资源简介

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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空 ( http: / / www.21cnjy.com )、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题02 数形思想之三角形的角平分线易错点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，在中，是边上的高，，分别是和的角平分线，它们相交于点O，，则的度数为（ ）21教育网
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A． B． C． D．
2．如图，射线BD，AE分别是△ABC的外 ( http: / / www.21cnjy.com )角∠ABF，∠CAG的角平分线，射线BD与直线AC交于点D，射线AE与直线BC交于点E，若∠BAC＝∠ABC＋102°，∠D＝∠E＋27°，则∠ACB的度数为（ ）
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A．39° B．40° C．41° D．42°
3．如图，若平分平分，则的度数（ ）
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A． B． C． D．
4．如图，D，E，G分别是AB，AC，BC边上的点，，，DE平分，．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）．正确的个数有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，已知平分，平分，．下列结论正确的有（ ）
①；②；③；④若，则．
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于 ( http: / / www.21cnjy.com )点C，DE平分∠ADC交BC于点E，点F为线段CD延长线上一点，∠BAF＝∠EDF，则下列结论正确的有（　　）21cnjy.com
①∠BAD+∠ADC＝180°；②AF∥DE；③∠DAF＝∠F．
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A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
7．如图，已知AD//BC，∠B=32°，DB平分∠ADE，则∠DEC=（ ）
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A．64° B．66° C．74° D．86°
8．在直角三角形中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，过点作平行，过点作交于点．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的个数是（ ）21·cn·jy·com
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在中， 是高， 是中线， 是角平分线， 交于点G，交于点H，下面说法正确的是（ ）www.21-cn-jy.com
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①的面积的面积 ②； ③ ④．
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④
10．如图，已知AE是ΔABC的角平分线，AD是BC边上的高．若∠ABC=34°，∠ACB=64°，则∠DAE的大小是（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．5° B．13° C．15° D．20°
二、填空题
11．如图，已知，、为上的两点，、为上的两点，延长于点，平分，点在直线上，且平分，若．则下列结论：①；②；③；④设，；⑤的度数为50°．其中正确结论为______．（填序号）2-1-c-n-j-y
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12．如图，在中，作的角平分线与的外角的角平分线交于点；的角平分线与角平分线交于，如此下去，则__________．【出处：21教育名师】
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13．如图，已知AM∥BN ( http: / / www.21cnjy.com )，∠A＝64°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C、D，下列结论：【版权所有：21教育】
①∠ACB＝∠CBN；②∠CB ( http: / / www.21cnjy.com )D＝64°；③当∠ACB＝∠ABD时，∠ABC＝29°；④当点P运动时，∠APB：∠ADB＝2：1的数量关系不变．其中正确结论的有_________（填序号）．21*cnjy*com
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14．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD、AE分别是△ABC的高与角平分线，则∠DAE＝_____°．
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15．如图，，的平分线交于点，是上的一点，的平分线交于点，且，下列结论：
①平分；
②；
③与互余的角有个；
④若，则．
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其中正确的是________．（请把正确结论的序号都填上）
三、解答题
16．如图，BD平分∠ABC， ( http: / / www.21cnjy.com )F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H，∠3+∠4＝180°，试说明∠1＝∠2．（请通过填空完善下列推理过程）【来源：21·世纪·教育·网】
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解：因为∠3+∠4＝180°（已知）
∠FHD＝∠4（ 　　）．
所以∠3+　　＝180°．
所以FG//BD（ 　　）．
所以∠1＝　　（ 　　）．
因为BD平分∠ABC．
所以∠ABD＝　　（ 　　）．
所以 　　．
17．图1是木工常用的“曲尺”，；现将曲尺顶点O放在直线AB上，曲尺边OM、ON分别在直线AB的左边、右边，过O点在直线AB的左边作射线OC（如图2）．21·世纪*教育网
（1）如图2，当曲尺边OM恰好是的平分线时，那么曲尺边ON所在的直线是否平分，试说明其理由：
