(舍)或x＝.
若00；
若x>，则f′(x)<0.此时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为；
③当a>0时，Δ＝1－8a.
(ⅰ)若Δ＝1－8a≤0，即当a≥时，
对任意的x>0，f′(x)≥0，
此时，函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数；
(ⅱ)若Δ＝1－8a>0，即当0由f′(x)＝0可得x＝或x＝，且>.
由f′(x)>0，可得0；
由f′(x)<0，可得此时，函数f(x)的单调递减区间为(，)，
单调递增区间为(0，)，(，＋∞).
综上所述，当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，＋∞)；
当a＝0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)；
当0当a≥时，函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数；
(2)由f(x)≥g(x)，可得ln x＋ax2－x≥ln x－ex＋＋1，
即a≥－对任意的x>0恒成立，
令h(x)＝－，其中x>0，h′(x)＝－＝，
令φ(x)＝x2＋2x＋2－2ex，其中x>0，则φ′(x)＝2x＋2－2ex，φ″(x)＝2－2ex<0.
所以，函数φ′(x)在(0，＋∞)上单调递减，
则φ′(x)<φ′(0)＝0，
所以，函数φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，
故φ(x)<φ(0)＝0，
所以，当00，此时函数h(x)在(0，2)上单调递增，
当x>2时，h′(x)<0，此时函数h(x)在(2，＋∞)上单调递减．
所以，h(x)max＝h(2)＝1－＝，所以a≥.
因此，实数a的取值范围是.
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若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到标准明确、不重不漏．
　(2021·成都三模)已知函数f(x)＝ln x.
(1)讨论函数g(x)＝f(x)－ax(a∈R)的单调性；
(2)证明：函数f(x)【解析】(1)g(x)的定义域为(0，＋∞)，
g′(x)＝－a＝(x>0)
当a≤0时，g′(x)>0恒成立，
所以，g(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，令g′(x)＝0，得到x＝
所以当x∈时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当x∈时，g′(x)<0，g(x)单调递减．
综上所述：
当a≤0时，g(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，g(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)记函数φ(x)＝ex－2－ln x＝－ln x，
则φ′(x)＝×ex－＝ex－2－
易知φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又由φ′(1)<0，φ′(2)>0知，φ′(x)在(0，＋∞)上有唯一的实数根x0，
且1即ex0－2＝(*)
当x∈(0，x0)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减；
当x∈(x0，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，
所以φ(x)≥φ(x0)＝ex0－2－ln x0，
结合(*)式ex0－2＝，知x0－2＝－ln x0，
所以φ(x)≥φ(x0)＝＋x0－2＝ eq \f(x－2x0＋1,x0) ＝>0
则φ(x)＝ex－2－ln x>0，即ex－2>ln x，
所以有f(x)三、由图形位置或形状引起的分类讨论
【典例3】在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”．如图，棱柱ABC A1B1C1为一“堑堵”，P是BB1的中点，AA1＝AC＝BC＝2，设平面α过点P且与AC1平行，现有下列四个结论：
①当平面α截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于；
②当平面α截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于2；
③异面直线AC1与CP所成角的余弦值为；
④三棱锥C1 ACP的体积是该“堑堵”体积的.
所有正确结论的序号是________．
【解析】对于①，如图，取E，F，G分别为对应边中点，
易知四边形PEFG是等腰梯形，且高为，
当E不是AA1中点时，PE不平行平面A1B1C1，
则四边形不是梯形，等腰梯形有且仅有一个，
SPEFG＝×(＋2)×＝.
所以①正确；
对于②，向下作截面满足题意的梯形是直角梯形，同理，直角梯形有且仅有一个，
其面积S＝×(1＋2)×＝.所以②错误；
对于③，将三棱柱补成正方体，J为对应边中点，易知∠CPJ为异面直线AC1与CP所成角或补角，CP＝CJ＝，PJ＝，
所以cos ∠CPJ＝＝，所以③正确；
对于④，VC1 ACP＝VP C1CA＝S△C1CA×2＝，
VABC A1B1C1＝×2×2×2＝4，所以④正确．
答案：①③④
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六类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类整合
(1)二次函数对称轴的变化；
(2)函数问题中区间的变化；
(3)函数图象形状的变化；
(4)直线由斜率引起的位置变化；
(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；
(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．
1．(2021·珠海二模)设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，P为曲线C上一点，|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝5∶4∶2，则曲线C的离心率为________.
