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十二　直线与圆　　　　　　　　　　　　　　　
一、单项选择题
1．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　　)
A．1 B．－1
C．－2或－1 D．－2或1
【解析】选D.由题意得a＋2＝，解得a＝－2或a＝1.
2．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为(　　)
A．－10 B．－2 C．0 D．8
【解析】选A.因为l1∥l2，所以kAB＝＝－2.解得m＝－8.
又因为l2⊥l3，所以－×(－2)＝－1，
解得n＝－2，所以m＋n＝－10.
3．已知圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：x2＋y2＋6x－8y＋16＝0，则圆C1和圆C2的位置关系是(　　)
A．相离 B．外切
C．相交 D．内切
【解析】选B.圆C2的方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝9，则圆C1与C2的圆心距为＝5＝r1＋r2，圆C1和圆C2外切．
4．(2021·金昌联考)直线y＝x－2被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4所截得的弦长为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．
【解析】选D.根据题意，圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(2，－1)，半径r＝2，圆心(2，－1)到直线y＝x－2的距离d＝＝，则直线被圆截得的弦长l＝2×＝2×＝.
5．以(a，1)为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0，2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝5
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5
C．(x－1)2＋y2＝5
D．x2＋(y－1)2＝5
【解析】选A.由题意得，点(a，1)到两条直线的距离相等，且为圆的半径r.
所以＝，
解得a＝1.
所以r＝＝，所以所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝5.
6．(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)
A．1 B． C． D．2
【解析】选B.由y＝k(x＋1)可知直线过定点P(－1，0)，设A(0，－1)，当直线y＝k(x＋1)与AP垂直时，点A到直线y＝k(x＋1)距离最大，即为|AP|＝.
7．(2020·全国Ⅰ卷)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题指南】根据直线和圆心与点(1，2)连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论．
【解析】选B.圆x2＋y2－6x＝0化为(x－3)2＋y2＝9，设圆心为C，所以圆心C的坐标为C(3，0)，半径为3，
设P(1，2)，易知点P在圆内部，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最小值为2＝2＝2.
8．(2021·绍兴二模)设m∈R，则“1≤m≤2”是“直线l：x＋y－m＝0和圆C：x2＋y2－2x－4y＋m＋2＝0有公共点”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】选A.圆的圆心C(1，2)，
半径r＝＝，
圆心C到直线的距离
d＝＝，
因为直线与圆有公共点，所以d≤r，
即≤，所以1≤m≤3，
因为[1，2] [1，3]，所以1≤m≤2是直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2－2x－4y＋m＋2＝0有公共点的充分不必要条件．
二、多项选择题
9．(2021·潮州二模)已知圆C：x2－2ax＋y2＋a2－1＝0与圆D：x2＋y2＝4有且仅有两条公共切线，则实数a的取值可以是(　　)
A．－3 B．3
C．2 D．－2
【解析】选CD.根据题意，圆C：x2－2ax＋y2＋a2－1＝0，即(x－a)2＋y2＝1，其圆心为(a，0)，半径R＝1，圆D：x2＋y2＝4，其圆心D(0，0)，半径r＝2，
若两个圆有且仅有两条公共切线，则两圆相交，则有2－1＜|a|＜2＋1，即1＜|a|＜3，解得：－3＜a＜－1或1＜a＜3，分析选项可得：CD符合．
10．(2021·新高考II卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　)
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【解析】选ABD.圆心C(0，0)到直线l的距离d＝，若点A(a，b)在圆C上，
则a2＋b2＝r2，
所以d＝＝|r|，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点A(a，b)在圆C内，
则a2＋b2＜r2，所以d＝＞|r|，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点A(a，b)在圆C外，
则a2＋b2＞r2，
所以d＝＜|r|，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点A(a，b)在直线l上，
则a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2，
所以d＝＝|r|，
直线l与圆C相切，故D正确．
11．(2021·新高考I卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　)
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
【解析】选ACD.直线AB的方程为x＋2y－4＝0，设P(5＋4cos θ，5＋4sin θ)，则点P到直线AB的距离为
d＝
＝，
因为dmax＝<10，dmin＝<2，所以A选项正确，B选项错误．因为圆心为O(5，5)，半径r＝4，则|OB|＝＝，所以当直线PB与圆相切时∠PBA取得最值，此时|PB|＝＝＝3，所以CD选项正确．
12．(2021·湖北十一校联考)数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的∞符号，我们把形状类似∞的曲线称为“∞曲线”．经研究发现，在平面直角坐标系xOy中，到定点A(－a，0)，B(a，0)距离之积等于a2(a＞0)的点的轨迹C是“∞曲线”．若点P(x0，y0)是轨迹C上一点，则下列说法中正确的有(　　)
A．曲线C关于原点O中心对称
B．x0的取值范围是[－a，a]
C．曲线C上有且仅有一个点P满足|PA|＝|PB|
D．PO2－a2的最大值为2a2
【解析】选AC.在平面直角坐标系xOy中，到定点A(－a，0)，B(a，0)距离之积等于a2(a＞0)的点的轨迹C是“∞曲线”．
故点P(x0，y0)满足 eq \r(（x0＋a）2＋y) · eq \r(（x0－a）2＋y) ＝a2，将点M(－x0，－y0)代入，得·
＝ eq \r(（x0＋a）2＋y) · eq \r(（x0－a）2＋y) ＝a2，故A正确；对于选项B，设x轴上x0范围的最大值为xm，所以(xm－a)(xm＋a)＝a2，解得xm＝±a，故x0的范围为[－a，a]，故B错误；对于选项C，若PA＝PB，则点P在AB的垂直平分线上，即xP＝0，设点P(0，yP)，所以( eq \r(a2＋y) )2＝a2，所以yP＝0，即仅原点满足，故C正确；对于选项D.·＝a2，两边平方化简为：(x2＋y2)2＝2a2(x2－y2)，根据x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得到ρ2＝2a2cos 2θ，
所以PO2－a2的最大值为a2，故D错误．
三、填空题
13．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________．
【解析】由题意可知，纸的折痕应是点(0，2)与点(4，0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7，3)与点(m，n)连线的中垂线于是解得
故m＋n＝.
答案：
14．(2020·天津高考)已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为________．
【解题指南】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d，进而利用弦长公式|AB|＝2，即可求得r.
【解析】因为圆心(0，0)到直线x－y＋8＝0的距离d＝＝4，
由|AB|＝2可得6＝2，
解得r＝5.
答案：5
15．(2021·秦皇岛二模)已知直线x＋y－5＝0与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4相交于A，B两点，则△ABC面积为__________.
【解析】圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4的圆心坐标为C(2，1)，半径r＝2，
圆心C到直线x＋y－5＝0的距离d＝＝，
直线x＋y－5＝0被圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4截得的弦长为|AB|＝2＝2.
所以△ABC面积为S＝×2×＝2.
答案：2
16．(2021·衡阳一模)阿波罗尼奥斯(约公元前262－190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k＞0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为4，动点P满足＝，则动点P的轨迹所围成的图形的面积为____；·最大值是__________.
【解析】以经过A，B的直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，
则A(－2，0)，B(2，0)，设P(x，y)，
因为＝，所以＝，
化简整理可得(x－4)2＋y2＝12，
所以点P的轨迹为圆，圆心为C(4，0)，半径r＝2，故其面积为12π；
·＝x2－4＋y2＝|OP|2－4，
OP即为圆上的点到坐标原点的距离，
因为OC＝4，
所以OP的最大值为OC＋r＝4＋2，
所以·的最大值为(4＋2)2－4＝24＋16.
答案：12π　24＋16
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