（2）如图3．若OC是的平分线，
①_____________（用含的代数式表示）；
②当，求的度数．
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18．如图1，已知线段AB、CD相交于点O， ( http: / / www.21cnjy.com )连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：2·1·c·n·j·y
（1）在图1中，请直接写出之间的数量关系：_______________﹔
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数___________个；
（3）如果图2中，若，试求的度数
（4）如果图2中，和为任意角，其他条件不变，试问与之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）21*cnjy*com
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19．如图，在三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点P
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(1)当∠A=60°时，求∠BPC的的度数；（提示：三角形内角和180°）；
(2)当∠A=α°时，直接写出∠A与∠BPC的数量关系．
20．如图1所示，已知点在直线上，点，在直线上，且，平分．
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（1）判断直线与直线是否平行，并说明理由．
（2）如图2所示，是上点右侧一动点，的平分线交的延长线于点，设，．
①若，，求的度数．
②判断：点在运动过程中，和的数量关系是否发生变化？若不变，求出和的数量关系；若变化，请说明理由．21教育名师原创作品
21．综合与探究：小新在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在中，与的平分线相交于点．
（1）如图，如果，求的度数．
（2）在（）的条件下，如图2，作的外角，的平分线交于点，求的度数．
（3）如图，作的外角，的平分线交于点，延长线段，交于点，在中，是否存在一个内角等于另一个内角的倍，若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由．
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22．（1）如图1，在三角形中，平分，点在边上，，试说明与的位置关系，并予以证明；
（2）如图2，在（1）的条件下，若，的平分线交于点，连接．求证：；
（3）如图3，在前面的条件下，若的平分线与、分别交于、两点，且，求的度数．
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23．如图1，已知BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∠EBD+∠EDB＝90°．
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（1）求证：ABCD；
（2）如图2．射线BF．DF交于点F，且∠BFD＝30°，当∠ABE＝3∠ABF时，试探决∠CDF与∠CDE的比值，并说明理由；【来源：21cnj*y.co*m】
（3）若点H是直线CD上一动点（不与点D瓜合），BI平分∠HBD．请直接写出∠EBI与∠BHD的数量关系．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中北师大版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答 ( http: / / www.21cnjy.com )三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题02 数形思想之三角形的角平分线易错点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，在中，是边上的高，，分别是和的角平分线，它们相交于点O，，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
根据∠AOB=125°和三角形内角 ( http: / / www.21cnjy.com )和，可以得到∠OAB+∠OBA的度数，再根据AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，即可得到∠BAC+∠ABC的度数，进而得到∠C的度数，再根据AD是BC边上的高，即可得到∠CAD的度数．
【详解详析】
解：∵∠AOB=125°，
∴∠OAB+∠OBA=55°，
∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，
∴∠BAC+∠ABC=2（∠OAB+∠OBA）=110°，
∴∠C=70°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=20°，
即∠CAD的度数是20°．
故选：A．
【名师指路】
本题考查了三角形内角和，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
2．如图，射线BD，AE分别是△ABC的外 ( http: / / www.21cnjy.com )角∠ABF，∠CAG的角平分线，射线BD与直线AC交于点D，射线AE与直线BC交于点E，若∠BAC＝∠ABC＋102°，∠D＝∠E＋27°，则∠ACB的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．39° B．40° C．41° D．42°
【标准答案】D
【思路指引】
设，根据为解题的思路，根据三角形的外角性质及角平分线性质，通过等量代换的思想分别求出即可．
【详解详析】
解：设，则
，
，
，
，
BD，AE分别是△ABC的外角∠ABF，∠CAG的角平分线，
，
，
,
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
,
故选：D．
【名师指路】
本题考查了三角形外角的性质及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质．
3．如图，若平分平分，则的度数（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据平行线的性质得到∠AEF+∠EFC= ( http: / / www.21cnjy.com )180°，∠BEF+∠EFD=180°，∠AEN=∠ENF，根据角平分线的定义得到∠BEM=∠FEM，∠EFM=∠DFM，求得∠FEM+∠EFM=90°，根据垂直的定义得到EM⊥FM，根据平行线的性质得到∠ENF=∠MFD，等量代换得到∠MFD=40°．21·世纪*教育网