【解析】依题意：令焦距2c＝|F1F2|＝2m(m>0)，
则|PF1|＝5m，|PF2|＝4m，
当曲线C是椭圆时，长轴长2a＝|PF1|＋|PF2|＝9m，
其离心率e＝＝，
当曲线C是双曲线时，
实轴长2a＝|PF1|－|PF2|＝m，
其离心率e＝＝2，
所以曲线C的离心率为或2.
答案：或2
2．设f(x)＝x2－4x－4，x∈[t，t＋1](t∈R)，求函数f(x)的最小值g(t)的解析式．
【解析】f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8，x∈[t，t＋1]，
函数图象的对称轴为直线x＝2，
所以当2∈[t，t＋1]时，即1≤t≤2时，
所以g(t)＝f(2)＝－8.
当t＋1<2，即t<1时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
所以g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.
当t>2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
所以g(t)＝f(t)＝t2－4t－4.
综上：g(t)＝
四、由运算性质引起的分类讨论
【典例4】(2021·珠海二模)已知等差数列{an}满足a1＝－1，a4＝2a2＋a3.
(1)求数列{an}的通项an；
(2)若bn ＝ acos ，求数列{bn}的前40项和S40.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，a4＝a1＋3d，2a2＋a3＝3a1＋4d，
由a1＝－1，a4＝2a2＋a3，则a1＋3d＝3a1＋4d，得d＝2，
所以an＝2n－3；
(2)因bn＝a cos ，则有：①n为奇数时，bn＝0，
②n为偶数时，n＝4k＋2，k∈N时，bn＝－a，n＝4k＋4，k∈N时，bn＝a，
所以S40＝(a－a)＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＋(a－a)＝2d(a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a40)＝4＝3 120.
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计算时，常遇到需要分类讨论的问题，这时一般是根据绝对值的性质、函数奇偶性、指数函数性质、对数函数性质等进行分类讨论，在处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应法则．离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一．
　已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2，数列{bn}为等差数列，b1＝3a1，b4＝a5－2.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)记cn＝an－bn，求数列{|cn|}的前n项和Tn.
【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，得a1＝2；
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2，
由an＝Sn－Sn－1，得an＝2an－1.
故{an}为等比数列，其公比为2，所以an＝2n.
由a1＝2，b1＝3a1，得b1＝6，b4＝a5－2＝30，
因为{bn}为等差数列，所以其公差d＝8，所以bn＝8n－2.
(2)因为cn＝an－bn＝2n－8n＋2，
所以当n≤5时，cn<0，当n≥5时，cn>0.
所以当n≤5时，Tn＝b1－a1＋b2－a2＋…＋bn－an＝4n2＋2n＋2－2n＋1.
当n>5时，Tn＝(b1－a1＋b2－a2＋…＋b5－a5)＋(a5－b5＋…＋an－bn)＝2n＋1－4n2－2n＋94.
故数列{|cn|}的前n项和
Tn＝
(三)　数形结合
以形助数(数题形解) 以数辅形(形题数解)
借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想． 借助数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想．
数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．
一、数形结合思想在函数与方程中的应用
【典例1】(1)(2021·新乡三模)已知函数f(x)＝|x2＋mx|(m>0)，当a∈(1，4)时，关于x的方程f(x)－a|x－1|＝0恰有两个不同的实根，则m的取值范围是(　　)
A．(0，2] B．(1，3]
C．(0，3] D．(1，4]
【解析】选C.当x＝1时，f(x)＝|m＋1|>1，
所以x＝1不是方程f(x)－a|x－1|＝0的实根；
当x≠1时，由f(x)－a|x－1|＝0，
得a＝.
