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内江市高中2022届第三次模拟考试题
数学（文科）
1.本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫来的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在试题卷上。
3.考试结束后，监考员将答题卡收回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.1
3.设，，，则（ ）
A. B. C. D.
4.四川省现在的高考模式仍要分文理科，某中学在统计高一学生文理科选择意愿时，抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高条形图：
根据这两幅图中的信息，下列结论中正确的是（ ）
A.样本中的女生数量少于男生数量
B.样本中有文科意愿的学生数量多于有理科意愿的学生数量
C.样本中的男生偏爱理科
D.样本中的女生偏爱文科
5.三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则（ ）
A.三棱锥的体积为3 B.
C.平面平面 D.平面平面
6.已知在等比数列中，，，则（ ）
A.2 B.4 C. D.2
7.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“…”既代表无限次重复，但原式却又是个定值，它可以通过方程解得，类比上述方法，则（ ）
A. B. C. D.2
8.已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，是抛物线上的点.若轴，则以为直径的圆截直线所得的弦长为（ ）
A.2 B. C.1 D.
9.设为数列的前项和.若，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
10.若函数的图象关于直线对称，则的最大值为（ ）
A. B. C.2 D.2
11.已知函数满足：对任意，，当时，，则（ ）
A. B. C. D.
12.如图，在四棱柱中，底面为正方形，底面，，、分别是棱、上的动点，且，则下列结论中正确的是（ ）
A.直线与直线N可能异面
B.三棱锥的体积保持不变
C.直线与直线所成角的大小与点的位置有关
D.直线与直线所成角的最大值为
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知向量，，若，则______.
14.曲线在处的切线方程是______.
15.已知，，若曲线上存在点满足，则的取值范围是______.
16.已知函数，数列是公差为2的等差数列，若，则数列的前项和______.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
2021年某省约有23万文科考生参加高考，除去成绩在600分及以上的2013人与成绩在400分以下的109600人，还有约11.87万文科考生的成绩集中在区间内，其成绩的频率分布如下表所示：
分数段
频率 0.21 0.26 0.27 0.18 0.08
（1）请估计该次高考文科考生成绩在内的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）若在分数段和的考生中采用分层抽样的方法抽取5名考生进行电话访问，再从被电话访问的5名考生中随机抽取3名考生进行问卷调查，求进行问卷调查的3名考生中至少有2名分数低于520分的概率
18.（本小题满分12分）
如图，在中，，，是边上一点.
（1）若是以为斜边的等腰直角三角形，求的长；
（2）若是边的中点，的面积为，求的长.
19.（本小题满分12分）
如图，在多面体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积.
20.（本小题满分12分）
已知点，，直线与直线的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线
（1）求曲线的方程；
（2）设为曲线上的一点，线段的垂直平分线交轴于点，若为等边三角形，求点的坐标
21.（本小题满分12分）
设函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：.
请考生在第22、23题中任选一题作答。并用2B铅笔将所选题号涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为
（1）写出曲线和直线的普通方程；
（2）已知点，直线与曲线交于点、，弦的中点为，求的值.
23.（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]
已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）已知，，证明：
内江市高中2022届第三次模拟考试题
数学（文科）参考答案及评分意见
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
1.C 2.B 3.D 4.C 5.B 6.A 7.D 8.B 9.A 10.C 11.D 12.B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）
13. 14. 15. 16.
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
17.解：（1）该次高考文科考生成绩在内的平均分的估计值为.
（2）∵分数段和的考生人数的比为
∴按分层抽样方法在分数段的考生中应抽取名，记为，，.
在分数段的考生中应抽取名，记为，.
∵从上述5名考生中随机抽取3名的所有结果为，，，，，，，，，共10种
其中至少有2名分数低于520分的结果为，，，，，，共7种.
∴进行问卷调查的3名考生中至少有2名分数低于520分的概率
18.解：（1）∵，，是以为斜边的等腰直角三角形
∴，，，
∴.
∵在中，由正弦定理知
∴.
（2）∵，∴.
∵是边的中点，
∴
∴
∴
19.解：（1）证明：如图，过点作交的延长线于点，连接、，设交于点，连接.
∵，，∴四边形为平行四边形
∴
∵
∴四边形为平行四边形
∴为线段的中点
∵
∴在中，为中位线，故.
又∵平面，平面
∴平面.
（2）∵由（1）知平面，
∴点到平面的距离与点到平面的距离相等.
∴.
∵平面平面，平面平面，
∴平面.
∴，
20.解：（1）设点的坐标为
∵直线与直线的斜率之积为
∴，即.
化简得
∴曲线的方程为.
（2）设，，线段的中点为
∵，
∴，直线的斜率，直线的斜率
∵∴，整理得
又∵
∴，得，故.
又∵为等边三角形，有
∴，整理得
∴，解得或（舍去）.
将代入，解得或
∴点的坐标为或.
21.解：（1）.
①当时，，故在上单调递增
②当时
∵若，则；若，则
∴在上单调递减，在上单调递增
∴综上，当时，在上单调递增
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：当时，
要证
即证.
令，则
∵当时，；当时，
∴在上单调递减；在上单调递增
∴.
令，则
∵当时，；当时，
∴在上单调递增；在上单调递减
∴.
∴
又∵与取等时的值不同
∴，即对成立，得证.
22.解：（1）由消去参数，得曲线的普通方程为.
由得，.
将代入上式得
∴直线的直角坐标方程为.
（2）∵点在直线上
∴直线的参数方程可为（为参数）①
将①式代入曲线：，得.
设点、对应的参数分别为，，则
∴.
23.解：（1）当时，故可化为，得
当时，，故无解
当时，，故可化为，得.
综上，不等式的解集为.
（2）∵
∴.
又∵
∴，得证.

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