【详解详析】
解：∵AB//CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°，∠AEN=∠ENF，
∵EM平分∠BEF，FM平分∠EFD，
∴∠BEM=∠FEM，∠EFM=∠DFM，
∴∠FEM+∠EFM=90°，
∴∠M=90°，
∴EM⊥FM，
∵NE⊥EM，
∴EN//MF，
∴∠ENF=∠MFD，
∵∠AEN=40°，
∴∠ENF=∠AEN=40°，
∴∠MFD=40°，
故选：C．
【名师指路】
此题考查了平行线的判定和性质，根据平行线的判定定理证得EN∥MF是解本题的关键．
4．如图，D，E，G分别是AB，AC，BC边上的点，，，DE平分，．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）．正确的个数有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】C
【思路指引】
据已知条件和对顶角相等可证明AB ( http: / / www.21cnjy.com )∥EG，再根据平行线的性质得角相等，再等量代换可得∠3=∠EGC，进而可得DE∥BC，再利用角平分线的定义以及平行线的性质得到∠B=∠ADE=∠EDC，结合三角形内角和得到∠B=45°，可以证明CD⊥AB，再由AB∥EG，即可得CD⊥EG．21教育名师原创作品
【详解详析】
解：∵∠1+∠2=180°，∠1=∠DFG，
∴∠1+∠DFG=180°，
∴AB∥EG，
∴∠B=∠EGC，
又∵∠B=∠3，
∴∠3=∠EGC，
∴DE∥BC，故（1）正确；
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠EDC，
∵DE∥BC，
∴∠B=∠ADE=∠EDC，
又∵∠2=2∠B，∠2+∠ADE+∠EDC=180°，
∴2∠B+∠B+∠B=180°，
∴∠B=45°，故（2）错误；
∴∠2=2∠B=90°，
∴CD⊥AB，∠B+∠BCD=90°，故（3）正确；
又∵AB∥EG，
∴CD⊥EG，故（4）正确；
∴正确的个数有3个，
故选C．
【名师指路】
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区别平行线的判定与性质并熟练运用．
5．如图，已知平分，平分，．下列结论正确的有（ ）
①；②；③；④若，则．
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】C
【思路指引】
由三个已知条件可得AB∥CD，从而①正确；由①及平行线的性质则可推得②正确；由条件无法推出AC∥BD，可知③错误；由及平分，可得∠ACP=∠E，得AC∥BD，从而由平行线的性质易得，即④正确．21·cn·jy·com
【详解详析】
∵平分，平分
∴∠ACD=2∠ACP=2∠2，∠CAB=2∠1=2∠CAP
∵
∴∠ACD+∠CAB=2(∠1+∠2)=2×90゜=180゜
∴
故①正确
∵
∴∠ABE=∠CDB
∵∠CDB+∠CDF=180゜
∴
故②正确
由已知条件无法推出AC∥BD
故③错误
∵，∠ACD=2∠ACP=2∠2
∴∠ACP=∠E
∴AC∥BD
∴∠CAP=∠F
∵∠CAB=2∠1=2∠CAP
∴
故④正确
故正确的序号为①②④
故选：C．
【名师指路】
本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，掌握这些知识是关键．
6．如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC ( http: / / www.21cnjy.com )于点C，DE平分∠ADC交BC于点E，点F为线段CD延长线上一点，∠BAF＝∠EDF，则下列结论正确的有（　　）2·1·c·n·j·y
①∠BAD+∠ADC＝180°；②AF∥DE；③∠DAF＝∠F．
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A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【标准答案】A
【思路指引】
①证明AB∥CD，可做判断；
②根据平行线的判定和性质可做判断；
③根据AF∥ED得内错角相等和同位角相等，再由角平分线的定义得∠ADE＝∠CDE，从而可做判断．
【详解详析】
解：①∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
故①正确；
②∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠BAF＝180°，
∵∠BAF＝∠EDF，
∴∠AFD+∠EDF＝180°，
∴AF∥DE，
故②正确；
③∵AF∥ED，
∴∠DAF＝∠ADE，∠F＝∠CDE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠DAF＝∠F，
故③正确；
故选：A．
【名师指路】
本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟知平行线的判定定理与性质是解题的关键．
7．如图，已知AD//BC，∠B=32°，DB平分∠ADE，则∠DEC=（ ）
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A．64° B．66° C．74° D．86°
【标准答案】A
【详解详析】
解：∵AD∥BC，∠B=32°，
∴∠ADB=∠B=40°，∠DEC=∠ADE
∵DB平分∠ADE，
∴∠ADE=2∠ADB=64°
∴∠DEC=∠ADE=64°
故选：A
8．在直角三角形中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，过点作平行，过点作交于点．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的个数是（ ）21教育网
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】C
【思路指引】
根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可判断 ( http: / / www.21cnjy.com )①正确；由平行线的性质及角平分线的定义即可判断②正确；根据等角的余角相等即可判断④正确；根据已知条件无法判断③，所以错误，综上所述即可得出答案．www-2-1-cnjy-com
【详解详析】
在直角三角形中，，
∴+=90°，
∵平分，平分，
∴∠FAB=，∠ABE=∠EBC=，
∴∠FAB+∠ABE =（+）=45°，
∴，
∴①正确；
∵，
∴
∵∠EBC=，
∴∠EBC=，
∴，
∴②正确；
∵的度数不确定，
∴根据已知条件无法证明平分，
∴③不正确；
∵，,
∴∠BGD=90°，,
∴,
又∵DG∥AB，
∴,
∴,
又∵,
∴,
又∵BE平分,
∴
∴,
即，
∴④正确；
综上，正确的结论为①②④，共3个．
故选：C．
【名师指路】