方程f(x)－a|x－1|＝0恰有两个不同的实根等价于直线y＝a与函数y＝
的图象有两个不同的交点．
因为m>0，所以m＋2＝()2＋1>2，
则函数y＝的大致图象如图所示．因为a∈(1，4)，
所以
(2)(2021·太原二模)已知函数f(x)＝a2x2＋x－2ln a(a>1)，g(x)＝－ex－2ln x，若f(x)的图象与g(x)的图象在[1，＋∞)上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．[，＋∞)
C． D．
【解析】选C.g(x)关于x轴对称的解析式为y＝ex＋2ln x，
因为f(x)的图象与g(x)的图象在[1，＋∞)上恰有两对关于x轴对称的点，
所以a2x2＋x－2ln a＝ex＋2ln x在[1，＋∞)上有两个不等实根，
所以a2x2＋x－2ln a－ex－2ln x＝0，
所以a2x2－ln (a2x2)－ex＋x＝0，
即eln (a2x2)－ln (a2x2)－ex＋x＝0，
所以eln (a2x2)－ln (a2x2)＝ex－x，
令t(x)＝ex－x，x∈[1，＋∞)，
则t′(x)＝ex－1>0恒成立，
所以t(x)＝ex－x在[1，＋∞)上单调递增，
所以ln (a2x2)＝x，即a2x2＝ex，
所以a2＝，
所以原问题等价于y＝a2与y＝
在[1，＋∞)上有两个交点，
由y＝，得y′＝＝，
当x>2时，y′>0，当1≤x<2时，y′<0，
所以y＝在[1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
所以当x＝2时，函数y＝取得最小值，
当x＝1时，y＝e，
函数y＝在[1，＋∞)上的图象如图所示，
所以要使y＝a2与y＝在[1，＋∞)上有两个交点，只要因为a>1，所以即实数a的取值范围是.
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利用数形结合思想研究方程解的问题
(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为两曲线交点问题．
(2)准确做出两个函数的图象是解决问题的关键．数形结合应以快和准为原则，不能刻意去用数形结合．
　已知函数f(x)＝，若关于x的方程4f2(x)－4a·f(x)＋2a＋3＝0有5个不同的实根，求实数a的取值范围．
【解析】当x<0时，f(x)＝3x－x3，则f′(x)＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)，
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(－1，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
作出f(x)的图象，如图所示，
令f(x)＝t，则4t2－4at＋2a＋3＝0，
令g(t)＝4t2－4at＋2a＋3，
由题意得方程g(t)＝0有两个不同的实根：
①有两个不同的实根t1，t2，且t1∈(－2，－1)，t2∈(－1，0)，
则有解得－②有两个不同的实根t1，t2，且t1＝－1，t2∈(－1，0)，
则有g(t1)＝g(－1)＝6a＋7＝0，则a＝－，
方程为6t2＋7t＋1＝0，得t1＝－1，t2＝－∈(－1，0)，满足条件．
③有两个不同的实根t1，t2，且t1＝0，t2∈(－1，0)，
因为g(t1)＝g(0)＝2a＋3＝0，则a＝－，
方程为t2＋t＝0，得t1＝0，t2＝－ (－1，0)，不符合题意，舍去．
综上所述，实数a∈.
二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用
【典例2】(1)设函数y＝f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1).若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)>－，则m的取值范围是________．
【解析】因为f(x＋1)＝2f(x)，
所以f(x)＝2f(x－1)，
因为x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)∈，
所以x∈(1，2]时，x－1∈(0，1]，f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)∈；
所以x∈(2，3]时，x－1∈(1，2]，f(x)＝2f(x－1)＝4(x－2)(x－3)∈[－1，0]；
所以x∈(3，4]时，x－1∈(2，3]，f(x)＝2f(x－1)＝8(x－3)(x－4)∈[－2，0]；
当x∈(2，3]时，由4(x－2)(x－3)＝－，
解得x＝或x＝，
若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)>－，则m<.
