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重难突破微专题(五)
球的切接问题
“墙角”模型
“墙角”模型是指具有三条棱两两垂直或三个平面两两垂直的特征，应用数学建模素养，构建“两两垂直”模型，亦即“墙角”模型，将该三棱锥放入长方体中，把该三棱锥的外接球转化为该长方体的外接球，不用找出球心的具体位置，即可求出该球的半径．
【典例1】已知三棱锥P ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为(　　)
A．8π B．4π C．2π D．π
【解析】选D.因为PA＝PB＝PC，且△ABC为正三角形，所以三棱锥P ABC为正三棱锥，易知PB⊥AC.因为E，F分别为PA，AB的中点，所以EF∥PB，又∠CEF＝90°，所以PB⊥EC，而EC∩AC＝C，所以PB⊥平面PAC，又三棱锥P ABC为正三棱锥，所以PA，PB，PC两两垂直且相等，所以P，A，B，C可看成边长为的正方体的4个顶点，如图所示，此正方体的外接球即为三棱锥P ABC的外接球，正方体的体对角线即为外接球的直径，又＝，所以球O的体积为π×＝π.
“对棱相等”模型
“对棱相等”模型是指三棱锥的相对的两条棱相等，应用数学建模素养，构建长方体，将该三棱锥放入该长方体中，使三棱锥的顶点与长方体的顶点重合，将该三棱锥的外接球转化为该长方体的外接球，从而求出该外接球的半径．
【典例2】(2021·济南模拟)在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，且cos A＝，沿BD将△BDC折起，使点C到达点E处，且满足AE＝AD，则三棱锥E ABD的外接球的表面积为________．
【解析】在△ABD中，AB＝2，AD＝3，且cos A＝，由余弦定理得，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos A，即BD2＝(2)2＋32－2×2×3×＝9，解得BD＝3.
在四面体ABED中，AE＝BD＝3，AD＝BE＝3，AB＝ED＝2，
三组对棱长相等，可将四面体ABED放在长方体中．设长方体的相邻三条棱的长分别为x，y，z，其外接球半径为R，
则x2＋y2＝9，y2＋z2＝9，z2＋x2＝8，
故x2＋y2＋z2＝13，即2R＝，所以R＝，
所以三棱锥E ABD的外接球的表面积为4πR2＝4π×＝13π.
答案：13π
“汉堡”模型
“汉堡”模型是指对于直棱柱，应用数学建模素养，结合球与直棱柱的有关性质，建立“汉堡”模型，上、下底面外接圆的圆心连线构成的线段的中点即为直棱柱外接球球心，球心到各个顶点的距离都等于外接球的半径．
【典例3】(2021·石家庄模拟)已知直三棱柱ABC A1B1C1的底面ABC为等边三角形，若该三棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球的表面积之比为(　　)
A．25∶1 B．1∶25
C．1∶5 D．5∶1
【解析】选D.
如图所示，设点O是三棱柱的外接球和内切球的球心，点M是底面等边三角形ABC的中心，点N是棱AB的中点，连接OM，MN，AM，OA.设AB＝2a，则MN＝a，MA＝a.因为三棱柱的内切球与各面都相切，所以三棱柱的高是内切球的直径，底面三角形的内切圆的直径也是三棱柱的内切球的直径，所以OM＝MN＝a，
即三棱柱的内切球的半径r＝a，则AM＝a，所以OA＝＝a，
即三棱柱的外接球的半径R＝a，
所以内切球的表面积为4πr2＝πa2，外接球的表面积为4πR2＝πa2，所以三棱柱外接球和内切球的表面积之比为πa2∶πa2＝5∶1.
“心有所依”模型
“心有所依”模型是指对于圆锥、圆台、侧棱相等的棱锥等几何体，可得球心必在该几何体的高所在的直线上，或者在棱锥一个底面的高所在直线上，由此可把相关信息集中到某一个直角三角形内，利用勾股定理求解．
【典例4】(2021·十堰模拟)已知三棱锥M ABC的四个顶点均在表面积为32π的球面上，AB＝BC＝2，AC＝4，则三棱锥M ABC的体积的最大值为(　　)
A．8 B．4＋4
C． D．
【解析】选C.根据题意可知，△ABC是一个直角三角形，其面积为4，其外接圆的圆心在斜边AC的中点上，设圆心为Q，连接MQ(图略)，当MQ与平面ABC垂直且MQ大于球的半径时，三棱锥M－ABC的体积最大．设球心为O，半径为R，由4πR2＝32π，得R＝2，点O到平面ABC的距离为＝2，
所以三棱锥M ABC体积的最大值为×4×(2＋2)＝.