本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义及等角的余角相等，解题关键是熟练运用这些知识点．【出处：21教育名师】
9．如图，在中， 是高， 是中线， 是角平分线， 交于点G，交于点H，下面说法正确的是（ ）
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①的面积的面积 ②； ③ ④．
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④
【标准答案】C
【思路指引】
根据三角形中线的性质可证 ( http: / / www.21cnjy.com )明①；根据三角形的高线可得∠ABC=∠CAD，利用三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解∠AFG=∠AGF，可判定②；根据角平分线的定义可求解③；根据已知条件无法判定④．
【详解详析】
解：∵BE是△ABC的中线，
∴AE=CE，
∴△ABE的面积等于△BCE的面积，故①正确；
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC=90°，
∴∠ABC+∠BAD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠ABC=∠CAD，
∵CF为△ABC的角平分线，
∴∠ACF=∠BCF=∠ACB，
∵∠AFG=∠ABD+∠BCF，∠AGF=∠ACF+∠CAD，
∴∠AFG=∠AGF，故②正确；
∵∠BAD+∠CAD=∠ACB+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠ACD，
∴∠FAG=2∠ACF，故③正确；
根据已知条件无法证明BH=CH，故④错误，
故选：C．
【名师指路】
本题主要考查三角形的中线，高线，角平分线，灵活运用三角形的中线，高线，角平分线的性质是解题的关键．
10．如图，已知AE是ΔABC的角平分线，AD是BC边上的高．若∠ABC=34°，∠ACB=64°，则∠DAE的大小是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．5° B．13° C．15° D．20°
【标准答案】C
【思路指引】
由三角形的内角和定理，可求∠B ( http: / / www.21cnjy.com )AC=82°，又由AE是∠BAC的平分线，可求∠BAE=41°，再由AD是BC边上的高，可知∠ADB=90°，可求∠BAD=56°，所以∠DAE=∠BAD-∠BAE，问题得解．
【详解详析】
在△ABC中，
∵∠ABC=34°，∠ACB=64°,
∴∠BAC=180° ∠B ∠C=82°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠CAE=41°.
又∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
∵在△ABD中∠BAD=90° ∠B=56°，
∴∠DAE=∠BAD ∠BAE =15°.
【名师指路】
在本题中，我们需要注意到已知 ( http: / / www.21cnjy.com )条件中已经告诉三角形的两个角，所以利用内角和定理可以求出第三个角，再有已知条件中提到角平分线和高线，所以我们可以利用角平分线和高线的性质计算出相关角，从而利用角的和差求解，在做几何证明题时需注意已知条件衍生的结论.
二、填空题
11．如图，已知，、为上的两点，、为上的两点，延长于点，平分，点在直线上，且平分，若．则下列结论：①；②；③；④设，；⑤的度数为50°．其中正确结论为______．（填序号）
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【标准答案】①②③⑤
【思路指引】
利用平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理判断即可；
【详解详析】
∵平分，
∴，故①正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，故②正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，故③正确；
设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，故④不准确；
设，由④可知，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
，故⑤正确；
故正确的是①②③⑤；
故答案是①②③⑤．
【名师指路】
本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，理清图中各角之间的关系是解题的关键．
12．如图，在中，作的角平分线与的外角的角平分线交于点；的角平分线与角平分线交于，如此下去，则__________．21*cnjy*com
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【标准答案】
【思路指引】
根据角平分线的定义以及三角形外角的性质，三角形内角和定理得出与，与的关系，找出规律即可．
【详解详析】
解：设BC延长与点D，
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∵，
的角平分线与的外角的角平分线交于点，
∴
，
同理可得，
，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【名师指路】
本题主要考查三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和等知识点，熟知以上知识点，找出角度之间的规律是解题的关键．21*cnjy*com
13．如图，已知AM∥BN，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )＝64°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C、D，下列结论：
①∠ACB＝∠CBN；②∠ ( http: / / www.21cnjy.com )CBD＝64°；③当∠ACB＝∠ABD时，∠ABC＝29°；④当点P运动时，∠APB：∠ADB＝2：1的数量关系不变．其中正确结论的有_________（填序号）．
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【标准答案】①③④
【思路指引】
根据AM∥BN，可以得到∠ACB=∠CBN（可以判断①），∠PDB=∠DBN，根据角平分线的性质得到，，从而得到∠PBD=∠PDB，
58°，可以判断②，根据∠APB=∠ADB+∠PBD，得到∠APB=2∠ADB，可以判断④，根据∠ACB＝∠ABD，∠ACB+∠ABC+∠A=180°，可以得到∠ABD+∠ABC+∠A=180°，即可得到∠ABC+∠ABC+∠BCD=116°，从而可以判断③ .