答案：
(2)已知函数f(x)＝，若f(x)≥2|x－a|，则实数a的取值范围是________.
【解析】因为f(x)＝，
当x<0时，f′(x)＝4x＋1，
当x<－时，f′(x)<0，函数单调递减，
当－0，
函数单调递增，f＝，
当x≥0时，f′(x)＝(x＋1)ex－1，
当x≥0时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增．
图象如图所示：
令g(x)＝2|x|，将其向右平移至与f(x)(x<0)相切，此刻a取最大值，
即f′(x)＝4x＋1＝－2，得到x＝－，f＝，
将代入f(x)＝2|x－a|，得＝2，
所以a＝，a＝－(舍去)；
将g(x)＝2|x|向左平移至与f(x)(x>0)相切，此刻a取最小值，
即f′(x)＝(x＋1)ex－1＝2，得到x＝1，f(1)＝3，
将(1，3)代入f(x)＝2|x－a|，得3＝2|1－a|，
所以a＝－，a＝(舍去)；
所以a∈.
答案：
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利用数形结合处理不等式问题，要从题目的条件与结论出发，着重分析其几何意义，从图形上找出解题思路．因此，往往通过构造熟悉的函数，做出函数图象，利用图象的交点和图象的相对位置求解不等式．
1．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，则不等式<0的解集为(　　)
A．(－2，0)∩(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0，2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2，0)∪(0，2)
【解析】选D.由已知条件可以画出函数f(x)的草图，如图所示．
由函数f(x)为奇函数可化简不等式
<0为<0.
若x>0，则需有f(x)<0，结合图象可知0若x<0，则需有f(x)>0，结合图象可知－2综上可知，不等式的解集为(－2，0)∪(0，2).
2．已知函数f(x)＝ 若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是________．
【解析】画出函数|f(x)|的图象，数形结合求解．
作出函数y＝|f(x)|的图象，如图，
当|f(x)|≥ax时，必有k≤a≤0，
其中k是y＝x2－2x(x≤0)在原点处的切线斜率，显然，k＝－2.
所以a的取值范围是[－2，0].
答案：[－2，0]
三、数形结合思想在解析几何中的应用
【典例3】(1)已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是(　　)
A． B．2
C． D．2
【解析】选C.圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为C(1，1)，半径为r＝1，
圆心C(1，1)到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝＝＝2>r＝1，
所以圆C与直线l相离．
根据对称性可知，四边形PACB的面积为2S△APC＝2××|PA|×r＝|PA|＝＝.
要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小．
又|PC|最小值为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝2.
所以四边形PACB面积的最小值为 eq \r(|PC|－1) ＝ ＝ .
(2)已知A(－4，0)，B是圆(x－1)2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线－＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　)
A．9 B．2 C．10 D．12
【解析】选C.在双曲线－＝1中，a＝3，b＝，c＝4，如下图所示：
易知点F(4，0)为双曲线－＝1的右焦点，
由双曲线的定义可得|PA|－|PF|＝2a＝6，
所以|PA|＝6＋|PF|，
圆(x－1)2＋(y－4)2＝1的圆心为E(1，4)，半径为r＝1，且|EF|＝＝5，
所以|PA|＋|PB|＝6＋|PF|＋|PB|≥6＋|PF|＋|PE|－1≥|EF|＋5＝10，
当且仅当E，B，P，F四点共线，且B，P分别为线段EF与圆(x－1)2＋(y－4)2＝1和双曲线－＝1的交点时，两个等号同时成立．
因此，|PA|＋|PB|的最小值为10.
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应用数形结合解决平面解析几何中的最值，涉及到平面几何中的相关最值的判断问题．如线段长度之和问题往往转化为三点共线问题等．
　已知抛物线的方程为x2＝8y，点F是其焦点，点A(－2，4)，在抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为 ________．
【解析】因为(－2)2<8×4，所以点A(－2，4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ.则△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.
因为A(－2，4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝.故使△APF的周长最小时点P的坐标为.
