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重难突破微专题(九)
导数中函数的构造问题
一、依据求导法则构造函数
【典例1】定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意实数x，都有f(x)>f′(x)，且f(x)＋9为奇函数，则不等式f(x)＋9ex<0的解集为(　　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C． D．
【解析】选B.令g(x)＝，因为f(x)>f′(x)，
所以g′(x)＝<0，
所以g(x)在R上单调递减．
因为f(x)＋9是奇函数，所以f(0)＋9＝0，
即f(0)＝－9，则g(0)＝－9.
不等式f(x)＋9ex<0可转化为<－9，
即g(x)所以x>0，则不等式f(x)＋9ex<0的解集为(0，＋∞).
【典例2】已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)<0，且f(2)＝2，则f(ex)－ex>0的解集是(　　)
A．(－∞，ln 2) B．(ln 2，＋∞)
C．(0，e2) D．(e2，＋∞)
【解析】选A.令g(x)＝，g′(x)＝<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，且g(2)＝＝1，
故f(ex)－ex>0等价于>，
即g(ex)>g(2)，故ex<2，解得x故f(ex)－ex>0的解集为(－∞，ln 2).
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构造新函数的方法：
(1)对于f′(x)>a，构造h(x)＝f(x)－ax＋b.
(2)对于xf′(x)＋f(x)>0(<0)，构造h(x)＝xf(x)；一般地，对于xf′(x)＋nf(x)>0(<0)，构造h(x)＝xnf(x).
(3)对于xf′(x)－f(x)>0(<0)，构造h(x)＝；一般地，对于xf′(x)－nf(x)>0(<0)，构造h(x)＝.
(4)对于f′(x)－f(x)>0(<0)，构造h(x)＝；一般地，对于f′(x)－nf(x)>0(<0)，构造h(x)＝.
(5)对于f′(x)＋f(x)>0(<0)，构造h(x)＝exf(x)；一般地，对于f′(x)＋nf(x)>0(<0)，构造h(x)＝enxf(x). 　　　　　　　　　　　
(6)对于f′(x)cos x＋f(x)sin x>0(<0)，构造h(x)＝.
(7)对于>0，构造h(x)＝ln f(x).
二、构造函数求距离(的最值)
【典例3】已知变量a，b满足b＝－a2＋3ln a(a＞0)，若点Q(m，n)在直线y＝2x＋上，则(a－m)2＋(b－n)2的最小值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　
A． B． C．9 D．3
【解析】选A.由题意知，y＝2x＋表示斜率为2的直线，变量a，b满足b＝－a2＋3ln a，设函数f(x)＝－x2＋3ln x，则f′(x)＝－x＋，设当切线斜率为2时，函数f(x)图象的切点的横坐标为x0，则－x0＋＝2，所以x0＝1，此时切点坐标为，切点到直线y＝2x＋的距离d＝，所以(a－m)2＋(b－n)2的最小值为d2＝.
　若本例条件不变，试求(a－m)2＋(b－n)2取得最小值时m，n的值．
【解析】由典例3的解析可知：点Q(m，n)在过点(1，－)且与直线y＝2x＋垂直的直线上，即为直线y＝－x上，解方程组得
所以m＝－，n＝.
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构造函数求距离(的最值)的解题策略
(1)注意动点在怎样的函数图象上，依据函数解析式以及点的纵横坐标构造函数解析式；
(2)可将两点间的距离，转化为点与直线的距离；
(3)依据几何意义求最值．
三、构造函数证明不等式
【典例4】已知函数f(x)＝(x>0且x≠1).
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)ln x>.
【解析】(1)f′(x)＝＝，
因为x>0且x≠1，所以f′(x)<0，
则函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，(1，＋∞)，无单调递增区间．
(2)f(x)ln x－＝，
令h(x)＝ln x－，x>0且x≠1.
则h′(x)＝－＝>0，
所以当x∈(0，1)时，h(x)<0，
此时f(x)ln x－＝·h(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0，
此时f(x)ln x－＝·h(x)>0.
综上所述，当x>0且x≠1时，f(x)ln x－>0，
即f(x)ln x>.
【典例5】已知函数f(x)＝，g(x)＝ex.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，e－1)处的切线方程；
(2)若正实数m，n满足f(m)＝g(n)，求证：>.
【解析】(1)因为f′(x)＝，
所以f′(1)＝1，所以y＝f(x)在点(1，e－1)处的切线方程为x－y＋e－2＝0.
(2)f(m)＝g(n)，即＝en.
要证>，只要证en>em，即证>em，
即证em－1－mem>0，
故只要证当m>0时有em－1－mem>0成立即可．
令h(x)＝ex－1－xex(x>0)，
则h′(x)＝ex－ex－xex＝ex，
令m(x)＝ex－x－1(x>0)，
则m′(x)＝ex－>0(x>0)，
所以m(x)>m(0)＝0，即ex－1－>0，
所以h′(x)＝ex>0，
所以h(x)>h(0)＝0，
所以h(m)＝em－1－mem>0，所以>.
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1．构造函数法证明不等式
(1)移项，使不等式右边为零，左边构造为新函数．
(2)求导判断单调性，通常要对参数分类讨论．
(3)根据单调性，求出最值与“0”比较即可得证．
2．形如f(x)＞g(x)的不等式的证明
(1)首先构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，借助导数求h(x)min，证明h(x)min＞0.
(2)如果不等式既有指数又有对数，求导不易求最值，可合理分拆和变形，构造两个函数，分别计算它们的最值，利用隔离分析最值法证明．
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