【详解详析】
：∵AM∥BN，∠A=64°
∴∠ACB=∠CBN，故①正确，∠A+∠ABN=180°，
∴∠ABN=116°，
∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴，，
∴58°，故②错误
∵∠ACB＝∠ABD，∠ACB+∠ABC+∠A=180°，
∴∠ABD+∠ABC+∠A=180°，
∴∠ABD+∠ABC=116°，
∴∠ABC+∠ABC+∠BCD=116°，
∴∠ABC=29°，故③正确，
∵AM∥BN，
∴∠PDB=∠DBN，
又∵
∴∠PBD=∠PDB，
∵∠APB=∠ADB+∠PBD，
∴∠APB=2∠ADB，
∴∠APB：∠ADB=2:1，故④正确
故答案为：①③④ .
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【名师指路】
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.21cnjy.com
14．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD、AE分别是△ABC的高与角平分线，则∠DAE＝_____°．
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【标准答案】10
【思路指引】
利用三角形的内角和定理，求出∠BAC、∠DAC，再利用角平分线的性质求出∠EAC，最后利用角的和差求出∠EAD．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解详析】
解：∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C
＝80°．
∵AE是△ABC角平分线，
∴∠CAE∠BAC
＝40°．
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°．
∴∠DAC＝90°﹣60°
＝30°．
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC
＝40°﹣30°
＝10°．
故答案为：10．
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【名师指路】
本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质等知识点，掌握三角形的内角和定理是解决本题的关键．
15．如图，，的平分线交于点，是上的一点，的平分线交于点，且，下列结论：
①平分；
②；
③与互余的角有个；
④若，则．
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其中正确的是________．（请把正确结论的序号都填上）
【标准答案】①②
【思路指引】
由BD⊥BC及BD平分∠GBE，可判断① ( http: / / www.21cnjy.com )正确；由CB平分∠ACF、AE∥CF及①的结论可判断②正确；由前两个的结论可对③作出判断；由AE∥CF及AC∥BG、三角形外角的性质可求得∠BDF，从而可对④作出判断．www.21-cn-jy.com
【详解详析】
∵BD平分∠GBE
∴∠EBD=∠GBD=∠GBE
∵BD⊥BC
∴∠GBD+∠GBC=∠CBD=90°
∴∠DBE+∠ABC=90°
∴∠GBC=∠ABC
∴BC平分∠ABG
故①正确
∵CB平分∠ACF
∴∠ACB=∠GCB
∵AE∥CF
∴∠ABC=∠GCB
∴∠ACB=∠GCB=∠ABC=∠GBC
∴AC∥BG
故②正确
∵∠DBE+∠ABC=90°，∠ACB=∠GCB=∠ABC=∠GBC
∴与∠DBE互余的角共有4个
故③错误
∵AC∥BG，∠A=α
∴∠GBE=α
∴
∵AE∥CF
∴∠BGD=180°－∠GBE=180° α
∴∠BDF=∠GBD+∠BGD=
故④错误
即正确的结论有①②
故答案为：①②
【名师指路】
本题考查了平行线的判定与性质，互余概念，垂直的定义，角平分线的性质等知识，掌握这些知识并正确运用是关键．
三、解答题
16．如图，BD平分∠ABC，F在AB上， ( http: / / www.21cnjy.com )G在AC上，FC与BD相交于点H，∠3+∠4＝180°，试说明∠1＝∠2．（请通过填空完善下列推理过程）
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解：因为∠3+∠4＝180°（已知）
∠FHD＝∠4（ 　　）．
所以∠3+　　＝180°．
所以FG//BD（ 　　）．
所以∠1＝　　（ 　　）．
因为BD平分∠ABC．
所以∠ABD＝　　（ 　　）．
所以 　　．
【标准答案】对顶角相等、∠FHD、同旁内角互补，两直线平行、∠ABD、两直线平行，同位角相等、∠2、角平分线的定义、∠1＝∠221世纪教育网版权所有
【思路指引】
求出∠3+∠FHD＝180°， ( http: / / www.21cnjy.com )根据平行线的判定得出FG//BD，根据平行线的性质得出∠1＝∠ABD，根据角平分线的定义得出∠ABD＝∠2即可．
【详解详析】
解：∵∠3+∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（对顶角相等），
∴∠3+∠FHD＝180°，
∴FG//BD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠1＝∠ABD（两直线平行，同位角相等），
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠2（角平分线的定义），
∴∠1＝∠2，
故答案为：对顶角相等，∠FHD，同旁内角互补，两直线平行，∠ABD，两直线平行，同位角相等，∠2，角平分线的定义，∠1＝∠2．
【名师指路】
本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．
17．图1是木工常用的“曲尺”，；现将曲尺顶点O放在直线AB上，曲尺边OM、ON分别在直线AB的左边、右边，过O点在直线AB的左边作射线OC（如图2）．
（1）如图2，当曲尺边OM恰好是的平分线时，那么曲尺边ON所在的直线是否平分，试说明其理由：
（2）如图3．若OC是的平分线，
①_____________（用含的代数式表示）；
②当，求的度数．