答案：
(四)　转化与化归
题型特点 常用方法
1.熟悉化原则　2.简单化原则3.直观化原则　4.正难则反原则 1.直接转化法　2.换元法　3.数形结合方法4.构造法　5.类比法　6.坐标法　7.特殊化方法8.等价问题法等．
转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．
一、一般与特殊的相互转化
【典例1】(1)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C：＋＝1(a>0)的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为(　　)
A．x2＋y2＝9 B．x2＋y2＝7
C．x2＋y2＝5 D．x2＋y2＝4
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则等于(　　)
A． B．
C． D．
【解析】(1)选B.因为椭圆C：＋＝1(a>0)的离心率为，
所以＝，解得a＝3，
所以椭圆C的方程为＋＝1，
所以椭圆的上顶点A(0，)，右顶点B(2，0)，
所以经过A，B两点的切线方程分别为y＝，x＝2，
所以两条切线的交点坐标为(2，)，
又过A，B的切线互相垂直，
由题意知交点必在一个与椭圆C同心的圆上，可得圆的半径r＝＝，所以椭圆C的蒙日圆方程为x2＋y2＝7.
(2)选A.令a＝b＝c，则△ABC为等边三角形，且cos A＝cos C＝，代入所求式子，
得＝＝.
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(1)一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；
(2)特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案．
　设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝3|AF|·|BF|，则p＝(　　)
A．2 B．3
C． D．
【解析】选D.因为AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，取其通径，
所以＝＋＝＝3，
所以p＝.
二、正与反的相互转化
【典例2】(1)若对于任意t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2－2x在区间(t，3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是________．
(2) 若命题“ x∈R，|x|－1＋m>0”是假命题，则实数m的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
【解析】(1)g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在区间(t，3)上为单调函数，则①g′(x)≥0在(t，3)上恒成立，
或②g′(x)≤0在(t，3)上恒成立．
由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，
即m＋4≥－3x在x∈(t，3)上恒成立，
所以m＋4≥－3t恒成立，则m＋4≥－1，
即m≥－5；
由②得m＋4≤－3x在x∈(t，3)上恒成立，
则m＋4≤－9，即m≤－.
所以使函数g(x)在区间(t，3)上总不为单调函数的m的取值范围为－答案：
(2)选D“ x∈R，|x|－1＋m>0”是假命题，
所以 x∈R，使得|x|－1＋m≤0成立是真命题，
即|x|－1＋m≤0对于x∈R有解，
所以m≤1－|x|，所以m≤(1－|x|)max，
因为|x|≥0，所以－|x|≤0，1－|x|≤1，
所以(1－|x|)max＝1，所以m≤1，
所以实数m的取值范围是(－∞，1].
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正与反的转化
正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，这充分体现了对立与统一的思想方法．一般地，题目中若出现多种成立的情况，则不成立的情形比较少，从反面思考比较简单．因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”情形的问题中．
1．命题p： x∈{x|1≤x≤9}，x2－ax＋36≤0，若p是真命题，则实数a的取值范围为(　　)
A．[37，＋∞) B．[13，＋∞)
C．[12，＋∞) D．(－∞，13]
【解析】选C.因为命题p： x∈{x|1≤x≤9}，使x2－ax＋36≤0为真命题，
即 x∈{x|1≤x≤9}，使x2－ax＋36≤0成立，
即a≥x＋能成立，
设f(x)＝x＋，则f(x)＝x＋≥2＝12，
当且仅当x＝，即x＝6时，取等号，
即f(x)min＝12，所以a≥12，
故a的取值范围是[12，＋∞).
2．已知函数f(x)＝ln x－ax－2在区间(1，2)上不单调，则实数a的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选B.由f′(x)＝－a＝，
①当a≤0时函数f(x)单调递增，不合题意；
②当a>0时，函数f(x)的极值点为x＝，若函数f(x)在区间(1，2)不单调，必有1<<2，解得三、常量与变量的相互转化
【典例3】已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为(　　)
A．(－∞，2)∪(3，＋∞)
B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，1)∪(3，＋∞)
D．(1，3)
【解析】选C.由题意，因为a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，
可转化为关于a的函数f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，
则f(a)>0对应任意a∈[－1，1]恒成立，
则满足解得：x<1或x>3，即x的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞).