“双心”模型
“双心”模型：无法利用上面四种模型求解的问题，可利用球心、三角形(或四边形等)外接圆的圆心以及外接圆与球的交点所构成的直角三角形进行破解．
【典例5】(2021·荆州模拟)已知三棱锥D ABC的四个顶点在球O的球面上，若AB＝AC＝BC＝DB＝DC＝1，当三棱锥D ABC的体积取到最大值时，球O的表面积为(　　)
A． B．2π C．5π D．
【解析】选A.如图所示，
当三棱锥D ABC的体积取到最大值时，平面ABC⊥平面DBC.取BC的中点G，连接AG，DG，则AG⊥BC，DG⊥BC，分别取△ABC与△DBC的外心E，F，分别过E，F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于点O，则O为三棱锥D ABC的外接球的球心．由AB＝AC＝BC＝DB＝DC＝1，可得正方形OEGF的边长为，则OG＝，连接OB，所以三棱锥D－ABC的外接球的半径R＝OB＝＝＝，所以球O的表面积为4π×＝.
“等体积法”模型
“等体积法”模型：利用几何体的体积不变，求出所需求的几何体的内切球的半径的方法．
【典例6】(2021·福州模拟)在三棱锥P ABC中，顶点P在底面ABC上的射影为△ABC的内心，三个侧面的面积分别为12，16，20，且底面面积为24，则三棱锥P ABC的内切球的表面积为(　　)
A． B．12π C． D．16π
【解析】选C.方法一：如图，不妨设S△PBC＝12，S△PAC＝16，S△PAB＝20.
设点P在底面ABC上的射影为H，分别作HD⊥BC于点D，HE⊥AB于点E，HF⊥AC于点F，则PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC.又H为△ABC的内心，所以Rt△PDH≌Rt△PFH≌Rt△PEH，故PD＝PF＝PE，又S△PBC＝BC·PD，S△PAC＝AC·PF，S△PAB＝AB·PE，所以S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝BC∶AC∶AB＝12∶16∶20＝3∶4∶5，所以∠ACB＝90°.令BC＝3x(x＞0)，则AC＝4x，AB＝5x，所以S△ABC＝BC·AC＝×3x×4x＝24，解得x＝2，所以BC＝6，AC＝8，AB＝10.设△ABC的内切圆的半径为r，则(BC＋AC＋AB)r＝S△ABC，即×(6＋8＋10)r＝24，解得r＝2，故HD＝2.由S△PBC＝BC·PD＝12，BC＝6，得PD＝4，所以PH＝＝2，所以V三棱锥P ABC＝S△ABC·PH＝×24×2＝16.设三棱锥P－ABC的内切球的半径为R，则V三棱锥P ABC＝(S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＋S△ABC)R，即16＝×(12＋16＋20＋24)R，解得R＝，所以三棱锥P－ABC的内切球的表面积为4πR2＝.故选C.
方法二：不妨设S△PBC＝12，S△PAC＝16，S△PAB＝20.设P在底面ABC上的射影为H，分别作HD⊥BC于点D，HE⊥AB于点E，HF⊥AC于点F(图略)，则PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC.又H为△ABC的内心，所以△PEH≌△PFH≌△PDH，故PD＝PF＝PE，且∠PEH＝∠PFH＝∠PDH＝θ，所以cos θ＝＝＝，故cos θ＝＝＝，所以cos θ＝＝，所以θ＝60°.
又S△PBC＝BC·PD，S△PAC＝AC·PF，S△PAB＝AB·PE，所以S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝BC∶AC∶AB＝12∶16∶20＝3∶4∶5，所以∠ACB＝90°.令BC＝3x(x＞0)，则AC＝4x，AB＝5x，所以S△ABC＝BC·AC＝×3x×4x＝24，解得x＝2，所以BC＝6，AC＝8，AB＝10.设△ABC的内切圆的半径为r，由直角三角形内切圆半径公式得r＝＝2.由题意知三棱锥内切球的球心在PH上，设为点O.由条件知点O也在∠PDH的角平分线上，所以内切球的半径R＝r tan 30°＝，所以三棱锥P ABC的内切球的表面积为4πR2＝.故选C.
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