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【标准答案】（1）曲尺边ON所在的直线是否平分，理由见详解；（2）；（3）．
【思路指引】
（1）作辅助线，反向延长射线ON，得射线．通过， ，利用等角的余角相等，进行证明，得到= ，再利用对顶角相等= ，利用等量代换得= ，即可得到答案；
（2）①利用互补得定义得，再利用角平分线得定义得，通过直角的性质得，即可得到答案；
②令，则，再利用直角的性质，则，可得，解出a的值即可得到答案．
【详解详析】
解：曲尺边ON所在的直线是否平分，理由如下：
反向延长射线ON，得射线
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∵OM是∠BOC的平分线
∴∠COM = ∠BOM
又∵
∴，
∴=
∵=
∴= ,
∴曲尺边ON所在的直线是平分．
（2）解：①∵
∴
∵OC是的平分线
∴
又∵
∴
故答案是．
②∵OC是的平分线，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
解得：
∴．
【名师指路】
本题考查了角平分线的性质、互余的性质、互补的性质、对顶角的性质，能根据角与角之间的性质，找到它们之间的关系是解答此题的关键．
18．如图1，已知线段AB、CD相交于点 ( http: / / www.21cnjy.com )O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出之间的数量关系：_______________﹔
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数___________个；
（3）如果图2中，若，试求的度数
（4）如果图2中，和为任意角，其他条件不变，试问与之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）
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【标准答案】（1）；（2）6；（3）；（4）2∠P＝∠D＋∠B
【思路指引】
（1）利用三角形的内角和定理与对顶角相等可得结论；
（2）由交点有点M、O、N，再分类确定即可得到答案；
（3）由（1）可得：∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ，再两式相加，结合角平分线的定义可得：再把代入计算即可得到答案；
（4）由（1）可得：∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ，再两式相加，结合角平分线的定义可得：
【详解详析】
解：（1）
故答案为：
（2）交点有点M、O、N，
以M为交点的8字形有1个，为△AMD与△CMP，
以O为交点的8字形有4个，为△AOD与△COB，△AOM与△CON，△AOM与△COB，△CON与△AOD，
以N为交点的8字形有1个，为△ANP与△CNB，
所以，“8字形”图形共有6个；
故答案为：6
（3）解：由（1）得：∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ①
∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝ ∠PCB
①＋②得：∠DAP＋∠D＋∠PCB＋∠B ＝∠P＋∠DCP＋∠PAB＋∠P
又∵
∴
∴
（4）关系：2∠P＝∠D＋∠B
由（1）得：∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ①
∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝ ∠PCB
①＋②得：∠DAP＋∠D＋∠PCB＋∠B ＝∠P＋∠DCP＋∠PAB＋∠P
【名师指路】
本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，掌握利用三角形的内角和定理解决“8字形”中的角度问题是解题的关键.
19．如图，在三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点P
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(1)当∠A=60°时，求∠BPC的的度数；（提示：三角形内角和180°）；
(2)当∠A=α°时，直接写出∠A与∠BPC的数量关系．
【标准答案】(1)120°
(2)∠BPC=
【思路指引】
（1）根据BP是∠ABC的平分线，得出∠PBC=．根据CP是∠ACB的平分线，∠PCB=，根据∠A=60°，得出=120°，求∠PBC+∠PCB==60°即可；
（2）根据BP是∠ABC的平分线，得出∠PBC=．根据CP是∠ACB的平分线，得出∠PCB=，根据∠A=α°，得出=180°-α°，可求∠PBC+∠PCB=即可．
(1)
解：如图，∵BP是∠ABC的平分线，
∴∠PBC=．(角平分线定义)
∵CP是∠ACB的平分线，
∴∠PCB=，
∴∠PBC+∠PCB= ，
∵∠A=60°，
∴=120°，
∴∠PBC+∠PCB==60°，
∴∠BPC=180°－∠PBC－∠PCB=180°－（∠PBC+∠PCB）=180°-60°=120°．
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(2)
如图，∵BP是∠ABC的平分线，
∴∠PBC=．(角平分线定义)
∵CP是∠ACB的平分线，
∴∠PCB=，
∴∠PBC+∠PCB=，
∵∠A=α°，
∴=180°-α°，
∴∠PBC+∠PCB=，
∴∠BPC=180°－∠PBC－∠PCB=180°－（∠PBC+∠PCB）=180°-90°=90°．
∴∠BPC=．
【名师指路】
本题考查角平分线定义，三角形内角和，掌握角平分线定义，三角形内角和是解题关键．
20．如图1所示，已知点在直线上，点，在直线上，且，平分．
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（1）判断直线与直线是否平行，并说明理由．
（2）如图2所示，是上点右侧一动点，的平分线交的延长线于点，设，．
①若，，求的度数．
②判断：点在运动过程中，和的数量关系是否发生变化？若不变，求出和的数量关系；若变化，请说明理由．
【标准答案】(1) AB∥CD，理由见详解；（2）①50°；②不变化，.
