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重难突破微专题(六)
立体几何中的探索问题
一、存在性问题
【典例1】如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝.
(1)求证：PD⊥平面PAB.
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【解析】(1)因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB 平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD，PA∩AB＝A，
所以PD⊥平面PAB.
(2)取AD的中点O，连接PO，CO.
因为PA＝PD，所以PO⊥AD.
又因为PO 平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD.因为CO 平面ABCD，所以PO⊥CO.
因为AC＝CD，所以CO⊥AD.
如图所示，建立空间直角坐标系O xyz.
由题意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1).
则＝(0，－1，－1)，＝(2，0，－1)，＝(1，1，－1)，
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z).
则即
令z＝2，则x＝1，y＝－2.
所以n＝(1，－2，2).又＝(1，1，－1)，
所以cos 〈n，〉＝－.
所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.
(3)存在点M，即当＝时，BM∥平面PCD.
理由如下：设M是棱PA上一点，则存在λ∈[0，1]，使得＝λ.
因此点M(0，1－λ，λ)，＝(－1，－λ，λ).
因为BM 平面PCD，
所以要使BM∥平面PCD，当且仅当·n＝0，
即(－1，－λ，λ)·(1，－2，2)＝0.
解得λ＝.所以在棱PA上存在点M，使得BM∥平面PCD，此时＝.
　 INCLUDEPICTURE "技法点拨J.TIF" INCLUDEPICTURE "技法点拨J.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．
(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．
　
(2021·临汾二模)如图，在半径为的半球O中，平行四边形ABCD是圆O的内接四边形，AD＝AB，点P是半球面上的动点，且四棱锥P ABCD的体积为.
(1)求动点P的轨迹T围成的平面图形的面积；
(2)是否存在点P使得二面角P AD B的大小为？请说明理由．
【解析】(1)由已知条件可知，平行四边形ABCD为矩形，BD＝2，
因为AD＝AB，AD2＋AB2＝12，
所以AD＝2，AB＝2，四边形ABCD的面积为4，设点P到底面ABCD的距离为h，则VP ABCD＝×S矩形ABCDh＝×4h＝，解得h＝，
所以点P在到底面ABCD的距离为的平面内，
又因为点P是半球面上的动点，
所以点P的轨迹为半径r＝＝1的圆，
所以T围成的面积S＝πr2＝π.
(2)存在点P使得二面角P AD B的大小为，理由如下：以底面圆的圆心O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz，
由(1)可知A(，－1，0)，D(－，－1，0)，
设P(a，b，)，易知a2＋b2＝1，
设平面ADP的法向量为n＝(x，y，z)，
＝(2，0，0)，＝(a－，b＋1，)，
，
取y＝－，则n＝(0，－，b＋1)，
由题意可取平面ABCD的法向量为m＝(0，0，1)，
若要满足题目条件，则
|cos 〈m，n〉|＝＝，
解得b＝－1∈[－1，1]，
所以存在点P使得二面角P AD B的大小为.
二、 折叠问题
【典例2】如图所示，已知在长方形ABCD中，AB＝2AD＝2，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM.
(1)求证：平面ADM⊥平面ABCM；
(2)若E点满足＝，求二面角E AM D的大小？
【解析】(1)因为AM＝＝＝2，BM＝＝＝2，
所以AM2＋BM2＝8＝AB2，所以AM⊥BM，
又因为AD⊥BM，AD∩AM＝A，
所以BM⊥平面 ADM，
又因为BM 平面ABCM，
所以平面ADM⊥平面ABCM；
(2)取AM中点O，连接DO，因为DA＝DM，所以DO⊥AM，
又平面ADM∩平面ABCM＝AM，平面ADM⊥平面ABCM，所以DO⊥平面ABCM ，
以OA方向为x轴，过O垂直于AM方向为y轴， OD方向为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
由条件可知：A(1，0，0)，M(－1，0，0)，B(－1，2，0)，因为DO＝AM＝1，所以D(0，0，1)，则＝(1，－2，1)，
设E(xE，yE，zE)，
又因为＝，所以，
所以E(－，，)，
所以＝(－2，0，0)，＝(，，)，
取平面AMD的一个法向量n1＝(0，1，0)，
设平面AME的一个法向量n2＝(x，y，z)，
因为，所以，取y＝1，
所以n2＝(0，1，－1)，
所以cos ?n1，n2?＝＝＝，
由图可知二面角E AM D为锐二面角，
所以二面角E AM D的大小为45°.
　 INCLUDEPICTURE "技法点拨J.TIF" INCLUDEPICTURE "技法点拨J.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)通过线段长度关系证明AM⊥BM，由此可证明BM⊥平面ADM，根据面面垂直的判定定理可完成证明；
(2)通过证明垂直关系建立合适空间直角坐标系，分别求解出平面AME、平面AMD的一个法向量，然后根据法向量夹角的余弦值结合图形求解出二面角的大小．
　
(2021·南京二模)已知平行四边形ABCD中，∠C＝60°，点E在AD上，且满足BC＝2AB＝4AE＝4，将△ABE沿BE折起至△PBE的位置，得到四棱锥P BCDE.
(1)求证：平面PDE⊥平面BCDE；
(2)若二面角P BE D的大小为120°，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
【解析】(1)在△ABE中，AB＝2，AE＝1，∠A＝60°，由余弦定理得BE2＝AB2＋AE2－2AB·AE·cos 60°＝3，所以BE2＋AE2＝AB2，由勾股定理知BE⊥AE.
折叠后，则有BE⊥PE，BE⊥DE，
因为PE∩DE＝E，所以BE⊥平面PDE，
又BE 平面BCDE，所以平面PDE⊥平面BCDE；
(2)因为BE⊥DE，BE⊥PE，则∠PED即为二面角P－BE－D的平面角．
以E为坐标原点，，所在的方向分别作为x，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz.
于是D(3，0，0)，B(0，，0)，P(－，0，)，C，所以＝，＝(，，－)，＝，
设平面PCD的一个法向量n＝，
有，即，
令x1＝，则y1＝－1，z1＝7.所以n＝(，－1，7)即为平面PCD的一个法向量．
cos ＜n，＞＝＝＝－.
设直线PB与平面PCD所成角为θ，则sin θ＝＝，
所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.
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