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重难突破微专题(七)
概率中的函数、数列问题
一、古典概型与函数问题
古典概型是求概率的主要模型，以函数、导数为背景的古典概型概率问题常借助函数的性质，结合概率模型，解决概率问题，是近年来常见的题型.
1．记事件A发生的概率为P(A)，定义f(A)＝lg [P(A)＋]为事件A发生的“测度”．现随机抛掷一个骰子，则下列事件中测度最大的一个是(　　)
A．向上的点数为1
B．向上的点数不大于2
C．向上的点数为奇数
D．向上的点数不小于3
【解析】选A.对于A，由于P(A)＝，所以P(A)＋＝；对于B，由于P(A)＝＝，所以P(A)＋＝；对于C，由于P(A)＝＝，所以P(A)＋＝；对于D，由于P(A)＝＝，所以P(A)＋＝，由于函数f(x)＝lg x为增函数，所以A正确．
2．已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f′(x)g(x)＜f(x)g′(x)，f(x)＝axg(x)，＋＝，在有穷数列中，任意取前k项相加，则前k项和大于的概率是(　　)
A． B． C． D．
【解析】选B.令h(x)＝，
则h′(x)＝＜0，
故h(x)＝ax单调递减，所以0＜a＜1，
又＋＝a＋＝，解得a＝则＝其前n项和Sn＝1－，
由1－＞得n＞6故所求概率P＝＝.
二、概率与数列问题
概率问题常以数列作为背景，主要涉及等差数列、等比数列的概念与性质以及递推数列问题．
3．一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为(　　)
A． B． C． D．
【解析】选A.将这颗骰子连续抛掷三次，三次向上的点数一共有63种情况，其中三次点数依次构成等差数列的情况有18种，列举如下：1，2，3；3，2，1；1，3，5；5，3，1；2，3，4；4，3，2；2，4，6；6，4，2；3，4，5；5，4，3；4，5，6；6，5，4；1，1，1；2，2，2；3，3，3；4，4，4；5，5，5；6，6，6.所以三次点数依次构成等差数列的概率P＝＝.
4．一种掷硬币走跳棋的游戏：在棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第100站，共100站，设棋子跳到第n站的概率为Pn，一枚棋子开始在第1站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次．若硬币的正面向上，棋子向前跳一站；若硬币的反面向上，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(失败)或者第100站(获胜)时，游戏结束．
(1)求P1，P2，P3；
(2)求证：数列，为等比数列；
(3)求玩该游戏获胜的概率．
【解析】(1)棋子开始在第1站是必然事件，P1＝1；
棋子跳到第2站，只有一种情况，第一次掷硬币正面向上，其概率为，所以P2＝；
棋子跳到第3站，有两种情况，
①第一次掷硬币反面向上，其概率为；
②前两次掷硬币都是正面向上，其概率为×＝，P3＝＋＝.
(2)证明：棋子跳到第n＋2(1≤n≤97)站，有两种情况：
①棋子先跳到第n站，又掷硬币反面向上，其概率为Pn；
②棋子先跳到第n＋1站，又掷硬币正面向上，其概率为Pn＋1.故Pn＋2＝Pn＋1＋Pn；
所以Pn＋2－Pn＋1＝；
又P2－P1＝－，
所以数列{Pn＋1－Pn}是以－为首项，－为公比的等比数列．
(3)由(2)得Pn＋1－Pn＝，
所以P99＝＋…＋＋P1
＝＋＋…＋＋1
＝＝＋，
所以获胜的概率为1－P99＝－.
三、离散型随机变量的分布列与函数问题
求离散型随机变量的期望与方差是理科概率的必考考点，其步骤为：①确定离散型随机变量的取值．②写出分布列，并检查分布列的正确与否，即看一下所有概率的和是否为1.③求出期望．
离散型随机变量的分布列与函数的综合问题中，一般借助函数的性质解决最值问题．
5．一个口袋中装有大小相同的n个红球(n≥5且n∈N)和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球的颜色不同则为中奖．
(1)记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为P.试问当n等于多少时，P的值最大？
(2)在(1)的条件下，将5个白球全部取出后，对剩下的n个红球全部作如下标记：记上i号的有i个(i＝1，2，3，4)，其余的红球记上0号，现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号，求ξ的分布列，期望和方差．
【解析】(1)一次摸奖从n＋5个球中任取两个，有C种方法．它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有CC种，
一次摸奖中奖的概率P＝ eq \f(CC,C) ＝.
设每次摸奖中奖的概率为p(0＜p＜1)，三次摸奖中(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率，
P＝C×p×(1－p)2＝3p3－6p2＋3p
所以P′＝9p2－12p＋3＝3(p－1)(3p－1)，
由此知P在上为增函数，P在上为减函数，所以当p＝时P取得最大值，
即p＝＝，
解得n＝20或n＝1(舍去)，则当n＝20时，三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率最大．
(2)由(1)可知：记上0号的有10个红球，
从袋中任取一球，有20种取法，它们是等可能的，故ξ的分布列是
ξ 0 1 2 3 4
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
D(ξ)＝×＋×＋×＋×＋×＝.
6．某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有n(n∈N*)份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验n次；②混合检验，将其k(k∈N*)且k≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k＋1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p(0＜p＜1).
(1)假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
(2)现取其中k(k∈N*且k≥2)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2.
①记E(ξ)为随机变量ξ的数学期望．若E(ξ1)＝E(ξ2)，运用概率统计的知识，求出p关于k的函数关系式p＝f(k)，并写出定义域；
②若p＝1－e－，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值．
参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 5≈1.609 4.
【解析】(1)记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为A事件，
则P(A)＝ eq \f(A＋CAC,A) ＝；
(2)①根据题意，可知E(ξ1)＝k，ξ2的可能值为1，k＋1，则P(ξ2＝1)＝(1－p)k，P(ξ2＝k＋1)＝1－(1－p)k，
所以E(ξ2)＝(1－p)k＋(k＋1)[1－(1－p)k]＝k＋1－k(1－p)k，
由E(ξ1)＝E(ξ2)，得k＝k＋1－k(1－p)k，
所以p＝1－()(k∈N*且k≥2)；
②由于p＝1－e－，则E(ξ2)＝k＋1－ke－，
所以k＋1－ke－＜k，即ln k－＞0，
设f(x)＝ln x－，则f′(x)＝－＝(x＞0)，当x∈(0，4)时，f′(x)＞0，f(x)在(0，4)上单调递增；
当x∈(4，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)在(4，＋∞)上单调递减，
又f(8)＝ln 8－2＝3ln 2－2＞0，f(9)＝ln 9－＝2ln 3－＜0，所以k的最大值为8.
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