【思路指引】
（1）依据EF平分∠AEG，可得∠AEF=∠GEF，再根据∠EFG=∠FEG，可得∠AEF=∠GFE，进而得出AB∥CD；
（2）①依据∠HEG=40°，即可得到∠FEG=70°，依据QG平分∠EGH，即可得到∠QGH=∠QGE=20°，根据∠Q=∠FEG-∠EGQ进行计算即可；②根据∠FEG是ΔEGQ的外角，∠AEG是ΔEGH的外角，即可得到∠Q=∠FEG-∠EGQ，∠EHG=∠AEG-∠EGH，再根据FE平分∠AEG，GQ平分∠EGH，即可得出∠FEG=∠AEG，∠EGQ=∠EGH，最后依据∠Q=∠FEG-∠EGQ进行计算，即可得到.
【详解详析】
（1）直线AB与直线CD平行，理由：EF平分∠AEG，
∴∠AEF=∠GEF，
又∵∠EFG=∠FEG，
∴∠AEF=∠GFE，
AB∥CD;
（2） ①∵∠HEG=40°，
∴∠FEG = (180°-40°) =70°，
又∵QG平分∠EGH，
∴∠QGH=∠QGE=20°，
∴∠Q=∠FEG-∠EGQ=70°-20°＝50°；
②点H在运动过程中，α和β的数量关系不发生变化，
∵∠FEG是ΔEGQ的外角，∠AEG是ΔEGH的外角，
∴∠Q=∠FEG-∠EGQ，
∠EHG=∠AEG-∠EGH，
又∵FE平分∠AEG，GQ平分∠EGH，
∴∠FEG=∠AEG，∠EGQ=∠EGH，
∴∠Q=∠FEG-∠EGQ
=（∠AEG-∠EGH）
＝∠EHG
即.
【名师指路】
本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形外角性质的运用，解决问题的关键是利用三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
21．综合与探究：小新在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在中，与的平分线相交于点．
（1）如图，如果，求的度数．
（2）在（）的条件下，如图2，作的外角，的平分线交于点，求的度数．
（3）如图，作的外角，的平分线交于点，延长线段，交于点，在中，是否存在一个内角等于另一个内角的倍，若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由．
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【标准答案】（1）；（2）；（3）存在，或或
【思路指引】
（1）根据三角形内角和的性质求得的度数，即可求解；
（2）根据角平分线、三角形内角和以及平角的性质求得与的关系，即可求解；
（3）根据角平分线的性质可以求得、，根据题意分四种情况（、、、）分别讨论求解．
【详解详析】
解：（1），
．
点是和的平分线的交点，
．
（2）外角，的角平分线交于点，
∴
，
．
（3）存在，的度数为或或
如图，延长至，
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∵为的外角的角平分线，
∴是的外角的平分线，
∴
∵平分，
∴
∵，
∴，
即．
又∵，
∴，即．
，
如果在中存在一个内角等于另一个内角的倍，那么分四种情况：
①，
则；
②，
则，，；
③，
则，解得
④，
则，
解得．
综上所述，的度数是或或
【名师指路】
此题考查了角平分线的有关性质，涉及了三角形内角和、平角等性质，熟练掌握相关基本性质，找到角之间的关系是解题的关键．2-1-c-n-j-y
22．（1）如图1，在三角形中，平分，点在边上，，试说明与的位置关系，并予以证明；
（2）如图2，在（1）的条件下，若，的平分线交于点，连接．求证：；
（3）如图3，在前面的条件下，若的平分线与、分别交于、两点，且，求的度数．
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【标准答案】（1）DE∥BC，证明见解析；（2）证明见解析；（3）72°
【思路指引】
（1）证明∠2=∠BCD，可得结论．
（2）根据DE∥BC，得到∠EDB+∠DBC=180°，再利用角平分线的性质，即可解答；
（3）根据FD⊥AB，∠BGC=5 ( http: / / www.21cnjy.com )4°，得到∠DHG=36°，利用外角的性质得到∠FDC+∠HCD=36°，再根据DF平分∠EDC，CG平分∠ACD，得到∠EDC=2∠FDC，∠ACD=2∠HCD，得到∠EDC+∠ACD=2（∠FDC+∠HCD）=108°，利用三角形内角和为180°，∠DEC=180°-（∠EDC+∠ACD）=180°-108°=72°，再利用平行线的性质求出∠ACB．
【详解详析】
解：（1）结论：DE∥BC．
理由：如图1中，
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∵CD平分∠ACB，