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(1)本题若利用常规方法求解，需把x看作主元，就需要分类讨论，但是比较麻烦．而以a为变量，则问题就变为一次函数，可以轻易解决该问题．
(2)在处理多元问题时，可以选取其中的常数(或参数)，将其看作“主元”，实现主与次的转化，从而达到减元的目的．
　设f(x)＝x2＋(a－1)x＋5，若函数f(x)在区间[1，4]上的图象位于直线y＝x＋1上方，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2，＋∞) B．[－2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]
【解析】选A.由题意得，f(x)＝x2＋(a－1)x＋5>x＋1在区间[1，4]上恒成立，
a－2>－x－在区间[1，4]上恒成立，
令y＝x＋，其图象如图所示：
由图象知y≥4，所以－x－＝－y≤－4，
所以a－2>－4，解得a>－2.
四、形、体位置关系的相互转化
【典例4】(1)如图，在棱长都为1的直棱柱ABCD A1B1C1D1中，∠BAD＝60°，三棱锥C1 A1BD的体积为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选C.由棱柱ABCD A1B1C1D1为直棱柱，
所以AA1⊥平面ABCD，
由题意在△ABD中，∠BAD＝60°，AB＝AD＝1，
所以S△ABD＝×AD×AB×sin 60°＝，
所以VA1 ABD＝×S△ABD×AA1＝，
所以S ABCD＝2S△ABD＝，
则直棱柱ABCD A1B1C1D1的体积为VABCD A1B1C1D1＝S ABCD×AA1＝，
由题意可知三棱锥C1 A1BD是直棱柱ABCD A1B1C1D1切去角上的4个小三棱锥而得到的．
即切去4个小三棱锥为A1 ABD，D BCC1，
D A1D1C1，B A1B1C1
由题意可得这4个小三棱锥的高均为AA1，且有S△ABD＝S△BCC1＝S△A1D1C1＝S△A1B1C1
所以VA1 ABD＝VD BCC1＝VD A1D1C1＝VB A1B1C1
所以VC1 A1BD＝－4×＝.
(2)(2021·德州二模)运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球(如图①)放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体(如图②)，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等．现将椭圆＋＝1绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体(如图③)，类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于(　　)
A．8π B．16π
C．24π D．32π
【解析】选B.构造一个底面半径为2，高为3的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，
则当截面与顶点距离为h(0≤h≤4)时，小圆锥的底面半径为r，则＝，
所以r＝h，
故截面面积为4π－，把y＝h代入椭圆＋＝1可得x＝±，
所以橄榄球形几何体的截面面积为πx2＝4π－，
由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积
V＝2(V圆柱－V圆锥)＝2(π×22×3－×π×22×3)＝16π.
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形体位置关系相互转化的技巧
(1)分析特征，一般要分析形体的特征，根据特征确定需要转化的对象；
(2)位置转化，将不规则几何体通过切割、挖补、延展等方式转化为便于观察、计算的常见几何体，进而求解相关问题．
(3)由于新的几何体是由旧几何体转化而来，一定要注意准确理解新的几何体的特征分析；
(4)得出结论，在新几何体结构中解决目标函数即可．
　如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点，当A1M＋MC取最小值时，B1M的长为(　　)
A．2 B． C． D．
【解析】选D.下图所示，将侧面AA1D1D，侧面CDD1C1延展至同一平面，
当A1，M，C三点共线时，A1M＋MC取最小值，
易知四边形AA1C1C为正方形，则∠CA1C1＝45°，且△A1D1M为等腰直角三角形，
所以，D1M＝A1D1＝1，在长方体ABCD A1B1C1D1中，A1M＝，
因为A1B1⊥平面AA1D1D，A1M 平面AA1D1D，
所以A1B1⊥A1M，
因此，B1M ＝ eq \r(A1B ＋ A1M2) ＝
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