∴∠1=∠BCD，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠BCD，
∴DE∥BC．
（2）证明：如图2中，
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∵DE∥BC，
∴∠EDB+∠DBC=180°，
∴∠EDF+∠FDC+∠CDB+∠DBC=180°，
∵∠CDB=∠DBC，∠EDF=∠FDC，
∴2∠FDC+2∠CDB=180°，
∴∠FDC+∠CDB=90°，
∴FD⊥BD，
∴∠DBF+DFB=90°．
（3）如图3中，
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∵∠BGC=54°，FD⊥BD，
∴∠DHG=36°，
∴∠FDC+∠HCD=36°，
∵DF平分∠EDC，CG平分∠ACD，
∴∠EDC=2∠FDC，∠ACD=2∠HCD，
∴∠EDC+∠ACD=2（∠FDC+∠HCD）=72°，
∴∠DEC=180°-（∠EDC+∠ACD）=180°-72°=108°，
∵DE∥BC，
∴∠ACB+∠DEC=180°，
∴∠ACB=72°．
【名师指路】
本题属于三角形综合题，考查了平行线的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质、三角形角平分线、外角的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是利用三角形的角平分线、外角得到角之间的关系．
23．如图1，已知BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∠EBD+∠EDB＝90°．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：ABCD；
（2）如图2．射线BF．DF交于点F，且∠BFD＝30°，当∠ABE＝3∠ABF时，试探决∠CDF与∠CDE的比值，并说明理由；
（3）若点H是直线CD上一动点（不与点D瓜合），BI平分∠HBD．请直接写出∠EBI与∠BHD的数量关系．
【标准答案】（1）见解析（2）（3）∠BHD＝2∠EBI或∠BHD＝180° 2∠EBI
【思路指引】
（1）根据角平分线的定义可得∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ABD＝2∠EBD，∠BDC＝2∠BDE，然后求出∠ABD＋∠BDC＝180°，再根据同旁内角互补，两直线平行证明；
（2）作EP∥AB，FQ∥AB，根据平行线的判定和性质解答即可；
（3）根据角平分线的定义可得∠ABD ( http: / / www.21cnjy.com )＝2∠EBD，∠HBD＝2∠IBD，然后分点H在点D的左边和右边两种情况，表示出∠ABH和∠EBI，从而得解．
【详解详析】
证明：（1）∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，
∴∠ABD＝2∠EBD，∠CDB＝2∠EDB，
又∵∠EBD＋∠EDB＝90°，
∴∠ABD＋∠CBD＝2×90°＝180°，
∴AB∥CD；
（2）作EP∥AB，FQ∥AB，如图3，
( http: / / www.21cnjy.com / )
又∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EP，AB∥CD∥FQ，
∴∠BED＝∠ABE＋∠CDE＝90°，
∴∠BFD＝∠ABF＋∠CDF
∴∠BFD＝∠ABE＋∠CDF＝30°＝∠BED，
∴＝
（3）∵BE平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠EBD，
∵BI平分∠HBD，
∴∠HBD＝2∠IBD，
如图1，点H在点D的左边时，∠ABH＝∠ABD ∠HBD，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∠EBI＝∠EBD ∠IBD，
∴∠ABH＝2∠EBI，
∵AB∥CD，
∴∠BHD＝∠ABH，
∴∠BHD＝2∠EBI，
如图2，点H在点D的右边时，∠ABH＝∠ABD＋∠HBD，
∠EBI＝∠EBD＋∠IBD，
∴∠ABH＝2∠EBI，
∵AB∥CD，
∴∠BHD＝180° ∠ABH，
∴∠BHD＝180° 2∠EBI，
综上所述，∠BHD＝2∠EBI或∠BHD＝180° 2∠EBI．
【名师指路】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质是解题的关键，难点在于（3）分情况讨论并理清图中各角度之间的关系．【版权所有：21教育】
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